2013年北約自主招生試題與答案解析word版

1、 .專業(yè).專注.2013“北約”自主招生試題2013-03-16(時間 90 分鐘,滿分 120 分)一、選擇題(每題 8 分,共 48 分)21.以和1 2 為兩根的有理系數(shù)多項式的最高次數(shù)最小為()3356A.2B.C.D.【解】由x 2,可知 ,同理由x21 2 x可知(1 x) 2;3321所以方程(x 2)(1 x) 2 0的次數(shù)最小,其次數(shù)為 5,故選 C.232.在66的表中停放3輛完全相同的紅色和3輛完全相同的黑色車,每一行每一列只有一輛車,每輛車只占一格,共有種停放方法.2051840014400A. 720B.C.D.【解】紅色車選 3 列有C 20種方法,再從這三列中選三

2、行有 種方法,另外將紅色車C203366放在已選好的三列三行中有3 2 6種方法,同理黑色車只能從剩下的三行三列九個格中選,也有32 6種方法,因此方法數(shù)有(20 206)6 14400種.故選 D.3.已知(),則)x2 2y 5, y 22x 5 x yx 2x y y值為(322310122x 5兩式作差得 x y 2(x y)1416A.B.C.D.【解】由 2y 5與 y ,代入兩式中分別化出t 2t 1 0的兩個不等實根,于是x22x 2x 1 0 、 y 2y 1 0 x, y是方程,所以222x y 2, xy 1,也所以D.x3 2 x2y2 y3( x y)( x y) 3

3、 xy 2( xy) ( 2) 7 2 16.故選22. word 可編輯 . .專業(yè).專注.4.在數(shù)列 中, 1, 4 2 ( ),則n1值為()aa1Saann1n2013A.3019 220123019 220133018 22012B.C.)可知,D. 無法確定【解】由a 1 S4a 2 n 1,(1n1n當 1時, S 4a 2,所以a 5;n212當 時,有2S 4a 2(n 2),由-式得,nnn1a 4a 4a (n 2),即a2a 2(a a )(n 2) 且 a 2a 3,n1nn1n1nnn12132aaa所以(),同除以2 得,且1;1a2a 3 2 n N*nn1n1

4、n2220n1nnn13a所以1 n,故令n 2012時,得 2 3019,故選 A.2012an1222013n5.在ABC 中 D 為 BC 中點 DM 平分 ADB 交 AB于點 M DN 平分 ADC 交 AC 于 N,B則BM CN MN 與的關系為()MD CN MN CN MN CN MNA. BMB. MNC. BMACND.無法確定 DB 連接 ME, NE,MN【解】如圖,在 DA取 DE,BMME MB ,EN NC,D則顯然可證E且有,即,AME NE MN上述不等式當且僅當MED180BM CN MNCN DEN 180,也即 ,BC這顯然與三角形內角和定理矛盾,故等

5、號取不到,. word 可編輯 . .專業(yè).專注.也即選 A.BC AC ABA B C6.模長都為 1 的復數(shù) A,B,C滿足A B C 0,則的模長為()1A.12B.C.D. 無法確定2【解】由題知AA BB CC1,所以BC AC AB2BC AC AB BC AC AB,A B CA B C B CABC AC ABA B C2BC AC AB BC AC AB也即A B C B CA3 BA C A AB CB AC BC3 AB AC BA BC C A CB1,故選 B.二、解答題(每題 18 分,共 72 分)7.最多能找多少個兩兩不相等的正整數(shù)使其任意三個數(shù)之和為質數(shù),并證

6、明你的結論.【解】:至多有 4 個.首先可以取 1,3,7,9 這四個數(shù),它們任意三個數(shù)之和分別為 11,13,17,19 符合質數(shù)定義.下面再證明 5 個正整數(shù)是不符合題意的.若有 5 個正整數(shù),則考慮這五個數(shù)被 3 除的余數(shù),如果有一個數(shù)的余數(shù)為 0,那么考慮余下的 4 個數(shù)被 3 除的余數(shù),如果余數(shù)既有 1 也有 2,那么這兩個數(shù)與前面余數(shù)為 0 的數(shù)的和剛好為 3 的倍數(shù),故不符合題意,如果余下四個數(shù)的余數(shù)均相等,顯然取余下四個數(shù)中的三個數(shù),則這三個數(shù)的和為 3 的倍數(shù)不是質數(shù),也不符合題意,如果這 5 個數(shù)被 3 除的余數(shù)都不等于 0,則由抽屜原理,至少有 3 個數(shù)被 3 除的余數(shù)相

7、同,這三個數(shù)的和是 3 的倍數(shù)不是質數(shù),也不符合題意.綜上可知,不存在 5 個正整數(shù)符合題意,即至多有 4 個正整數(shù)符合題意.8.已知a a a a 0,且| a 2a | a 2a | | a 2a |.1232013122320131. word 可編輯 . .專業(yè).專注.證明: a a a 0 .a1232013【證明】:觀察可知a a a a 0 ,1232013即(2 ) (2 ) (2a a ) (2a a ) 0 a a a a21322013201212013又| 2 | 2 | | a 2a | ,不妨設| a 2a | t ,a1aaa3222013112則可寫為 (201

8、3 ) 0(0 2013, ) ,即(2k 2013)t 0,ktk tkk N又顯然a 2a ,a 2a , ,a 2a ,a 2a2k 2013 0,則有t 0,于是有,所以 a 2 a2013,即.a 012232012201320131111也所以 a 0 ,即證.a a a12320139.對于任意 ,求32cos cos6 6cos4 15cos2的值.6【解】32cos cos6 6cos4 15cos261 co s2 32(3) co s66 cos 415 co s 224 (1 cos 2 3 cos 233 cos 2 ) (3cos 2 4 cos 2 ) 6co s

9、24 15 cos234 12 cos 2 6 c os 4 4 6(1 cos4 ) 6 cos 4即求.10210.有一個 的數(shù)表,已知每一行的數(shù)均是由小到大排列.現(xiàn)在將每一列的數(shù)由小到大重m n新排列,則新的數(shù)表中每一行的數(shù)滿足什么樣的關系？請證明你的結論.,使得數(shù)陣中的每一行從原題敘述:已知有 個實數(shù),排列成 階數(shù)陣,記作m n m na ij mnaa .現(xiàn)將a i 1,2,3, ,m j j左到右都是遞增的,即對意的,當時,都有的12ij mnij1ij2m n 階數(shù)陣,記作a每一列原有的各數(shù)按照從上到下遞增的順序排列 ,形成一個新的,ij mni 1,2,3,na i1 ia a.試判斷即對任意的,當時,都有中每一行的 個n2ij mni ji j12數(shù)的大小關系,并說明理由. word 可編輯 . .專業(yè).專注. a【解】:數(shù)陣中每一行的 個數(shù)從左到右都是遞增的,理由如下:nij mn顯然,我們要證明數(shù)陣a中每一行的 個數(shù)從左到右都是遞增的,我們只需證明,nij mn a an1,2,3, ,( 1)對于任意i 1,2,3,m,其中j.,都有iji( j1) a apq,若存在一組p(q1)a a1,2,3, ,m,i ,i , ,i 1,2, ,m,其中 k令,k (q1)ik(q1)12kt p a a.a aa則當時,都有i qi (q1)t(q1)p(