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文檔簡介
1、試卷第 =page 1 1頁,共 =sectionpages 3 3頁一輪難題復習 推理與證明典型解答題一、知識網(wǎng)絡二、合情推理(一)歸納推理1. 歸納推理:由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理,或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理。簡言之,歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理。2. 歸納推理的一般步驟:第一步,通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì);第二步,從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題(猜想)。題型1:用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律(1)觀察:對于任意正實數(shù),試寫出使成立的一個條件可以是 _.點撥:前面所列式子的共同特征特征是被開方數(shù)之
2、和為22,故(2)蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師,單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形,如圖為一組蜂巢的截面圖。其中第一個圖有1個蜂巢,第二個圖有7個蜂巢,第三個圖有19個蜂巢,按此規(guī)律,以表示第幅圖的蜂巢總數(shù)。則【解題思路】找出的關系式解析總結(jié):處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關系(二)類比推理1. 類比推理:由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理。簡言之,類比推理是由特殊到特殊的推理。2. 類比推理的一般步驟:第一步:找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征;第二步:用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征,從而得出一
3、個猜想.題型2:用類比推理猜想新的命題(1)已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的,把這個結(jié)論推廣到空間正四面體,類似的結(jié)論是_.【解題思路】從方法的類比入手解析原問題的解法為等面積法,即,類比問題的解法應為等體積法,即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高總結(jié): 不僅要注意形式的類比,還要注意方法的類比。 類比推理常見的情形有:平面向空間類比;低維向高維類比;等差數(shù)列與等比數(shù)列類比;實數(shù)集的性質(zhì)向復數(shù)集的性質(zhì)類比;圓錐曲線間的類比等(三)合情推理1. 定義:歸納推理和類比推理都有是根據(jù)已有的事實,經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進行歸納、類比,然后提出猜想的推理,我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。簡言之,合情推理就是合乎
4、情理的推理。2. 推理的過程:思考探究:(1)歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系? 歸納推理是由部分到整體,從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數(shù)目越多,越具有代表性,那么推廣的一般性命題也會越可靠,它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。 類比推理是從特殊到特殊的推理,是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多,相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關系就越相關,從而類比得出的結(jié)論就越可靠。三、演繹推理(一)含義:1. 演繹推理是從一般性的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論。演繹推理又叫邏輯推理。2. 演繹推理的特點是由一般到特殊的推理。(二)演繹推理的模式1. 演繹推理的模式采用“三段論”:(1)大
5、前提已知的一般原理(M是P);(2)小前提所研究的特殊情況(S是M);(3)結(jié)論根據(jù)一般原理,對特殊情況做出的判斷(S是P)。2. 從集合的角度看演繹推理:(1)大前提:xM且x具有性質(zhì)P;(2)小前提:yS且SM(3)結(jié)論:y具有性質(zhì)P(三)演繹推理與合情推理合情推理與演繹推理的關系:1. 從推理形式上看,歸納是由部分到整體、個別到一般的推理,類比是由特殊到特說的推理;演繹推理是由一般到特殊的推理。2. 從推理所得的結(jié)論來看,合情推理的結(jié)論不一定正確,有待進一步證明;演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下,得到的結(jié)論一定正確。四、直接證明與間接證明(一)三種證明方法:綜合法、分析法
