考研資料數(shù)三2008年真題

1、2008 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試xyzsakura數(shù)學(xué)三試題一、選擇題： 18 小題，每小題4 分，共 32 分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).x（1）設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間 1,1上連續(xù)，則 x0是函數(shù) g(x)0f (t )dt的（）xA 跳躍間斷點(diǎn) .B 可去間斷點(diǎn) .C 無窮間斷點(diǎn) .D 振蕩間斷點(diǎn) .（ 2 ）曲線段方程為 yf (x) ，函數(shù) f ( x) 在 區(qū)間 0, a 上有連續(xù) 的導(dǎo)數(shù)，則定積分aaf t (x)dx 等于（）0A 曲邊梯形 ABCD 面積 .B 梯形 ABCD 面積 .C 曲邊三角形 ACD

2、面積 .D 三角形 ACD 面積 .（3）已知 f (x, y) e x2 y4，則（ A ） f x(0,0)， f y (0,0) 都存在（B ） f x (0,0)不存在， f y(0,0) 存在（ C） f x(0,0)不存在， f y (0,0) 不存在（D ） f x(0,0) ， f y (0,0)都不存在（4）設(shè)函數(shù) f 連續(xù)，若 f (u,v)f ( x2y2 )dxdyFx2y2，其中 Duv 為圖中陰影部分，則Duvu（）（A ） vf (u2 )（ B ） v f (u2 )（C） vf (u)（ D） vf (u)uu（5）設(shè) A 為階非 0 矩陣 E 為階單位矩陣若

3、A30 ，則（）A EA 不可逆， EA不可逆 .BEA 不可逆， EA可逆 .C EA可逆， EA可逆 .DEA可逆， EA不可逆 .（6）設(shè) A12A 合同矩陣為（2則在實(shí)數(shù)域上域與）1考研2121A.B21212112C.D1122.（ 7）隨機(jī)變量X ,Y 獨(dú)立同分布且X 分布函數(shù)為 Fx，則 ZmaxX ,Y分布函數(shù)為（）A F 2 x.B F x F y .2D 1 F x 1 F y .C 1 1 F x .（8）隨機(jī)變量 X N0,1 ， YN 1,4且相關(guān)系數(shù)XY1，則（）APY2X11.BPY 2X1 1.CPY2X1 1.DPY2X1 1.二、填空題：9-14 小題，每小

4、題4 分，共 24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.x21,xc（9）設(shè)函數(shù) f (x)2,xc在 (,) 內(nèi)連續(xù)，則 c.x322（10）設(shè) f ( x1)xx4 ，則_ .2f ( x)dxx1x（11）設(shè) D( x, y) x2y21 ，則(x2y)dxdy.D（12）微分方程 xyy0 滿足條件 y(1) 1 的解 y.（13）設(shè) 3 階矩陣 A 的特征值為1， 2， 2，E 為 3 階單位矩陣，則4A 1E_ .（14）設(shè)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為1 的泊松分布，則 P XEX 2.三、解答題： 15 23小題，共94 分 .請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

5、演算步驟 .（本題滿分 10 分）求極限 lim 1ln sin x .x 0 x2x（本題滿分 10 分）設(shè) zz(x, y) 是由方程 x2y2zxyz 所確定的函數(shù)， 其中具有 2 階導(dǎo)數(shù)且1時(shí) .考研（ 1）求 dz（ 2）記 u x, y1zz，求u .xyxyx（本題滿分 11 分）計(jì)算 max(xy,1), 其中 D ( x, y) 0 x 2,0 y 2 .dxdyD（本題滿分 10 分）設(shè) fx 是周期為 2 的連續(xù)函數(shù)，（ 1）證明對任意實(shí)數(shù)t 2f2t ，有x dxf x dx ；t0（ 2）證明 G xxt22 f ttf s ds dt 是周期為2 的周期函數(shù)0（本題

