新高考一輪復(fù)習(xí)蘇教版 雙曲線 作業(yè)

1、一輪分層練案(四十八)雙曲線A級基礎(chǔ)達標1漸近線方程為xy0的雙曲線的離心率是()A.eq f(r(2),2)B1C.eq r(2) D2【答案】C由題意可得eq f(b,a)1， e eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)2)eq r(112)eq r(2).故選C.2.一種畫雙曲線的工具如圖所示，長桿OB通過O處的鉸鏈與固定好的短桿OA連接，取一條定長的細繩，一端固定在點A，另一端固定在點B，套上鉛筆(如圖所示)作圖時，使鉛筆緊貼長桿OB，拉緊繩子，移動筆尖M(長桿OB繞O轉(zhuǎn)動)畫出的曲線即為雙曲線的一部分若|OA|10，|OB|12，細繩長為8，則所得雙曲線的離心率

2、為()A.eq f(6,5) B.eq f(5,4)C.eq f(3,2) D.eq f(5,2)【答案】D設(shè)|MB|t，則由題意，可得|MO|12t，|MA|8t，有|MO|MA|40，b0)上一點M(3,4)關(guān)于一條漸近線的對稱點恰為右焦點F2，則該雙曲線的標準方程為()A.eq f(x2,5)eq f(y2,20)1 B.eq f(x2,20)eq f(y2,5)1C.eq f(x2,5)eq f(y2,25)1 D.eq f(x2,25)eq f(y2,20)1【答案】A點M(3,4)與雙曲線的右焦點F2(c,0)關(guān)于漸近線yeq f(b,a)x對稱，則eq blcrc (avs4al

3、co1(f(4,3c)f(b,a)1，,2f(b,a)f(c3,2)，)得c5，eq f(b,a)2，所以b225a24a2，所以a25，b220，則該雙曲線的標準方程為eq f(x2,5)eq f(y2,20)1.4已知離心率為eq f(r(5),2)的雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點，且OMMF2，O為坐標原點，若Seq avs4al(OMF2)16，則雙曲線的實軸長是()A32 B16C84 D4【答案】B由題意知F2(c,0)，不妨令點M在漸近線yeq f(b,a)x上，由題意可知|F2M

4、|eq f(bc,r(a2b2)b，所以|OM|eq r(c2b2)a.由Seq avs4al(OMF2)16，可得eq f(1,2)ab16，即ab32，又a2b2c2，eq f(c,a)eq f(r(5),2)，所以a8，b4，c4eq r(5)，所以雙曲線C的實軸長為16.故選B.5(多選)已知雙曲線C過點(3，eq r(2)且漸近線為yeq f(r(3),3)x，則下列結(jié)論正確的是()AC的方程為eq f(x2,3)y21BC的離心率為eq r(3)C曲線yex21經(jīng)過C的一個焦點D直線xeq r(2)y10與C有兩個公共點【答案】AC設(shè)雙曲線C的方程為eq f(x2,a2)eq f(

5、y2,b2)1(a0，b0)，根據(jù)條件可知eq f(b,a)eq f(r(3),3)，所以方程可化為eq f(x2,3b2)eq f(y2,b2)1，將點(3，eq r(2)代入得b21，所以a23，所以雙曲線C的方程為eq f(x2,3)y21，故A對；離心率eeq f(c,a) eq r(f(a2b2,a2) eq r(f(31,3)eq f(2r(3),3)，故B錯；雙曲線C的焦點為(2,0)，(2，0)，將x2代入得ye010，故C對；聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(f(x2,3)y21，,xr(2)y10)整理得y22eq r(2)y20，則880，故只有一個公共點，故D

6、錯故選A、C.6(多選)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：y2x21的上、下焦點，點P是其一條漸近線上一點，且以線段F1F2為直徑的圓經(jīng)過點P，則()A雙曲線C的漸近線方程為yxB以F1F2為直徑的圓的方程為x2y21C點P的橫坐標為1DPF1F2的面積為eq r(2)【答案】ACD等軸雙曲線C：y2x21的漸近線方程為yx，故A正確；由雙曲線的方程可知|F1F2|2eq r(2)，所以以F1F2為直徑的圓的方程為x2y22，故B錯誤；點P(x0，y0)在圓x2y22上，不妨設(shè)點P(x0，y0)在直線yx上，所以由eq blcrc (avs4alco1(xoal(2,0)yoal(2,0)2，,y

7、0 x0，)解得|x0|1，則點P的橫坐標為1，故C正確；由上述分析可得PF1F2的面積為eq f(1,2)2eq r(2)1eq r(2)，故D正確故選A、C、D.7(多選)已知雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，則能使雙曲線C的方程為eq f(x2,16)eq f(y2,9)1的條件是()A雙曲線的離心率為eq f(5,4)B雙曲線過點eq blc(rc)(avs4alco1(5，f(9,4)C雙曲線的漸近線方程為3x4y0D雙曲線的實軸長為4【答案】ABC由題意可得焦點在x軸上，且c5，A選項，若雙曲線的