6、、反證法分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學解題中,分析法是從數(shù)學題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā),一步一步地探索下去,最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數(shù)學題的已知條件出發(fā),經(jīng)過逐步的邏輯推理,最后達到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說,分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因,綜合法表現(xiàn)為由果導因,它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法,應用十分廣泛。反證法:它是一種間接的證明方法。用這種方法證明一個命題的一般步驟:(1)假設命題的結(jié)論不成立;(2) 根據(jù)假設進行推理,直到推理中導出矛盾為止 (3) 斷言假設不成立(4)肯定原命題的結(jié)論成立用反證法證明一個命題的步驟,大體上分為:(1)反設;(2)歸
7、謬;(3)結(jié)論。重難點:在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學問題中,選擇好證明方法并運用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學命題考點1:綜合法在銳角三角形中,求證:解析考點2:分析法已知,求證解析總結(jié):注意分析法的“格式”是“要證只需證”,而不是“因為所以”考點3:反證法已知,證明方程沒有負數(shù)根【解題思路】“正難則反”,選擇反證法,因涉及方程的根,可從范圍方面尋找矛盾解析總結(jié):否定性命題從正面突破往往比較困難,故用反證法比較多五、數(shù)學歸納法1. 數(shù)學歸納法的定義:一般地,當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)N的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟:(1)證明當時命題成立;(2)
8、假設當時命題成立,證明n=k+1時命題也成立。在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于的所有正整數(shù)都成立。這種證明方法稱為數(shù)學歸納法。2. 數(shù)學歸納法的本質(zhì):無窮的歸納有限的演繹(遞推關系)3. 數(shù)學歸納法步驟:(1)(遞推奠基):當n取第一個值結(jié)論正確;(2)(遞推歸納):假設當時結(jié)論正確;(歸納假設)證明當n=k+1時結(jié)論也正確。(歸納證明)由(1),(2)可知,命題對于從開始的所有正整數(shù)n都正確。題型1:已知n是正偶數(shù),用數(shù)學歸納法證明時,若已假設時命題為真,則還需證明( )A. n=k+1時命題成立 B. n=k+2時命題成立C. n=2k+2時命題成立 D. n=2(k+2)時
9、命題成立解析因n是正偶數(shù),故只需證等式對所有偶數(shù)都成立,因k的下一個偶數(shù)是k+2,故選B總結(jié):用數(shù)學歸納法證明時,要注意觀察幾個方面:(1)n的范圍以及遞推的起點(2)觀察首末兩項的次數(shù)(或其它),確定n=k時命題的形式(3)從的差異,尋找由k到k+1遞推中,左邊要加(乘)上的式子題型2:用數(shù)學歸納法證明不等式解析總結(jié):(1)數(shù)學歸納法證明命題,格式嚴謹,必須嚴格按步驟進行;(2)歸納遞推是證明的難點,應看準“目標”進行變形;(3)由k推導到k+1時,有時可以“套”用其它證明方法,如:比較法、分析法等,表現(xiàn)出數(shù)學歸納法“靈活”的一面。例題1(1)求證:橢圓中斜率為的平行弦的中點軌跡必過橢圓中心
10、;(2)用作圖方法找出下面給定橢圓的中心;(3)我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”,其中,.如圖,設點,是相應橢圓的焦點,和,是“果圓” 與,軸的交點. 連結(jié)“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦.試研究:是否存在實數(shù),使斜率為的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上?若存在,求出所有可能的值,若不存在,說明理由.【答案】(1)證明見解析;(2)作圖見解析;(3)存在,【解析】【分析】(1)根據(jù)點差法可求出平行弦的中點的軌跡方程為,顯然直線經(jīng)過橢圓中心原點;(2)由(1)知,平行弦的中點軌跡必過橢圓中心,所以作出兩組平行弦的中點軌跡所在直線,兩條直線的交點即為橢圓的中心;(3)