6、滿分 10 分）設(shè)銀行存款的年利率為r0.05 ，并依年復(fù)利計(jì)算，某基金會希望通過存款A(yù) 萬元，實(shí)現(xiàn)第一年提取 19 萬元，第二年提取 28 萬元， ，第 n 年提?。?10+9n ）萬元，并能按此規(guī)律一直提取下去，問 A 至少應(yīng)為多少萬元？(20) （本題滿分12 分）2a1a22aO設(shè)矩陣 AOO12a2a，現(xiàn)矩陣 A 滿足方程 AXB，其中 XTx1,L , xn ，n nB1,0,L ,0，（1）求證 An 1 an ;（2） a 為何值，方程組有唯一解;（3） a 為何值，方程組有無窮多解 .（21）（本題滿分10 分）設(shè)A為 3階 矩 陣 ， a1 , a2為 A 的分別屬于特征值

7、1,1 特 征 向量 ， 向 量 a3 滿 足Aa3a2 a3 ，證明（ 1） a1 , a2 , a3 線性無關(guān)；2）令 Pa1 ,a2 , a3 ，求 P 1 AP .22）（本題滿分 11 分）設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立， X 的概率分布為 P X i1i1,0,1 ， Y 的概率310 y1密度為 fY y其它，記ZXY0考研（1）求 P Z1；X 022）求 Z 的概率密度（23） （本題滿分 11 分）X1 , X 2 ,L , X n 是 總 體 為 N ( ,2)的簡單隨機(jī)樣本.記X1 nXi ，n i 1S21n21 S2.( X i X ) 2 ， T Xn1 i 1

8、n（ 1）證T 是2 的無偏估計(jì)量 .（ ）當(dāng)0,1時(shí) ，求DT .2考研2008 年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析一、選擇題【答案】 Bxf (t)dt【詳解】lim g( x)lim 0lim f xf 0 ，xx 0 x 0 x 0所以 x0 是函數(shù) g( x) 的可去間斷點(diǎn)【答案】 Caxf (x)dxaxdf ( x)xf ( x) 0aaaf (a)a【詳解】00f ( x)dxf ( x)dx00af (x)dx 為曲邊梯形 ABOD 的面積，所以a其中 af (a) 是矩形 ABOC 面積，xf ( x)dx 為00曲邊三角形的面積(3) 【答案】 B【詳解】 f x(0,0)limf

9、 ( x,0)f (0,0)lim e x2 041lim e x1x0 x0 x0 xx0 xlim e xx1lim ex 11 ， limex1lime x11x0 x0 xx 0 xx 0 x故 f x (0,0) 不存在f y (0,0)lim f (0, y) f (0,0)lim e 02y41lim ey21lim y20y 0y 0y 0yy 0yy 0 y所以 f y (0,0)存在故選B .【答案】 Afu2v2vu2)rdru2 )dr【詳解】用極坐標(biāo)得F u, vu2v2dudvdvf (rrv f (rD011所以Fvfu2 .u【答案】 C【詳解】 (EA)(EA

10、A2)EA3E，(EA)(EAA2)EA3E .故 E A,E A均可逆(6) 【答案】 D【詳解】記12122又D，則 ED21 4211考研E1224，A112所以 A 和 D 有相同的特征多項(xiàng)式，所以A 和 D 有相同的特征值 .又 A 和 D 為同階實(shí)對稱矩陣，所以A 和 D 相似由于實(shí)對稱矩陣相似必合同，故D正確.(7) 【答案】 A【詳解】 FZ zP ZzP max X,YzP X z P Y z FZ z FZ zFZ2 z .(8) 【答案】 D【詳解】 用排除法 . 設(shè) YaX b ，由XY1，知道 X ,Y 正相關(guān)，得 a0 ，排除A 、 C由 X N (0,1), Y

11、N (1,4) ，得 EX0, EY1,所以E(Y )E (aX b)aEXba0 b 1, 所以 b 1. 排除B.故選擇 D.二、填空題【答案】 12 x ,xc【詳解】由題設(shè)知c | x | 0 ，所以 f ( x)x2 1,c x c2 x ,xc因?yàn)閘im fxlim( x21)c21 ， lim fxlim22xcxcxcx cxc又因?yàn)?f (x) 在 (,) 內(nèi)連續(xù)，f (x) 必在 xc 處連續(xù)所以lim fxlim fxf (c) ，即 c212c1 .xcxcc1 ln 3(10)【答案】211x1x1t【詳解】 fxxxx ，得 f tx112，令 t22x2xtx2x