8、離心率為eq f(5,4)，則a4，所以b2c2a29，此時雙曲線的方程為eq f(x2,16)eq f(y2,9)1，故A正確；B選項，若雙曲線過點eq blc(rc)(avs4alco1(5，f(9,4)，則eq blcrc (avs4alco1(f(25,a2)f(f(81,16),b2)1，,a2b225，)得eq blcrc (avs4alco1(a216，,b29，)此時雙曲線的方程為eq f(x2,16)eq f(y2,9)1，故B正確；C選項，若雙曲線的漸近線方程為3x4y0，可設(shè)雙曲線的方程為eq f(x2,16)eq f(y2,9)m(m0)，所以c216m9m25，解得m

9、1，所以此時雙曲線的方程為eq f(x2,16)eq f(y2,9)1，故C正確；D選項，若雙曲線的實軸長為4，則a2，所以b2c2a221，此時雙曲線的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,21)1，故D錯誤故選A、B、C.8P是雙曲線C：eq f(x2,2)y21右支上一點，直線l是雙曲線C的一條漸近線P在l上的射影為Q，F(xiàn)1是雙曲線C的左焦點，則|PF1|PQ|的最小值為_解析：設(shè)雙曲線的右焦點為F2，連接PF2(圖略)，因為|PF1|PF2|2eq r(2)，所以|PF1|2eq r(2)|PF2|，|PF1|PQ|2eq r(2)|PF2|PQ|，當(dāng)且僅當(dāng)Q，P，F(xiàn)2三點共線，且

10、P在Q，F(xiàn)2之間時，|PF2|PQ|最小，且最小值為點F2到直線l的距離由題意可得直線l的方程為yeq f(r(2),2)x，焦點F2(eq r(3)，0)，點F2到直線l的距離d1，故|PQ|PF1|的最小值為2eq r(2)1.【答案】2eq r(2)19已知雙曲線C：eq f(x2,3)y21的左焦點為F，過F的直線l交雙曲線C的左、右兩支分別于點Q，P，若|FQ|t|QP|，則實數(shù)t的取值范圍是_解析：由條件知F(2,0)設(shè)P(x0，y0)，Q(x1，y1)，則eq o(FQ,sup7()(x12，y1)，eq o(QP,sup7()(x0 x1，y0y1)，則(x12，y1)t(x0

11、 x1，y0y1)，所以x1eq f(tx02,1t)，y1eq f(ty0,1t).因為點P(x0，y0)，Q(x1，y1)都在雙曲線C上，所以eq blcrc (avs4alco1(xoal(2,0)3yoal(2,0)3，,tx0223ty0231t2，)消去y0，得x0eq f(16t,4t).易知x0 eq r(3)，所以eq f(16t,4t) eq r(3)，易知t0，所以00，b0)的右焦點為F(c,0)(1)若雙曲線的一條漸近線方程為yx且c2，求雙曲線的方程；(2)以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為eq r(3)，求雙曲線

12、的離心率解：(1)因為雙曲線的漸近線方程為yeq f(b,a)x，所以ab，所以c2a2b22a24，所以a2b22，所以雙曲線方程為eq f(x2,2)eq f(y2,2)1.(2)設(shè)點A的坐標為(x0，y0)，所以直線AO的斜率滿足eq f(y0,x0)(eq r(3)1，所以x0eq r(3)y0，依題意，圓的方程為x2y2c2，將代入圓的方程得3yeq oal(2,0)yeq oal(2,0)c2，即y0eq f(1,2)c，所以x0eq f(r(3),2)c，所以點A的坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)c，f(1,2)c)，代入雙曲線方程得eq f(f

13、(3,4)c2,a2)eq f(f(1,4)c2,b2)1，即eq f(3,4)b2c2eq f(1,4)a2c2a2b2，又因為a2b2c2，所以將b2c2a2代入式，整理得eq f(3,4)c42a2c2a40，所以3eq blc(rc)(avs4alco1(f(c,a)48eq blc(rc)(avs4alco1(f(c,a)240，所以(3e22)(e22)0，因為e1，所以eeq r(2)，所以雙曲線的離心率為eq r(2).B級綜合應(yīng)用11已知雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，若存在過右焦點F的直線與雙曲線交于A，B兩點，且eq o(AF,su

14、p7()3eq o(BF,sup7()，則雙曲線離心率的最小值為()A.eq r(2) B.eq r(3)C2 D2eq r(2)【答案】C因為過右焦點的直線與雙曲線C相交于A，B兩點，且eq o(AF,sup7()3eq o(BF,sup7()，故直線與雙曲線相交只能交于左、右兩支，即點A在左支，點B在右支，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦點F(c,0)，因為eq o(AF,sup7()3eq o(BF,sup7()，所以cx13(cx2)，即3x2x12c，因為x1a，x2a，所以x1a,3x23a，故3x2x14a，即2c4a，eq f(c,a)2，即e2.所以雙曲線離心率的最