11、由(1)的結(jié)論可知,設出直線和弦的中點坐標,即可求得中點所在的軌跡方程為橢圓方程當或時,平行弦的軌跡可以在直線上,不總在橢圓上【詳解】(1)證明:設斜率為的直線與橢圓交于點兩點,中點坐標為,所以 , 所以,作差得,即有,即,再根據(jù)中點在橢圓內(nèi)部,所以,即,解得故平行弦的中點的軌跡方程為,所以橢圓中斜率為的平行弦的中點軌跡過橢圓中心(2)如圖所示,點即為橢圓中心(3)由(1)的結(jié)論可知,設交“果圓”于兩點,中點為,則,則,即易證,當或時,“果圓”的平行弦的軌跡可以在直線上,不總在橢圓上所以,當時,“果圓”的平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上【點睛】本題主要考查了點差法求中點弦的軌跡方程,以及中點
12、弦的軌跡應用,意在考查學生的數(shù)學運算和數(shù)學建模能力,屬于難題例題2(1)證明:;(2)證明:對任何正整數(shù)n,存在多項式函數(shù),使得對所有實數(shù)x均成立,其中均為整數(shù),當n為奇數(shù)時,當n為偶數(shù)時,;(3)利用(2)的結(jié)論判斷是否為有理數(shù)?【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)不是【解析】【分析】(1),利用兩角和的正弦和二倍角公式,進行證明;(2)對分奇偶,即和兩種情況,結(jié)合兩角和的余弦公式,積化和差公式,利用數(shù)學歸納法進行證明;(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,將表示出來,然后判斷其每一項都為無理數(shù),從而得到答案.【詳解】(1)所以原式得證.(2)為奇數(shù)時,時,其中,成立時,其中,成立時,其中,成立,則
13、當時,所以得到因為均為整數(shù),所以也均為整數(shù),故原式成立;為偶數(shù)時,時,其中,時,其中,成立,時,其中,成立,則當時,所以得到其中,因為均為整數(shù),所以也均為整數(shù),故原式成立;綜上可得:對任何正整數(shù),存在多項式函數(shù),使得對所有實數(shù)均成立,其中,均為整數(shù),當為奇數(shù)時,當為偶數(shù)時,;(3)由(2)可得其中均為有理數(shù),因為為無理數(shù),所以均為無理數(shù),故為無理數(shù),所以不是有理數(shù).【點睛】本題考查利三角函數(shù)的二倍角的余弦公式,積化和差公式,數(shù)學歸納法證明,屬于難題.例題3對于數(shù)列:、,若不改變,僅改變、中部分項的符號(可以都不改變),得到的新數(shù)列稱為數(shù)列的一個生成數(shù)列,如僅改變數(shù)列、的第二、三項的符號,可以得
14、到一個生成數(shù)列:、.已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列,為數(shù)列的前項和.(1)寫出的所有可能的值;(2)若生成數(shù)列的通項公式為,求;(3)用數(shù)學歸納法證明:對于給定的,的所有可能值組成的集合為.【答案】(1)、;(2);(3)證明見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)生成數(shù)列定義,可知當時,、分別為、中取值,由此給出的所有可能的情況,即可計算出的所有可能值;(2)利用,分、三種情況討論,利用分組求和與等比數(shù)列的求和公式即可求得;(3)利用數(shù)學歸納法證明:當時命題成立;假設當時,證明出,結(jié)合歸納原理即可證明出結(jié)論成立.【詳解】(1)由題意得,根據(jù)生成數(shù)列的定義,可得,又,因此,所有可能的取值為、;(2),當時
15、,;當時,;當時,.綜上所述:;(3)利用數(shù)學歸納法證明:當時,命題成立;假設當時,命題成立,即所有可能值的集合為.由假設得.則當時,.即或,即,當時,命題成立.由知,對于給定的,的所有可能值組成的集合為.【點睛】本題考查等比數(shù)列生成數(shù)列定義的理解,同時也考查了利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題,著重考查對數(shù)列新定義的理解,考查推理、轉(zhuǎn)化、抽象思維與創(chuàng)新思維的綜合應用能力,屬于難題.例題4已知正整數(shù)數(shù)列滿足:,().(1)已知,試求、的值;(2)若,求證:;(3)求的取值范圍.【答案】(1);(2)詳見解析;(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)遞推式賦值逆推,分別求出即可求出的值;(2)根據(jù)遞推式賦值求出的值,即可找出數(shù)列的規(guī)律,由此得證;(3)依據(jù),討論與的大小關系即可得出【詳解】(1)令得,解得;令得,解得;令得,解得;令得,解得;所以(2)證明:令得,因為數(shù)列各項為正整數(shù),2019的正整數(shù)約數(shù)有1,3,673,2019,因此的值可能為3,673,2019,即或或.當時,所以不符題意,應舍去;當時,所以不
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