實驗三 快速傅立葉變換

1、實驗三 快速傅立葉變換 1一、實驗目的 加深對離散傅立葉變換(DFT)的理解。 掌握利用MATLAB語言進行離散傅立葉變換和逆變換的方法。加深對離散傅立葉變換基本性質的理解。掌握離散傅立葉變換快速算法的應用。2二、實驗原理及方法有限長序列通過離散傅里葉變換(DFT)將其頻域離散化成有限長序列.但其計算量太大(與N的平方成正比）, 很難實時地處理問題, 因此引出了快速傅里葉變換(FFT)。FFT并不是一種新的變換形式,它只是DFT的一種快速算法.并且根據對序列分解與選取方法的不同而產生了FFT的多種算法.3DFT的快速算法FFT是數字信號處理的基本方法和基本技術，是必須牢牢掌握的。 時間抽選FF

2、T算法的理論推導和流圖詳見數字信號處理教材。該算法遵循兩條準則： （1）對時間奇偶分；（2）對頻率前后分。 這種算法的流圖特點是： （1）基本運算單元都是蝶形 任何一個長度為N=2M的序列，總可通過M次分解最后成為2點的DFT計算。如圖所示： 4WNk稱為旋轉因子 計算方程如下： Xm+1(p)=Xm(p)+WNkXm(q) Xm+1(q)=Xm(p)-WNkXm(q)5 （2）同址（原位）計算 這是由蝶形運算帶來的好處，每一級蝶形運算的結果Xm+1(p)無須另外存儲，只要再存入Xm(p)中即可，Xm+1(q)亦然。這樣將大大節(jié)省存儲單元。 （3）變址計算 輸入為“混序”（碼位倒置）排列，輸出

3、按自然序排列，因而對輸入要進行“變址”計算（即碼位倒置計算）。“變址”實際上是一種“整序”的行為，目的是保證“同址”。 6FFT的應用凡是利用付里葉變換來進行分析、綜合、變換的地方，都可以利用FFT算法來減少其計算量。FFT主要應用在 1、快速卷積 2、快速相關 3、頻譜分析7快速傅立葉變換的MATLAB實現提供fft函數計算DFT格式 X=fft(x) X=fft(x,N) 如果x的長度小于N，則在其后填零使其成為N點序列，反之對x進行截斷，若省略變量N，則DFT的長度即為x的長度。如果N為2的冪，則得到高速的基-2FFT算法；若N不是2的乘方，則為較慢的混合算法。如果x是矩陣，則X是對矩陣

4、的每一列向量作FFT。8快速傅立葉逆變換（IFFT）函數調用格式 y=ifft(x) y=ifft(x,N)當N小于x長度時，對x進行截斷，當N大于x長度時，對x進行補零。9fftshift函數功能： 對fft的輸出進行重新排列，將零頻分量移到頻譜的中心。調用格式 y=fftshift(x) 當x為向量時，fftshift(x)直接將x中左右兩半交換而產生y。 當x為矩陣時，fftshift(x)直接將x中左右、上下進行交換而產生y。10由題目可得x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t)fs=100N=128/1024例：已知信號由15Hz幅值0.5的正弦信號

5、和40Hz幅值2的正弦信號組成，數據采樣頻率為100Hz,試繪制N=128點DFT的幅頻圖。11fs=100;N=128;n=0:N-1;t=n/fs;x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);y=fft(x,N);f=(0:length(y)-1)*fs/length(y);mag=abs(y);stem(f,mag);title(N=128點)12利用FFT進行功率譜的噪聲分析已知帶有測量噪聲信號 其中f1=50Hz,f2=120Hz, 為均值為零、方差為1的隨機信號，采樣頻率為1000Hz，數據點數N=512。試繪制信號的功率譜圖。13t=0:0.001

6、:0.6;x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);y=x+2*randn(1,length(t);Y=fft(y,512);P=Y.*conj(Y)/512; %求功率f=1000*(0:255)/512;subplot(2,1,1);plot(y);subplot(2,1,2);plot(f,P(1:256);14序列長度和FFT的長度對信號頻譜的影響。已知信號 其中f1=15Hz,f2=40Hz,采樣頻率為100Hz. 在下列情況下繪制其幅頻譜。 Ndata=32,Nfft=32; Ndata=32,Nfft=128;15fs=100;Ndata=32; Nfft

7、=32;n=0:Ndata-1;t=n/fs;x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);y=fft(x,Nfft);mag=abs(y);f=(0:length(y)-1)*fs/length(y);subplot(2,1,1)plot(f(1:Nfft/2),mag(1:Nfft/2)title(Ndata=32,Nfft=32)16Nfft=128;n=0:Ndata-1;t=n/fs;x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);y=fft(x,Nfft);mag=abs(y);f=(0:length(y)-1)*fs/le

8、ngth(y);subplot(2,1,2)plot(f(1:Nfft/2),mag(1:Nfft/2)title(Ndata=32,Nfft=128)17線性卷積的FFT算法在MATLAB實現卷積的函數為CONV，對于N值較小的向量，這是十分有效的。對于N值較大的向量卷積可用FFT加快計算速度。由DFT性質可知，若DFTx1(n)=X1(k),DFTx2(n)=X2(k)則 若DFT和IDFT均采用FFT和IFFT算法，可提高卷積速度。18計算x1(n)和x2(n)的線性卷積的FFT算法可由下面步驟實現計算X1(k)=FFTx1(n);計算X2(k)=FFTx2(n);計算Y(k)=X1(k) X2(k);計算x1(n)*x2(n)=IFFTY(k).19用函數conv和FFT計算同一序列的卷積，比較其計算時間。clock函數讀取瞬時時鐘etime(t1,t2)函數計算時刻t1,t2間所經歷的時間。20調