自動(dòng)控制原理：chapt2－2 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、2.4 控制系統(tǒng)方塊圖 控制系統(tǒng)的方塊圖是描述系統(tǒng)各組成元部件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形，它表示系統(tǒng)中各變量所進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算和輸入、輸出之間的因果關(guān)系。采用方塊圖，不僅能方便地求取復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而且能形象直觀地表明信號(hào)在系統(tǒng)或元件中的傳遞過程。一、方塊圖的組成 把各環(huán)節(jié)或元件的傳遞函數(shù)填在系統(tǒng)原理的方塊中，并把相應(yīng)的輸入、輸出信號(hào)分別以拉氏變換來表示，就可以得到傳遞函數(shù)方塊圖，這種圖形既說明了信號(hào)之間的數(shù)學(xué)物理關(guān)系，又描述了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，因此稱之為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方塊圖，簡稱為方塊圖。 系統(tǒng)方塊圖的基本組成 信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，且信號(hào)只能單向傳輸。 方塊：即一個(gè)元

2、件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)方塊圖，該方塊可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，其變換關(guān)系為 Xc(s)=G(s)Xr(s)G(s)xr(s)xc(s)方塊單元 綜合點(diǎn)（相加點(diǎn)）：表示兩個(gè)或多個(gè)信號(hào)在此代數(shù)相加。其中“+”號(hào)表示相加，“-”表示相減。信號(hào)綜合點(diǎn)的運(yùn)算關(guān)系為應(yīng)注意：只有具有相同因次或量綱的量才能進(jìn)行加減運(yùn)算。xr2xr1(s)xr3(s)xc(s) 分支（引出點(diǎn)）：表示信號(hào)引出或測量的位置。從同一位置引出的信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同。 如果已知系統(tǒng)的組成和各組成部分的傳遞函數(shù)，就可以通過上述四種基本單元將系統(tǒng)各部分連接起來，構(gòu)成整個(gè)系統(tǒng)的方塊圖。x(s)x(s)二、方塊圖的畫法 繪制步驟如下： 1.列寫

3、出系統(tǒng)各元件的微分方程。在建立方程時(shí)應(yīng)分清各元件的輸入量、輸出量，同時(shí)應(yīng)考慮相鄰元部件之間是否有負(fù)載效應(yīng)。 2.在零初始條件下，對(duì)各微分方程進(jìn)行拉氏變換，并將變換式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式。 3.由標(biāo)準(zhǔn)變換式利用方塊圖的四個(gè)基本單元，分別畫出各元部件的方塊圖。 4.按照系統(tǒng)中信號(hào)的傳遞順序，依次將各元部件的方塊圖連接起來，便可得到系統(tǒng)的方塊圖。例 電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)方塊圖，其中輸入為 ，輸出為 1） 比較器（信號(hào)綜合點(diǎn)）2） 放大器3） 直流電機(jī)，令4） 測速發(fā)電機(jī)例 濾波電路中，若以電壓ur為輸入，電壓uc為輸出，試畫出其方塊圖。 urR1R2ucC2C1i1i2 濾波電路圖解2、將上述方程整理1/R1

4、1/c1s1/R21/c2sUr(s)Uc1(s)I1(s)_I2(s)I1(s)Uc1(s)Uc1(s)Uc(s)I2(s)I2(s)Uc(s)3、按標(biāo)準(zhǔn)變換式畫出各元件的方塊圖，如圖所示。-1/R11/c1s1/R21/c2sUr(s)I1(s)I2(s)Uc1(s)I2(s)Uc(s)-4.按照信號(hào)傳遞順序，依次將各元部件的方塊圖連接起來。三、方塊圖的等效變換1.串聯(lián)連接方式的等效變換 方塊圖變換應(yīng)按等效原理進(jìn)行.所謂等效，即對(duì)方塊圖的任一部分進(jìn)行變換時(shí)，變換前、后其輸入、輸出總的數(shù)學(xué)關(guān)系應(yīng)保持不變。 前一環(huán)節(jié)的輸出量是后一環(huán)節(jié)的輸入量的連接稱為環(huán)節(jié)的串聯(lián)。如下圖所示，G1(s)G2(s