12、2x2222x dx1 ln x222所以f x dx2222x2221 ln 6 ln 21 ln 3.22(11)【答案】4【詳解】( x2y)dxdy利用函數(shù)奇偶性21x2y2dxdy1212rdrx dxdy2 D2drDD004.考研1(12)【答案】yx【詳解】由 dyy ，兩端積分得ln yln xC1 ，所以 1xC ，又 y(1)1，所dxxy1以 y.x(13)【答案】 3【詳解】 A 的特征值為 1,2, 2，所以 A 1 的特征值為 1,1 2,12 ，所以 4A1E 的特征值為 4113， 41 2 11 ， 41 211所以 4B1E3 1 13 .(14)【答案】

13、1 e 12【詳解】由 DXEX 2(EX )2，得 EX2DX(EX )2，又因?yàn)?X 服從參數(shù)為 1 的泊松分布，所以 DXEX1，所以 EX 211 2，所以PX212e 11 e 1 .2！2三、解答題(15) 【詳解】方法一 ： lim12ln sin xlim12 ln 1sin x1x 0 xxx 0 xxlim sin x xlim cosx1lim sin x1x 0 x3x 03x2x 0 6x6方法二 ： lim1ln sin x 洛必達(dá)法則 lim x cosxsin xlim x cosx sin xx 0 x2xx02x2 sin xx 02 x3洛必達(dá)法則 lim

14、xsin x16x26x0(16)【詳解】 (I)2xdx2 ydydzxyzdxdydz1 dz2x dx2 y dydz2xdx2 ydyQ11(II) 由上一問可知z2x,z2y ，x1y1所以u x, y1 ( zz)1 (2x2y)12y 2x2x y xyx y11x y11考研2 (1z)2x)u2 (12x)2 (1 2x)x12 (1所以2233 .x1111【詳解】 曲線 xy 1將區(qū)域分成兩個(gè)區(qū)域 D1 和 D2D3，為了便于計(jì)算繼續(xù)對區(qū)域分割，最后為maxxy,1 dxdyD1DxydxdydxdydxdyD1D2D3D3D21122222 dxx1dy1dy1 dx1

15、 dx 1 xydy00202x1 2ln 215ln 2O 0.52 x4ln 24【詳解】方法一 ： (I)由積分的性質(zhì)知對任意的實(shí)數(shù)t ，t2xdx0 xdx2xdxt2xdxtftff2f0令 x2 u ，則t2tf 2 u dutf u du0f x dx2f x dx00tt2xdx0 xdx2x dx0f x2fx dx所以tffftdxt00由 (1) 知，對任意的 t 有t2xdx22fx dx ，則(II)2f0fx dx ，記 a0G ( x)2xuduax .x ，f所以，對任意的0G ( x2)G (x)x 2udua( x2)2xudu ax2ff00 x2udu2

16、a22udu2a02ffx0所以 Gx 是周期為2 的周期函數(shù) .方法二 ： (I)設(shè) F (t )t 2f (t2)f (t )0 ，所以 F (t) 為常數(shù)，tf (x)dx ，由于 F (t)從 而 有 F (t )F (0). 而 F(0)2f ( x)dx， 所 以 F (t )2f ( x)dx ， 即00t22tf ( x) dx0f ( x)dx .考研(II)由 (I) 知，對任意的 t 有t 2fxdx2f xdx ，記 a2fx dx ，則200G ( x)xfuduaxG (x2)x2u dua( x2)2，2f00由于對任意 x ， G( x 2)2 f (x2)a2

17、 f (x)a ， G( x)2 f ( x) a所以G ( x2) G (x)0 ，從而G ( x2)G (x) 是常數(shù)即有G (x2)G ( x)G (2)G (0)0所以 Gx 是周期為2 的周期函數(shù) .(19) 【詳解】方法一 ：設(shè) An 為用于第 n 年提取(109n) 萬元的貼現(xiàn)值，則An(1r )n (10 9n)故AAn109n1019n2009nn 1 (1 r )nn 1 (1 r )nn 1 (1 r )nn 1 (1 r ) nn 1設(shè)S( x)nxnx(1,1)n1因?yàn)镾( x)x(xn )x(x)(1xx( 1,1)n 11xx)2所以S(1)S( 1) 420(萬

