2022屆山西省太原市第五中學校高三下學期5月階段性檢測數(shù)學（文）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 18 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁2022屆山西省太原市第五中學校高三下學期5月階段性檢測數(shù)學（文）試題一、單選題1已知集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）ABCD【答案】C【分析】解不等式求得集合，對進行分類討論，根據(jù)是的子集列不等式，從而求得的取值范圍.【詳解】，當時，滿足.當時，由于，所以.綜上所述，的取值范圍是.故選：C2復數(shù)滿足，則的虛部是（）ABCD【答案】A【分析】通過計算出，從而得到，根據(jù)虛部的概念即可得結(jié)果.【詳解】，即的虛部是，故選

2、A.【點睛】本題主要考查了復數(shù)除法的運算，共軛復數(shù)的概念，復數(shù)的分類等，屬于基礎(chǔ)題.3已知，則（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導公式和二倍角的余弦公式計算作答.【詳解】因，則.故選：D4第24屆冬季奧運會于2022年2月4日至20日在北京舉行，中國代表團取得了9枚金牌，4枚銀牌，2枚銅牌的歷史最好成績2月8日，在自由式滑雪女子大跳臺坡面障礙技巧比賽中，中國運動員谷愛凌在最后一跳中完美地完成了超高難度動作1620，得分反超對手，獲得了金牌已知六個裁判為谷愛凌這一跳的打分分別為95，95，95，93，94，94，評分規(guī)則為去掉六個原始分中的一個最高分和一個最低分，剩下四個有效分的

3、平均數(shù)即為該選手的本輪得分設這六個原始分的中位數(shù)為，方差為；四個有效分的中位數(shù)為，方差為則下列結(jié)論正確的是（）A，B，C，D，【答案】D【分析】由中位數(shù)求法分別求出、，再根據(jù)方差公式求、，比較它們的大小即可得答案.【詳解】由題設，評分從小到大為，去掉一個最高、低分為，所以，平均數(shù)，所以.故選：D5已知直線和圓，則“”是“直線與圓相切”的（）A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【分析】首先求出直線與圓相切時的取值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，則 ，解得，所以“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：B【點睛】

4、本題考查直線與圓的位置關(guān)系，充分必要條件，重點考查計算，理解能力，屬于基礎(chǔ)題型.6已知向量，且.若點的軌跡過定點，則這個定點的坐標是（）ABCD【答案】A【分析】先求出點的軌跡為動直線，從而可求定點.【詳解】因為，故，整理得到：，故定點為：.故選：A.7函數(shù)的部分圖象大致為（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時，函數(shù)值的正負，即可得到答案；【詳解】，函數(shù)為偶函數(shù)，排除A,C，當時，排除D，故選：B8已知函數(shù)的定義域為，其圖象關(guān)于原點及對稱當時，則下列敘述正確的是（）A是周期函數(shù)B的圖象關(guān)于對稱C在單調(diào)遞增D的值域為【答案】C【分析】根據(jù)條件，作出函數(shù)的圖象逐項判斷.【詳解】解

5、：因為函數(shù)的定義域為，其圖象關(guān)于原點及對稱且時，其圖象如圖所示：由函數(shù)圖象知：為奇函數(shù)，在單調(diào)遞增，其值域為，不是周期函數(shù)，圖象也不關(guān)于對稱，故選：C9如圖，某款酒杯的容器部分為圓錐，且該圓錐的軸截面為面積是的正三角形.若在該酒杯內(nèi)放置一個圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過酒杯口高度，則酒杯可放置圓柱形冰塊的最大體積為（）ABCD【答案】C【分析】先根據(jù)軸截面求出圓錐底面圓的半徑，設出圓柱形冰塊的底面半徑，用含的式子表達出圓柱形冰塊的高，從而得到圓柱形冰塊的體積關(guān)于x的表達式，用導函數(shù)求解最大值.【詳解】設圓錐底面圓的半徑為，圓柱形冰塊的底面圓半徑為，高為，由題意可得，解得:，設圓柱形冰塊的體積為

6、，則.設，則，當時，；當時，故在取得極大值，也是最大值，所以，故酒杯可放置圓柱形冰塊的最大體積為.故選：C10，其中，e分別是圓周率自然對數(shù)的底數(shù)，則（）ABCD【答案】D【分析】判斷 ，采用作商法比較大小，根據(jù)的特征，可看作是曲線上兩點連線的斜率，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，即可比較出二者大小關(guān)系，同理比較的大小關(guān)系，可得答案.【詳解】 ,而 表示連接兩點 連線的斜率，這兩點都在函數(shù) 的圖象上， ，如圖示，當 時，曲線的切線的斜率k滿足 ，所以此時兩點連線的斜率，即 ，而 表示連接曲線上兩點 連線的斜率，如圖：而 ，當 時，曲線的切線的斜率 滿足 ，所以此時兩點連線的斜率，即 ，故，故選：D11已知

