勾股定理培優(yōu)題x

1、勾股定理培優(yōu)題勾股定理一、知識要點1、勾股定理1=1III勾股定理在西方又被稱為畢達哥拉斯定理，它有著悠久 的歷史，蘊含著豐富的文化價值，勾股定理是數(shù)學(xué)史上的一 個偉大的定理，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，被人譽為“千 古第一定理”.勾股定理反映了直角三角形（三邊分別為如b、C，其 中c為斜邊）的三邊關(guān)系，即a2+b2=C2,它的變形式為C2-a2=b2 或 c2-b2=a2.勾股定理是平面幾何中最重要的幾何定理之一，在幾何圖形的計算和論證方面，有著重要的應(yīng)用，它溝通了形與數(shù)， 將幾何論證轉(zhuǎn)化為代數(shù)計算，是一種重要的數(shù)學(xué)方法.2、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，

2、則這個三 角形是以c為斜邊的直角三角形.勾股定理的逆定理給出了判定一個三角形是直角三角形 的方法，這種方法與前面學(xué)過的一些判定方法不同，它是通 過代數(shù)運算“算”出來的，實際上利用計算證明幾何問題在 幾何里也是很重要的，這是里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的重要思想一一 數(shù)形結(jié)合思想，突破了利用角與角之間的轉(zhuǎn)化計算直角的方法，建立了通過求邊與邊的關(guān)系來判斷直角的新方法，它將 數(shù)形之間的聯(lián)系體現(xiàn)得淋漓盡致因此也有人稱勾股定理的 逆定理為“數(shù)形結(jié)合的第一定理”.二、基本知識過關(guān)測試如果直角三角形的兩邊為3, 4,則第三邊a的值是如圖，圖形A是以直角三角形直角邊a為直徑的半圓，陰影sa二如圖，有一個圓柱的高等于12cm

3、,底面半徑3cm, 一只螞 蟻要從下底面上B點處爬至上底與B點相對的A點處，所需 爬行的最短路程是4.如圖.在 AABC 中，CDAB 于 D, AB=5, CD= -,Z2-3BCD=30 ，則 AC=.作長為歹，百，虧的線段-2 x-3v5 在下列各組數(shù)中5, 12, 13 :？，24, 25；32, 42, 52；3a, 4a, 5a；a2+1, a2-1, 2a (a1)；m2-2, 2mn , m2+n2 (m n 0)可作直角三角形三邊長的有 組.7.如圖，四邊形 ABCD 中，AB=1, BC=2, CD=2, AD=3,ABBC，則四邊形ABCD的面積是第2題圖第3題圖第4題圖

4、第7題圖8.如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC中點,E為BC上一點，且EC= i BC,試判斷 AEF的形狀.4BE C三、綜合.提高.創(chuàng)新,ZA=30,【例1】(1)在三角形紙片ABC中，NC=90AC=3，折疊該紙片，使點A與點B重合，折痕與AB. AC 分別相交于點D和點E (如圖)，折痕DE的長是多少？(2)如圖，在矩形ABCD中，AB=8, AD=10,按如圖所示 折疊，使點D落在BC上的點E處，求折痕AF的長.(3)如圖，正三角形ABC的邊長為2, M是AB邊上的中 點，P是BC邊上任意一點，PA+PM的最大值和最小值分別 記作S和，求S2-T2的值.AMB學(xué)習(xí)貴在落實VA 如,

5、四形ABCD 是方形，把AACD 沿 AC 折到ACD9, AD，與BC交于,若AD=4, DC=3，求BE.【例 2】（1）如圖，MBC 中,ZC=60, AB=70, AC=30, 求BC的長.如圖，在四邊形 ABCD 中,AB=2, CD=19ZA=609 ZB=ZD=90。，求四邊形ABCD的面積.【練】如圖,ABC 中，A=150, AB=2, BC=，求 AC13W.【例 3】（1）如圖，AABC 中，AB=AC=20, BC=32, D 為 BC 上一點，ADB, 求 CD.AD C(2)如圖，在Rt AABC 中，/C=90AC 中點，AD=5, BE= 2而，求 AB.,D、

6、E分別是BC、【例4】如圖,ABC中，NACB=90,CDOAB 于 D,設(shè)AC=b, BC=a9 Ac, CD=h, 求：111;a 2 + b 2 = h 2a+b0,萬0,求以 的三角形的面積.r，r，為三邊長 a 2 b 2 a 2 4b 24 a 2 b 2+4-自我歸納：四、課后練習(xí)1.如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點A處測得燈塔M在 北偏西30，貨輪以每小時20海里的速度航行，1小時后到 達B處，測得燈塔M在北偏西45，問該貨輪到達燈塔正 東方向D處時，貨輪與燈塔M的距離是多少？2.在ABC 中，A=30, B=45, BC=10cm, 求 AB, AC 及小。的面積.3. (

7、1)如圖，把長方形沿ABCD對角線折疊，重合部分為 EBD.1)求證和：EBD為等腰三角形；2) 若AB=2, BC=8, 求 AE.AD(2)如圖，折疊長方形ABCD的一邊AD,使點D落在BC 邊上，已知 A=8cm9 CE=4cm，求 AD.4.如圖， ABC是等腰三角形，ZBAC=90 , AB=AC, D.E.是 BC 上的兩點，且ZDAE=45,若 BD=6, EC=8, 求DE的長.5.如圖，在等腰三角形中,AB=AC, D是斜邊BC的中點,E、F分別為AB，AC邊上的點，且DELDF.(1)求證：BE2+CF2=EF2； (2)若 BE=12, CF=5,試求DEF 的面積.6.

8、如圖，等腰RtAABC中，ZA=90, P為AABC內(nèi)一點，PA=1, PB=3, PC=-，求ZCPA.7. (1)如圖1,已知點P是矩形ABCD內(nèi)一點，求證: PA2+PC2=PB2+PD2.AD(2)如果點P移動到矩形的一邊或頂點時，如圖2, (1) 中結(jié)論仍成立；BC如果點P移動到矩形ABCD的外部時，如圖3, (1)中結(jié) 論仍成立.請在以上兩個結(jié)論中任選一個并給出證明.歸納結(jié)論:8.如圖，AABC中，AD是BC邊的中點，AE是BC邊上的高，求證：AB2-AC2=2BC DE.9.求代數(shù)式苛廣的最小值.% 2 1 (9 x)2 4+ + - +10.試判斷,三邊長分別為 2n2+2n, 2n+1, 2n2+2n+1 (n0) 的三角形是否為直角三角形？11 .已