18、元 )1r1.05故A20094203980(萬元 )，即至少應(yīng)存入3980 萬元 .方法二 ：設(shè)第t 年取款后的余款是yt ，由題意知 yt 滿足方程yt(10.05) yt1(109t ) ， 即yt1.05 yt 1(10 9t )(1)(1)對應(yīng)的齊次方程yt1.05 yt 10 的通解為ytC (1.05)t設(shè)(1) 的通解為yt*atb ，代入 (1)解得a180 ， b3980所以 (1) 的通解為ytC (1.05)t180t3980由 y0A ， yt0得AC3980C0故 A 至少為 3980 萬元【詳解】 (I)考研2a12a13aa22a10122aO2Aar21 ar

19、122aOLOOOa2OOOOO1OO1a22aa22a2a103a12rnn 1arn 104aO2a3a4aK (n1)a(n1)an3nOOO23nOO10(n1)a證法一 ：n證法二 ：記Dn|A| ，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明D( n1)an n當(dāng)n1時(shí)，2a12a13aa22a10122aO12a22aOAOOOr2 2ar1aLOOOOO1OO1a22aa22a2a103a12rn n 1 arn 104aO2a 3a4a K (n1)a(n1)an3nOOO23nOO10(n1)aD12a ，n結(jié)論成立當(dāng) n2時(shí)， D22a13a2 ，結(jié)論成立a22a假設(shè)結(jié)論對小于n 的情況成立將D

20、 n 按第 1 行展開得考研a2102a1Dn2aDn1a22a 1OOOOO1a22a2aDn1a2 Dn22anan 1a2 (n 1)an 2( n1)an故|A|(n1)na證法三 ：記 Dn| A | ，將其按第一列展開得D n2aD n 1a2D n 2 ，所以DnaD n 1aD n 1 a2 D n 2a(Dn 1aDn 2 )a2 (Dn 2aD n 3 ) Lan 2 ( D2aD1) an即DnanaDn 1ana(an 1aDn 2 ) 2ana2 Dn 2L( n 2)anan 2D 2 (n 1)anan 1D1(n 1)anan 1 2a (n 1)an(II)因

21、為方程組有唯一解，所以由AxB 知 A0，又 A(n1)an ，故 a0 由克萊姆法則，將Dn 的第 1 列換成 b ，得行列式為112a102a1a22a1a22aOa22aODn 1na n 1OOOOOOOO1OO1a22a nna22a (n 1)( n 1)所以x1Dn1nDn( n 1)a(III)方程組有無窮多解，由A0 ，有 a0 ，則方程組為考研01x1101x20OOMM01xn100 xn0此時(shí)方程組系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩均為n1 ，所以方程組有無窮多解，其通解為k 10 0L0T1 0LT, k 為任意常數(shù)00(21)【詳解】 (I)證法一 ：假設(shè) 1, 2 ,3

22、線性相關(guān) 因?yàn)?,2 分別屬于不同特征值的特征向量，故 1 ,2 線性無關(guān)，則3 可由1,2 線性表出， 不妨設(shè)3l11l22 ，其中 l1, l2 不全為零 (若l1 ,l 2 同時(shí)為0，則3為 0，由 A323 可知20，而特征向量都是非0 向量，矛盾 )Q A 11 , A22A 3232l1 1l 2 2 ，又 A 3A(l1 1l2 2 )l1 1 l 2 2l11l222l11l22 ，整理得： 2l1120則 1,2 線性相關(guān)，矛盾 . 所以，1,2 ,3 線性無關(guān) .證法二 ：設(shè)存在數(shù) k1 ,k2 , k3，使得 k11k2 2k330(1)用 A 左乘 (1)的兩邊并由 A 11, A22 得k11( k2k3 )2k3 30(2)(1) (2) 得2k11k320(3)因?yàn)? , 2 是 A 的屬于不同特征值的特征向量，所以1 ,2 線性無關(guān)，從而k1 k3 0 ，代入 (1)得 k220 ，又由于20 ，所以 k20，故 1,2, 3 線性無關(guān) .記P ( 1, 2, 3)，則 P可逆，APA( 1,2, 3)(A 1,A 2,A 3)(1, 2, 23)考研100100(1,2,3) 011P 011001001100所以P1AP011 .001(22)【詳解】11P(X 0,Y1)111(I)P(Z