7、函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有5個實根，則的取值范圍是（）ABCD【答案】D【分析】由方程，解得，得到的可能取值，根據(jù)題意得到，即可求解.【詳解】由方程，可得，所以，當時，所以的可能取值為，因為原方程在區(qū)間上恰有5個實根，所以，解得，即的取值范圍是.故選：D.12已知函數(shù)f（x）aex2lnx2lna，若f（x）3，恒成立，則a的取值范圍為（）A1，）B，）Ce，）D2e，）【答案】C【分析】根據(jù)特殊值法，再結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法，通過放縮法、導數(shù)的性質(zhì)進行驗證即可.【詳解】由題設可知，要使成立，則，即，設，因為，所以單調(diào)遞增，而，由，.下證：當時，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，

8、所以當時，函數(shù)有最小值，即（當時，兩式等號成立），構(gòu)造函數(shù)，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，即（當時，兩式等號成立），則，得證.所以.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：構(gòu)造不等式的形式，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)運用放縮法進行求解是解題的關(guān)鍵.二、填空題13若實數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為_【答案】.【解析】首先畫出約束條件表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】解：約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示，解得即圖形是由原點，圍成的四邊形區(qū)域（包括邊界），由線性規(guī)劃可得當直線平移到點時，目標函數(shù)有最大值，則故答案為：【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，關(guān)鍵是根據(jù)線性約束條件畫出可

9、行域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.14如圖，圖形中的圓是正方形的內(nèi)切圓，點E，F(xiàn)，G，H為對角線與圓的交點，若向正方形內(nèi)隨機投入一點，則該點落在陰影部分區(qū)域內(nèi)的概率為_【答案】【分析】利用幾何概型概率計算公式，計算得所求概率.【詳解】設正方形的邊長為2，則陰影部分的面積為，故若向正方形內(nèi)隨機投入一點，則該點落在陰影部分區(qū)域內(nèi)的概率為 故答案為：.15已知數(shù)列的前n項和為，且數(shù)列，且數(shù)列的前n項和為，則_.【答案】【分析】根據(jù)通項公式和前n項和公式的關(guān)系求，從而求得，再利用裂項相消法求其前n項和即可.【詳解】對于數(shù)列，當時，也滿足上式，.，則.故答案為：.16已知雙曲線的左、右焦點分別為，漸近

10、線方程為，點A在圓上，若且點B是雙曲線右支上的點，則的正切值為_.【答案】【分析】根據(jù)題意求解出雙曲線方程，結(jié)合雙曲線性質(zhì)及三角形相關(guān)知識進行求解，得到結(jié)果.【詳解】由題中條件知雙曲線的漸近線方程為，即，又因為雙曲線方程為，所以，則，故焦點為，圓的方程為，則，又，恰為圓的直徑，點在圓上，故，而故點A為線段的中點，是等腰三角形，則，點在雙曲線的右支上，由雙曲線定義知，所以，在中由勾股定理得，則故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題需要有較強的綜合能力，關(guān)鍵是能熟練運用雙曲線性質(zhì)及二倍角公式進行求解.三、解答題17在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且_.在下面的三個條件中任選一個補充到上面

11、的問題中，并給出解答.，.(1)求角C；(2)若，求周長的取值范圍.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)【分析】（1）選由正弦定理結(jié)合和角公式得出角C；選由和角公式結(jié)合輔助角公式得出角C；由數(shù)量積公式結(jié)合余弦定理得出角C；（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式得出周長的取值范圍.【詳解】(1)選由正弦定理及，又，又，.選由，即，.，.選，.化簡得，.又，.(2)由余弦定理得，又，當且僅當時等號成立.，當且僅當時等號成立.又，.周長的取值范圍為.18如圖，是邊長為的等邊三角形，分別在邊上，且，為邊的中點，交于點，沿將折到的位置，使.(1)證明：平面；(2)若平面內(nèi)的直線平