5、)G3(s)R1(s)R2(s)R3(s)R4(s)各環(huán)節(jié)的傳遞關(guān)系為 表明環(huán)節(jié)的串聯(lián)可以用一個(gè)等效環(huán)節(jié)取代，如下圖所示，等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。寫成一般形式為G(s)R1(s)R4(s) 考慮兩環(huán)節(jié)是否為串聯(lián)時(shí)要注意以下兩點(diǎn)： 環(huán)節(jié)之間應(yīng)無負(fù)載效應(yīng)。否則要考慮將它們作為一個(gè)整體，而不能分為兩個(gè)獨(dú)立的部分。 串聯(lián)連接的環(huán)節(jié)之間應(yīng)無分支點(diǎn)和綜合點(diǎn)，否則它們就不是串聯(lián)。2.并聯(lián)連接方式的等效變換輸入量相同，輸出量相加或相減的連接稱為并聯(lián)。如下圖所示，G1(s)G2(s)G3(s)C2(s)C3(s)+C(s)R(s)C1(s)三個(gè)環(huán)節(jié)的輸入部分都為r(t)，而輸出分別為 并聯(lián)

6、后總的傳遞函數(shù)為 表明幾個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)時(shí)，可以用一個(gè)等效環(huán)節(jié)去取代，如下圖所示。等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。寫成一般形式為G(s)R(s)C(s)3.反饋連接方式的等效變換 將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出反饋到輸入端與輸入信號(hào)進(jìn)行比較，就構(gòu)成了反饋連接，如下圖所示。其中G(s)和H(s)可以是等效方塊圖，即它們可以是由若干元件方塊串、并聯(lián)組成。G(s)H(s)E(s)B(s)-R(s)C(s) 反饋連接可以等效為一個(gè)環(huán)節(jié)，如下圖所示。GB(s)R(s)C(s)4.分支點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則 將分支點(diǎn)跨越元件方塊圖移動(dòng)時(shí)，必須遵循移動(dòng)前后所得的分支信號(hào)保持不變的等效原則。 右移規(guī)則G(s)1/G(s)BR

7、(s)C1(s)C2(s)移動(dòng)前后的分支輸出信號(hào)不變，達(dá)到了等效變換的目的。G(s)R(s)ABC1(s)C2(s)如下圖所示，分支點(diǎn)在方塊圖的輸入端A時(shí)，兩個(gè)分支端的輸出分別為G(s)G(s)AR(s)C1(s)C2(s) 分支點(diǎn)移動(dòng)的規(guī)則為：若分支點(diǎn)從一個(gè)方塊圖的輸入端移到其輸出端時(shí)（右移），應(yīng)在移動(dòng)后的分支中串入一個(gè)方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)的倒數(shù)。若分支點(diǎn)從一方塊圖的輸出端移到其輸入端時(shí)（左移），應(yīng)在移動(dòng)后的分支中串入一個(gè)方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)。G(s)R(s)ABC1(s)C2(s)左移規(guī)則5.綜合點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則如圖(a)所示，當(dāng)綜合點(diǎn)在

8、A處時(shí)，總輸出量為 C(s)=G(s)R1(s)-R2(s)當(dāng)綜合點(diǎn)移到B處時(shí)，必須使兩個(gè)輸入都經(jīng)過元件方塊圖后再相加，如圖(b)所示，此時(shí) C(s)=G(s)R1(s)-G(s)R2(s)與移動(dòng)前相等，因而兩圖是等效的。 右移規(guī)則G(s)AR1(s)R2(s)-C(s)BG(s)G(s)R1(s)R2(s)BC(s)-(a)(b) 將綜合點(diǎn)跨越元件方塊圖移動(dòng)時(shí)，應(yīng)遵循移動(dòng)前后總輸出量保持不變的等效原則。 當(dāng)綜合點(diǎn)之間相互移動(dòng)時(shí)，如下圖所示，因?yàn)槿咻敵龆紴?C(s)=R1(s)-R2(s)-R3(s)故它們都是等效的。R2(s)R1(s)R2(s)R3(s)-E1C(s)R1(s)R3(s)

