數(shù)學(xué)建模教學(xué)課件

1、數(shù)學(xué)建模初等數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介 數(shù)學(xué)建模的步驟 大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介1、什么是數(shù)學(xué)模型？ 數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 簡(jiǎn)單地說(shuō)：就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式（或是用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的描述），即用數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來(lái)描述（表述、模擬）所研究的客觀對(duì)象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律。2、什么是數(shù)學(xué)建模? 數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的一種實(shí)踐。即通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過(guò)程后，將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建

2、立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解。 可以說(shuō)有了數(shù)學(xué)并需要用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問(wèn)題，就一定要用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、方法去近似地刻劃該實(shí)際問(wèn)題，這種刻劃的數(shù)學(xué)表述的就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，其過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。數(shù)學(xué)模型一經(jīng)提出，就要用一定的技術(shù)手段（計(jì)算、證明等）來(lái)求解并驗(yàn)證，其中大量的計(jì)算往往是必不可少的，高性能的計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)建模這一方法如虎添翼似的得到了飛速的發(fā)展，掀起一個(gè)高潮。 數(shù)學(xué)建模將各種知識(shí)綜合應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題中，是培養(yǎng)和提高同學(xué)們應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力的必備手段之一。 大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽最早是1985年在美國(guó)出現(xiàn)的，1989年我國(guó)大學(xué)生開(kāi)始參加美國(guó)的競(jìng)

3、賽。經(jīng)過(guò)兩三年的參與，大家認(rèn)為競(jìng)賽是推動(dòng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)在高校迅速發(fā)展的好形式，1992年由中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)模型專業(yè)委員會(huì)組織舉辦了我國(guó)10城市的大學(xué)生數(shù)學(xué)模型聯(lián)賽。 教育部領(lǐng)導(dǎo)及時(shí)發(fā)現(xiàn)、并扶植、培育了這一新生事物，決定從1994年起由教育部高教司和中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)共同主辦全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，每年一次。十幾年來(lái)這項(xiàng)競(jìng)賽的規(guī)模以平均年增長(zhǎng)25%以上的速度發(fā)展。 大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽從一組數(shù)據(jù)中可以看出它的蓬勃發(fā)展之勢(shì)：從1994年196個(gè)學(xué)校的867支參賽隊(duì)，到2000年517個(gè)學(xué)校的3210支參賽隊(duì)，再到2019年795個(gè)學(xué)校的8492支參賽隊(duì)，參賽隊(duì)壯大了近10倍，2019年競(jìng)

4、賽的選手達(dá)到25000多名。 2019年競(jìng)賽的選手達(dá)到25000多名。2019年全國(guó)967所高校一萬(wàn)余支隊(duì)伍、三萬(wàn)多名大學(xué)生參加2019年度的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，山東省有59所高校，近七百支隊(duì)參加競(jìng)賽。 全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)秘書(shū)長(zhǎng)、清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系教授姜啟源說(shuō)：數(shù)模競(jìng)賽對(duì)青年學(xué)生非常有吸引力，它的題目由工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)生活等領(lǐng)域中的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化加工而成，沒(méi)有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。 數(shù)模競(jìng)賽何以這么受歡迎？到底有什么魅力？賽題的設(shè)置非常具有實(shí)用性和挑戰(zhàn)性。如，2019年的“SARS的傳播”、“露天礦生產(chǎn)的車輛安排”、“搶渡長(zhǎng)江”；2019

5、年的“奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)”、“電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理”、“飲酒駕車”、“公務(wù)員招聘”；2019年的“長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)”、“DVD在線租賃”、“雨量預(yù)報(bào)方法的評(píng)價(jià)”每一道題都緊扣當(dāng)前社會(huì)熱點(diǎn)，很有時(shí)代意義。 競(jìng)賽以通訊形式進(jìn)行，三名學(xué)生組成一隊(duì)，在三天（72小時(shí)）時(shí)間內(nèi)可以自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計(jì)算機(jī)、軟件和互聯(lián)網(wǎng)。每個(gè)隊(duì)要完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解，計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，結(jié)果的分析和檢驗(yàn)，模型的改進(jìn)等方面的論文。競(jìng)賽評(píng)獎(jiǎng)以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)。 姜啟源說(shuō)，建立數(shù)模來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，是學(xué)生在走上工作崗位后常常要做的工作