12、面，且與邊交于點，是線段的中點，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）首先確定，在中，利用勾股定理可證得；再根據(jù)等腰三角形三線合一可得；由線面垂直的判定定理可得結(jié)論；（2）連接，作交于點，由線面平行的判定可知平面，進而確定，由，利用三棱錐體積公式可得結(jié)果.【詳解】(1)為等邊三角形，為中點，；，即，則在中，即；，為中點，又，；，平面，平面.(2)連接，過在平面上作交于點，平面，平面，平面，此時四邊形為平行四邊形，即三棱錐的體積為.19為了解“朗讀記憶”和“默讀記憶”兩種記憶方法的效率（記憶的平均時間）是否有差異，將40名學生平均分成兩組分別采用兩種記憶方法記憶同一篇文

13、章.由于事先沒有約定用什么圖表記錄記憶所用時間（單位：min），其結(jié)果是“朗讀記憶”用莖葉圖表示（如圖），“默讀記憶”用頻率分布直方圖表示（分組區(qū)間為，）（如圖）.(1)分別計算“朗讀記憶”和估算“默讀記憶”（估算時，用各組的中點值代替該組的平均值）記憶這篇文的平均時間（單位：min）；(2)依據(jù)（1），用m表示40位學生記憶的平均時間，完成下列22列聯(lián)表，判斷“朗讀記憶”和“默讀記憶”兩種記憶方法與其效率記憶的平均時間m是否有關(guān)聯(lián)，并說明理由.參考公式和數(shù)據(jù)：小于m不小于m合計朗讀記憶（人數(shù)）默讀記憶（人數(shù)）合計0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.8

14、28【答案】(1)“朗讀記憶”的平均時間為 min；“默讀記憶”的平均時間為 min；(2)列聯(lián)表見解析；無關(guān)聯(lián)，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)公式直接求出兩種記憶方式記憶這篇文章的平均時間；（2）由（1）求出，即可得到列聯(lián)表，計算出卡方，即可判斷.【詳解】(1)解：“朗讀記憶”的平均時間為 min；“默讀記憶”的平均時間為 min；(2)解：由（1）可知，由頻率分布直方圖可得“默讀記憶”中小于min的有人，所以列聯(lián)表如下所示：小于m不小于m合計朗讀記憶（人數(shù)）101020默讀記憶（人數(shù)）12820合計221840零假設為：“朗讀記憶”和“默讀記憶”兩種記憶方法與其效率記憶的平均時間無關(guān)

15、聯(lián)，所以，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷出不成立因此可以認為成立，即 “朗讀記憶”和“默讀記憶”兩種記憶方法與其效率記憶的平均時間無關(guān)聯(lián)；20已知函數(shù)，其中.(1)討論的單調(diào)性；(2)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）首先求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，分與兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意只需，即需要恒成立，設，由（1）中的結(jié)論求出的最小值，則問題轉(zhuǎn)化為，恒成立，參變分離可得，恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】(1)解：因為定義域為，且，當，恒成立，所以該函數(shù)在上單調(diào)遞增；當，令，

16、解得，令，解得，所以該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.綜上，當，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.(2)解：若要，只需，即需要恒成立.設，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，于是需要，恒成立，即，恒成立.設，則恒成立，所以，則，即.21已知橢圓的中心在原點，左焦點、右焦點都在軸上，點是橢圓上的動點，的面積的最大值為，在軸上方使成立的點只有一個（1）求橢圓的方程；（2）過點的兩直線，分別與橢圓交于點，和點，且，比較與的大小【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)已知設橢圓的方程為，由已知分析得，解得，即得橢圓的方程為.（2）先證明直線的斜率為0或不存在時，.再證明若的斜

17、率存在且不為0時，.【詳解】（1）根據(jù)已知設橢圓的方程為，.在軸上方使成立的點只有一個，在軸上方使成立的點是橢圓的短軸的端點.當點是短軸的端點時，由已知得，解得.橢圓的方程為.（2）.若直線的斜率為0或不存在時，且或且.由，得.若的斜率存在且不為0時，設：，由得，設，則，于是 .同理可得.綜上.【點睛】本題主要考查橢圓標準方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的弦長的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.22在數(shù)學中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中著名的有笛卡爾心型曲線.如圖，在直角坐標系中，以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標方程為，為該曲線上一動點.(1)當時，求的直角坐標；(2)若射線逆時針旋轉(zhuǎn)后與該曲線交于點，求面積的最大值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）令，由此求得的值，進而可求的直角坐標.（2）設出兩點極坐標，通過三角形面積公式求得面積的表達式，將表達式轉(zhuǎn)換為關(guān)于的二次函數(shù)，即可求