15、小值為2.12我們把離心率互為倒數(shù)且焦點相同的橢圓和雙曲線稱為一對“優(yōu)美曲線”已知F1，F(xiàn)2是一對“優(yōu)美曲線”的焦點，M是它們在第一象限的交點，當(dāng)F1MF2eq f(,3)時，這一對“優(yōu)美曲線”中雙曲線的離心率是()A2 B.eq f(2r(3),3)C.eq r(2) D.eq r(3)【答案】D設(shè)F1Mm，F(xiàn)2Mn(mn0)，F(xiàn)1F22c，由余弦定理(2c)2m2n22mncos 60，即4c2m2n2mn，設(shè)a1是橢圓的長半軸長，a2為雙曲線的實半軸長，由橢圓以及雙曲線的定義，可得mn2a1，mn2a2，ma1a2，na1a2，代入式，可得3aeq oal(2,2)4c2aeq oal(

16、2,1)0，又eq f(c,a1)eq f(c,a2)1，即c2a1a2，可得3aeq oal(2,2)4a1a2aeq oal(2,1)0，解得a13a2，e1e2eq f(c,a1)eq f(c,a2)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(c,a2)21，解得e2eq r(3).故選D.13(多選)已知點P是雙曲線E：eq f(x2,16)eq f(y2,9)1的右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線E的左、右焦點，PF1F2的面積為20，則下列說法正確的有()A點P的橫坐標為eq f(20,3)BPF1F2的周長為eq f(80,3)CF1PF2小于eq f(,3)DP

17、F1F2的內(nèi)切圓半徑為eq f(3,2)解析：選ABCD雙曲線E：eq f(x2,16)eq f(y2,9)1的a4，b3，c5，不妨設(shè)P(m，n)，m0，n0，由PF1F2的面積為20，可得eq f(1,2)|F1F2|ncn5n20，即n4.由eq f(m2,16)eq f(16,9)1，可得meq f(20,3)，故A正確；由Peq blc(rc)(avs4alco1(f(20,3)，4)，且F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，可得kPF1eq f(12,35)，keq avs4al(PF2)eq f(12,5)，則tanF1PF2eq f(f(12,5)f(12,35),1f(1212,5

18、35)eq f(360,319)(0，eq r(3)，則F1PF2eq f(,3)，故C正確；由|PF1|PF2| eq r(16f(352,9) eq r(16f(25,9)eq f(37,3)eq f(13,3)eq f(50,3)，則PF1F2的周長為eq f(50,3)10eq f(80,3)，故B正確；設(shè)PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，可得eq f(1,2)r(|PF1|PF2|F1F2|)eq f(1,2)|F1F2|4，可得eq f(80,3)r40，解得req f(3,2)，故D正確故選A、B、C、D.14在平面直角坐標系 xOy中，已知 ABC的頂點 A( 6, 0)和 C(6,

19、 0)，若頂點 B在雙曲線eq f(x2,25)eq f(y2,11)1的左支上，則eq f(sin Asin C,sin B)_.解析：由條件知|BC|BA|10，且|AC|12.又在ABC中，有eq f(|BC|,sin A)eq f(|AB|,sin C)eq f(|AC|,sin B)2R(R為ABC外接圓的半徑)，從而eq f(sin Asin C,sin B)eq f(|BC|AB|,|AC|)eq f(5,6).【答案】eq f(5,6)15雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左頂點為A，右焦點為F，動點B在C上當(dāng)BFAF時，|AF|BF|.(

20、1)求C的離心率；(2)若B在第一象限，證明：BFA2BAF.解：(1)設(shè)雙曲線的離心率為e，焦距為2c，在eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1中，當(dāng)BFAF時，點B的橫坐標為c，則B點的縱坐標為yeq f(b2,a)，因|AF|BF|，所以aceq f(b2,a)，即a2acb2，a2acc2a2，所以e2e20，又e1，解得e2.(2)由(1)知2ac，b23a2，所以雙曲線方程可化為eq f(x2,a2)eq f(y2,3a2)1.如圖，設(shè)B(x，y)(x0，y0)，則kABeq f(y,xa)，kBFeq f(y,xc)，設(shè)BAF，則tan eq f(y,xa)，所以tan 2eq f(2tan ,1tan2)eq f(2f(y,xa),1blc(rc)(avs4alco1(f(y,xa)2)eq f(2xay,xa2y2)eq f(2xay,xa23a2blc(rc)(avs4alco1(f(x2,a2)1)eq f(2xay,2x22ax4a2)eq f(y,2ax)eq f(y,cx)kBFtanBFA，又因為02BAF，0BFA，所以BFA2BAF.C級遷移創(chuàng)新16如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l1：yx與直線l2：yx之間的陰影部分記為W，區(qū)域W中動點P(x，y)