9、R1(s)R3(s)R2(s)-C(s)C(s)(a)(b)(c)可見，互換綜合點(diǎn)的位置，不會(huì)影響總的輸入輸出關(guān)系。方塊圖的等效變換法則 必須保持移動(dòng)前后信號(hào)的等效性；相鄰綜合點(diǎn)可以互相換位和合并； （表2-1，5）相鄰分支點(diǎn)可以互相換位；（表2-1，6）綜合點(diǎn)和分支點(diǎn)之間一般不宜交換位置。 （表2-1，7）四、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡化 簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖時(shí)，可根據(jù)具體情況采取不同的簡化方法。如果結(jié)構(gòu)圖只有簡單的串、并聯(lián)和反饋連接時(shí)，可先計(jì)算簡單的串、并聯(lián)和反饋連接部分，再逐步簡化。如果結(jié)構(gòu)圖中存在交叉連接或交叉反饋時(shí)，則先應(yīng)作分支點(diǎn)或綜合點(diǎn)的移動(dòng)，消去交叉，再按簡單連接方式逐步簡化。例2 簡化下圖所示多

10、回路系統(tǒng)，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)-+R(s)C(s)解 這是一個(gè)沒有交叉現(xiàn)象的多環(huán)系統(tǒng)，內(nèi)回路稱為局部反饋回路，外回路稱為主反饋回路。簡化時(shí)不需要將分支點(diǎn)和綜合點(diǎn)作前后移動(dòng)?？砂春唵未?、并聯(lián)和反饋連接的簡化規(guī)則，從內(nèi)部開始，由內(nèi)向外逐步簡化。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)-C(s)(a)(c)G6(s)R(s)C(s)-(b)G1(s)G6(s)R(s)-C(s)例2-15 簡化下圖所示結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s)。1/R11/C1S1/R21/C2SUr(s)-B-AUc(s)

11、解 該結(jié)構(gòu)圖存在交叉反饋，因此應(yīng)先作分支點(diǎn)、綜合點(diǎn)的移動(dòng)，將結(jié)構(gòu)圖簡化為簡單的串、并聯(lián)和反饋連接形式，再作進(jìn)一步的簡化。1/R11/C1s1/R21/C2sR1C2sUr(s)Uc(s)-Ur(s)Uc(s)R1C2sUr(s)Uc(s)-例：試化簡下述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)顯然若不移動(dòng)比較點(diǎn)或引出點(diǎn)的位置就無法化簡。H2(s)首先將 間的引出點(diǎn)后移到方框的輸出端，得到下圖：接著將 組成的內(nèi)反饋網(wǎng)絡(luò)簡化，其等效傳遞函數(shù)為H2(s)H2(s)得到圖為然后將 組成的內(nèi)反饋網(wǎng)絡(luò)簡化，其等效傳遞函數(shù)為：H2(s)/G4(s)H2(s)得到圖為最后將求得其傳遞函數(shù)為：H2(s)/G4

12、(s) 由此可見，當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中出現(xiàn)交叉連接和交叉反饋時(shí)，簡化過程中就需要移動(dòng)分支點(diǎn)或綜合點(diǎn)。至于在簡化時(shí)是前移還是后移，移分支點(diǎn)還是綜合點(diǎn)，有時(shí)都是可行的，但繁簡程度卻不相同。因此必須注意選擇適當(dāng)?shù)囊苿?dòng)方法。 應(yīng)該注意的是，對(duì)于有多個(gè)輸入的系統(tǒng)，不能籠統(tǒng)地應(yīng)用上面的規(guī)則去簡化結(jié)構(gòu)圖。這是因?yàn)閭鬟f函數(shù)是定義為某個(gè)輸入和其相應(yīng)的輸出在零初始條件下拉氏變換之比。對(duì)多個(gè)輸入就有多個(gè)相應(yīng)的傳遞函數(shù)，故簡化時(shí)必須分別對(duì)每個(gè)輸入逐個(gè)進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖變換，以求得各自的傳遞函數(shù)。同樣，對(duì)于有多個(gè)輸出的情況也應(yīng)分別變換。2-6 反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 反饋控制系統(tǒng)在工作過程中通常會(huì)受到給定輸入和擾動(dòng)輸入的作用，系統(tǒng)的