6、。做這樣的事情，所需要的遠(yuǎn)不只是數(shù)學(xué)知識(shí)和解數(shù)學(xué)題的能力，而需要多方面的綜合知識(shí)和能力。社會(huì)對(duì)具有這種能力的人的需求，比對(duì)數(shù)學(xué)專門人才的需求要多得多。 建立數(shù)學(xué)模型的步驟 (1)模型準(zhǔn)備：了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對(duì)象的各種信息。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題。 (2)模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并用精確的語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。 (3)模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻劃各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。(盡量用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具) (4)模型求解：利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對(duì)模型的所有參數(shù)做出計(jì)算(估計(jì))。(5)模型分析：對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行數(shù)

7、學(xué)的分析。 (6)模型檢驗(yàn)：將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此來(lái)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，則要對(duì)計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差，則應(yīng)該修改假設(shè)，再次重復(fù)建模過(guò)程。(7)模型應(yīng)用：應(yīng)用方式因問(wèn)題的性質(zhì)和建模的目的而異數(shù)學(xué)建模主要過(guò)程 實(shí)際問(wèn)題 模型假設(shè)：抽象、簡(jiǎn)化、明確參變量根據(jù)某種“定律”或“規(guī)律”建立變量和參數(shù)間的一個(gè)明確的數(shù)學(xué)關(guān)系，這種關(guān)系式就是實(shí)際問(wèn)題在數(shù)學(xué)意義上的模型 解析地或近似地求解該數(shù)學(xué)問(wèn)題用實(shí)際問(wèn)題的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)該模型 投入使用通過(guò)通不過(guò)2d墻室內(nèi) T1室外 T2dd墻l室內(nèi) T1室外 T2問(wèn)題雙層玻璃窗與同樣多材料的單

8、層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)Q1Q2Q 單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量T溫差, d材料厚度, k熱傳導(dǎo)系數(shù)1.1 雙層玻璃窗的功效記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2dd墻l室內(nèi) T1室外 T2Q1TaTbTa內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模熱傳導(dǎo)定律雙層玻璃模型2d墻室內(nèi) T1室外 T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比通常k1=410-3 8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 32對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，取k

9、1/k2 =16建模單層玻璃模型hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用取 h=l/d=4, 則 Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù) k2, 而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過(guò)天花板、墻壁 損失的熱量更多。我國(guó)北方寒冷地區(qū)的 建筑物，通常采用雙層玻璃：h=4時(shí)， Q1/Q2=0.03，h再大，熱量傳遞的減少就不明顯了，在考慮到墻體的厚度；所以建筑規(guī)范通常要求h=4。模性分析核軍備競(jìng)賽 冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實(shí)行“核威懾戰(zhàn)略”，核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí)。 隨著前

10、蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過(guò)了一系列的核裁軍協(xié)議。 在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無(wú)限擴(kuò)張，而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài)。 當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí)，平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化。 估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響。背景以雙方(戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略： 認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地； 乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地。摧毀這個(gè)基地的可能性是常

11、數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。模型假設(shè)圖的模型y=f(x)甲方有x枚導(dǎo)彈，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)x=g(y)乙方有y枚導(dǎo)彈，甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)當(dāng) x=0時(shí) y=y0，y0乙方的威懾值xyy00y0甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒(méi)有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)甲安全區(qū)雙方安全區(qū)P平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù))乙安全線精細(xì)模型乙方殘存率 s 甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地，基地未被摧毀的概率。sx個(gè)基地未摧毀，yx個(gè)基地未攻擊。xy甲方以 x攻擊乙方 y個(gè)基地中的 x個(gè),y0=sx+yxx=y

12、y0=sy乙的xy個(gè)被攻擊2次，s2(xy)個(gè)未摧毀；y (xy)=2y x個(gè)被攻擊1次，s(2y x )個(gè)未摧毀y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yy= y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2 a交換比(甲乙導(dǎo)彈數(shù)量比)x=a y,精細(xì)模型x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2y0威懾值s殘存率y=f(x)y是一條上凸的曲線y0變大，曲線上移、變陡s變大，y減小，曲線變平a變大，y增加，曲線變陡xy0y0 xy, y= y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y, 甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo)乙方威懾值 y0變大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被動(dòng)防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí)。（其它因素不變）乙安全線 y=f(x)上移模型解釋 平衡點(diǎn)PP 甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架乙安全線y=f(x)不變甲方殘存率變大威懾值x 0和交換比不變x減小，甲安全線x=g(y)向y軸靠近xy0y0 x