定積分概念性質(zhì)

1、關于定積分概念性質(zhì)第一張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 17世紀，從實際需要中人們提出許多問題，歸結(jié)起來有兩類：速度問題、切線問題。導數(shù)研究了事物變化的速度，定積分則研究相反的問題：事物變化的累積和。如面積、路程、電量多少、變量作功等等。本章將重點學習定積分的概念、幾何意義及微積分基本定理。 前 言第二張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 4.1定積分概念一、定積分的引入曲邊梯形面積的求法注：此“面積”一定是以x軸為一邊的曲邊梯形；yxbaAy=f(x)第三張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例如：求曲線y=x2、直線x=0、x=1和y=0所圍成的面積？如圖所示此問題的難

2、點是圖形有一邊是曲的，如何求它的面積呢？研究此問題的基礎是已知矩形的面積公式S=長*寬=a*b，那么研究方法是“無限細分，以直代曲”，將曲邊圖形分劃為若干個小矩形，用小矩形面積Si矩近似代替小曲邊梯形面積Si曲，即:xyy=x21A0如果右邊的和式有極限（n），則極限值即為整個曲邊梯形的面積，即：第四張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月如圖所示： 1）將區(qū)間0,1n等分。其分點分別為：2）得n個小條形，每個小條形的寬均為高則分別取區(qū)間右端點xi(i=1,2,n)的函數(shù)值3）相乘為第i個小矩形面積：xy0 x2x3xn=1xn-1y=x2x0 x14）第i個小曲邊梯形面積近似：5）曲邊梯形

3、面積S曲近似：第五張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月xy010y=x2x01若取n=10容易發(fā)現(xiàn)n越大（即區(qū)間分得越細）則此面積誤差越小，6）直到用極限方法令n，得曲邊梯形的精確值：第六張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月總結(jié)：求曲邊梯形面積的步驟 引例1曲邊梯形的面積（演示）其中設物體的運動速度引例2變速直線運動的路程分割區(qū)間取近似值作和取極限 （1）細分區(qū)間ti-1ti(2) 取近似值 （3）作和（4）取極限 T1T2vt第七張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月曲邊梯形面積A：變速運動的路程 S：記為記為二、定積分的概念（演示）第八張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年

4、6月 定積分定義 如果當最大的子區(qū)間的長度 時，此和式有極限，則此極限叫作f(x)在 a，b上的定積分， 記為：即第九張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月在定積分 中其中“”為積分號（把字母s拉長），a，b為積分下限和上限，即積分變量x的范圍：axb，又叫積分區(qū)間；f(x)為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式。上例曲邊圖形的面積用定積分表示注意：據(jù)定義有如下說明:(1)定積分是特殊和式極限,它是一個定數(shù);(2)定積分的大小僅與區(qū)間a,b和被積函數(shù)f(x)有關；(3)規(guī)定：第十張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 若函數(shù) 在 上連續(xù)，2. 若函數(shù) 在 上有界，且只有有限個間斷點

5、，三、定積分存在的充分條件則 在 上可積。 則 在 上可積。 有界是函數(shù)在區(qū)間a,b上可積的必要條件。第十一張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月表示曲線 與 x 軸圍成的圖形面積的代數(shù)和。表示曲線 與 x 軸圍成的圖形面積。 四、定積分的幾何意義（演示）abA1A2A3（1）（2）第十二張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月（2）若 是奇函數(shù)，則（1）若 是偶函數(shù)，則a-a五、定積分的幾何性質(zhì)-aa由定積分幾何意義可得：第十三張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月補充規(guī)定：abxx+dx第十四張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月定積分幾何意義的應用1428173第十五張，P

6、PT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月0 xy-33第十六張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月把區(qū)間分成n等份，每份長，各分點是：解 因為 在 上連續(xù)，所以 存在例 用定義求定積分=第十七張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月規(guī)定：abxx+dx六、定積分的基本性質(zhì)第十八張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月無論 a, b, c 的相對位置如何，（3）式均成立?？赏茝V至有限個函數(shù)的代數(shù)和的情形。bcaacb定積分的基本性質(zhì)第十九張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月.則有推論1設 ，對任意babadxxgdxxf)()(（5）對任意)0，則有(xf第二十張，PPT共四十四頁，創(chuàng)

7、作于2022年6月.性質(zhì)6（介值定理）：設f(x)在a,b上可取得最大值M和最小值m， 于是， 由性質(zhì)5有.幾何意義也很明顯再根據(jù)閉區(qū)間上的聯(lián)系函數(shù)的介值定理可得第二十一張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 如果變速直線運動物體的運動方程是 S=S(t)，則在時間段T1,T2內(nèi)所發(fā)生的位移變化為S(T2)-S(T1)如果物體的運動方程為V=V(t)，則由定積分可知 連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分等于它的一個原函數(shù) 在積分區(qū)間上的增量微積分基本公式而？第二十二張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月微積分基本公式（一）變上限的積分定理axb第二十三張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月

8、證明思路 參見書 第二十四張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 例2 解：用分點0插分區(qū)間x,-2x第二十五張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例3例4第二十六張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月設 在區(qū)間 上連續(xù)， 是它的任意一個原函數(shù)，則有微積分基本公式（二）牛頓萊布尼茲公式證明思路 記作 第二十七張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 求下列定積分解 因為 在 上連續(xù)， 是它的一個原函數(shù) 所以 第二十八張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月或解 原式 幾何意義 第二十九張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月解 原式 幾何意義 第三十張，PPT共四十四

9、頁，創(chuàng)作于2022年6月解 原式 解 原式 合理應用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)，簡化定積分的計算。第三十一張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月解設，求分段函數(shù)的積分計算，應分區(qū)間選取相應的函數(shù)函數(shù)在x=1處間斷第三十二張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月exit引例曲邊梯形的面積 第三十三張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月exit定積分的定義 第三十四張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月exit定積分的幾何意義 第三十五張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月exit估值定理 第三十六張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月exit積分中值定理 第三十七張，PP

10、T共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月牛頓-萊布尼茲公式 返回 第三十八張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月若 是奇函數(shù)，則若 是偶函數(shù)，則a-a定積分的幾何意義是偶函數(shù)， 是奇函數(shù)。-aa偶函數(shù) 奇函數(shù) 第三十九張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 廣義積分*定義 假設對 在a,b 有定義且可積， (1) 對于a,+上的無窮積分 如果 存在，我們稱 收斂， 且定義： 否則，稱 發(fā)散。 (2) 對于-，b的無窮積分 如果 存在，我們稱 收斂， 且定義： 否則，稱 發(fā)散。 第四十張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 廣義積分*（3）對于區(qū)間（-，+）的無窮積分 如果 =A+B. 如果右邊每一個無窮積分都存在，我們稱 收斂， 如果其中之一不