13、輸出響應(yīng)是由這兩類輸入共同作用的結(jié)果。由傳遞函數(shù)的定義可知，我們得不出一個(gè)既考慮給定輸入又考慮干擾輸入的傳遞函數(shù)，但是，對(duì)于線性定常系統(tǒng)，卻可以通過給定輸入與其相應(yīng)輸出間的傳遞函數(shù)和擾動(dòng)輸入與其相應(yīng)輸出間的傳遞函數(shù)來分別計(jì)算它們單獨(dú)作用時(shí)的輸出，然后利用疊加原理，就可以得到既考慮給定輸入又考慮擾動(dòng)輸入的輸出響應(yīng)。下面我們根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖來討論系統(tǒng)的幾種傳遞函數(shù)的概念。一、系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 在下圖所示的反饋控制系統(tǒng)中，偏差信號(hào)為 e(t)=r(t)-b(t)或 E(s)=R(s)-B(s)定義 反饋信號(hào)B(s)與偏差信號(hào)E(s)之比，稱為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，（簡稱開環(huán)傳遞函數(shù)）

14、。 Gk(s)=B(s)/E(s)=G(s)H(s)G(s)H(s)R(s)C(s)E(s)B(s)- 開環(huán)傳遞函數(shù)并不是開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而是指閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。二、閉環(huán)傳遞函數(shù)1. r(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 在下圖(a)所示的反饋系統(tǒng)中，為求取r(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，可令n(t)=0，于是圖(a)可簡化為(b)。G1(s)G2(s)H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s)C(s)(a)G1(s)H(s)G2(s)R(s)B(s)C(s)-(b) 由圖(b)求得輸出C(t)和輸入r(t)之間的傳遞函數(shù)為r(s)為輸入信號(hào)r(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。此時(shí)系統(tǒng)

15、輸出的拉氏變換式為 可見，當(dāng)系統(tǒng)中只有r(t)信號(hào)作用時(shí)，系統(tǒng)的輸出完全取決于C(t)對(duì)r(t)的閉環(huán)傳遞函數(shù)及r(t)的形式。2. 擾動(dòng) n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 在下圖(a)所示系統(tǒng)中，為求取n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，可令r(t)=0，此時(shí)圖(a)可簡化為圖(c)。由圖(c)可求得輸出C(t)和輸入n(t)之間的傳遞函數(shù)為稱n(s)為擾動(dòng)信號(hào)n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。此時(shí)，系統(tǒng)輸出的拉氏變換式為 G1(s)G2(s)H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s)C(s)(a)G1(s)G2(s)H(s)C(s)(c)N(s)- 由于擾動(dòng)信號(hào)n(t)在系統(tǒng)中的作用點(diǎn)與輸

16、入信號(hào)r(t)的作用點(diǎn)不一定是同一地方，故兩者閉環(huán)傳遞函數(shù)一般是不相同的。 根據(jù)線性疊加原理，上圖(a)所示系統(tǒng)的總輸出為各外作用引起的輸出的總和，故系統(tǒng)總輸出的拉氏變換式為 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)：例：位置隨動(dòng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)令ML=0，運(yùn)用串聯(lián)及反饋法則，可求得：梅遜公式一般形式為2.4.3. 用梅遜(S.J.Mason)公式求傳遞函數(shù)例2.12 用梅遜公式求如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。1/R1/Cs1/R1/Cs1/R1/CsUrUc-解 單回路數(shù)：5個(gè)兩兩互不接觸回路3個(gè)互不接觸的回路前向通路1條，該前向通路與所有回路均接觸，注意 應(yīng)用梅遜公式可以方便地求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而不必進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖變換。但當(dāng)結(jié)構(gòu)圖較復(fù)雜時(shí)，容易遺漏前向通路、回路