高中數(shù)學一輪難題復習 推理與證明典型解答題 （教師版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁一輪難題復習 推理與證明典型解答題一、知識網(wǎng)絡二、合情推理（一）歸納推理1. 歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理。2. 歸納推理的一般步驟：第一步，通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；第二步，從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題（猜想）。題型1：用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律（1）觀察：對于任意正實數(shù)，試寫出使成立的一個條件可以是 _.點撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數(shù)之

2、和為22，故（2）蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖。其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以表示第幅圖的蜂巢總數(shù)。則【解題思路】找出的關系式解析總結(jié)：處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關系（二）類比推理1. 類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理。簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。2. 類比推理的一般步驟：第一步：找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；第二步：用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一

3、個猜想.題型2：用類比推理猜想新的命題（1）已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是_.【解題思路】從方法的類比入手解析原問題的解法為等面積法，即，類比問題的解法應為等體積法，即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高總結(jié)： 不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比。 類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實數(shù)集的性質(zhì)向復數(shù)集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等（三）合情推理1. 定義：歸納推理和類比推理都有是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。簡言之，合情推理就是合乎

4、情理的推理。2. 推理的過程：思考探究：（1）歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系? 歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。 類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關系就越相關，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。三、演繹推理（一）含義：1. 演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論。演繹推理又叫邏輯推理。2. 演繹推理的特點是由一般到特殊的推理。（二）演繹推理的模式1. 演繹推理的模式采用“三段論”：（1）大

5、前提已知的一般原理(M是P)；（2）小前提所研究的特殊情況(S是M)；（3）結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷(S是P)。2. 從集合的角度看演繹推理：（1）大前提：xM且x具有性質(zhì)P；（2）小前提：yS且SM（3）結(jié)論：y具有性質(zhì)P（三）演繹推理與合情推理合情推理與演繹推理的關系：1. 從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理，類比是由特殊到特說的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理。2. 從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確。四、直接證明與間接證明（一）三種證明方法：綜合法、分析法

6、、反證法分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學解題中，分析法是從數(shù)學題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數(shù)學題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。反證法：它是一種間接的證明方法。用這種方法證明一個命題的一般步驟：（1）假設命題的結(jié)論不成立；（2） 根據(jù)假設進行推理，直到推理中導出矛盾為止 （3） 斷言假設不成立（4）肯定原命題的結(jié)論成立用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：（1）反設；（2）歸

7、謬；（3）結(jié)論。重難點：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學問題中，選擇好證明方法并運用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學命題考點1：綜合法在銳角三角形中，求證：解析考點2：分析法已知，求證解析總結(jié)：注意分析法的“格式”是“要證只需證”，而不是“因為所以”考點3：反證法已知，證明方程沒有負數(shù)根【解題思路】“正難則反”，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾解析總結(jié)：否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多五、數(shù)學歸納法1. 數(shù)學歸納法的定義：一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)N的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟：（1）證明當時命題成立；（2）

8、假設當時命題成立，證明n=k+1時命題也成立。在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于的所有正整數(shù)都成立。這種證明方法稱為數(shù)學歸納法。2. 數(shù)學歸納法的本質(zhì)：無窮的歸納有限的演繹（遞推關系）3. 數(shù)學歸納法步驟：（1）（遞推奠基）：當n取第一個值結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）：假設當時結(jié)論正確；（歸納假設）證明當n=k+1時結(jié)論也正確。（歸納證明）由（1），（2）可知，命題對于從開始的所有正整數(shù)n都正確。題型1：已知n是正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明時，若已假設時命題為真，則還需證明（ ）A. n=k+1時命題成立 B. n=k+2時命題成立C. n=2k+2時命題成立 D. n=2（k+2）時

9、命題成立解析因n是正偶數(shù)，故只需證等式對所有偶數(shù)都成立，因k的下一個偶數(shù)是k+2，故選B總結(jié)：用數(shù)學歸納法證明時，要注意觀察幾個方面：（1）n的范圍以及遞推的起點（2）觀察首末兩項的次數(shù)（或其它），確定n=k時命題的形式（3）從的差異，尋找由k到k+1遞推中，左邊要加（乘）上的式子題型2：用數(shù)學歸納法證明不等式解析總結(jié)：（1）數(shù)學歸納法證明命題，格式嚴謹，必須嚴格按步驟進行；（2）歸納遞推是證明的難點，應看準“目標”進行變形；（3）由k推導到k+1時，有時可以“套”用其它證明方法，如：比較法、分析法等，表現(xiàn)出數(shù)學歸納法“靈活”的一面。例題1（1）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點軌跡必過橢圓中心

10、；（2）用作圖方法找出下面給定橢圓的中心；（3）我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，.如圖，設點，是相應橢圓的焦點，和，是“果圓” 與，軸的交點. 連結(jié)“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）作圖見解析；（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)點差法可求出平行弦的中點的軌跡方程為，顯然直線經(jīng)過橢圓中心原點；（2）由（1）知，平行弦的中點軌跡必過橢圓中心，所以作出兩組平行弦的中點軌跡所在直線，兩條直線的交點即為橢圓的中心；（3）

11、由（1）的結(jié)論可知，設出直線和弦的中點坐標，即可求得中點所在的軌跡方程為橢圓方程當或時，平行弦的軌跡可以在直線上，不總在橢圓上【詳解】（1）證明：設斜率為的直線與橢圓交于點兩點，中點坐標為，所以 ， 所以，作差得，即有，即，再根據(jù)中點在橢圓內(nèi)部，所以，即，解得故平行弦的中點的軌跡方程為，所以橢圓中斜率為的平行弦的中點軌跡過橢圓中心（2）如圖所示，點即為橢圓中心（3）由（1）的結(jié)論可知，設交“果圓”于兩點，中點為，則，則，即易證，當或時，“果圓”的平行弦的軌跡可以在直線上，不總在橢圓上所以，當時，“果圓”的平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上【點睛】本題主要考查了點差法求中點弦的軌跡方程，以及中點

12、弦的軌跡應用，意在考查學生的數(shù)學運算和數(shù)學建模能力，屬于難題例題2（1）證明：；（2）證明：對任何正整數(shù)n，存在多項式函數(shù)，使得對所有實數(shù)x均成立，其中均為整數(shù)，當n為奇數(shù)時，當n為偶數(shù)時，；（3）利用（2）的結(jié)論判斷是否為有理數(shù)？【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）不是【解析】【分析】（1），利用兩角和的正弦和二倍角公式，進行證明；（2）對分奇偶，即和兩種情況，結(jié)合兩角和的余弦公式，積化和差公式，利用數(shù)學歸納法進行證明；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，將表示出來，然后判斷其每一項都為無理數(shù)，從而得到答案.【詳解】（1）所以原式得證.（2）為奇數(shù)時，時，其中，成立時，其中，成立時，其中，成立，則

13、當時，所以得到因為均為整數(shù)，所以也均為整數(shù)，故原式成立；為偶數(shù)時，時，其中，時，其中，成立，時，其中，成立，則當時，所以得到其中，因為均為整數(shù)，所以也均為整數(shù)，故原式成立；綜上可得：對任何正整數(shù)，存在多項式函數(shù)，使得對所有實數(shù)均成立，其中，均為整數(shù)，當為奇數(shù)時，當為偶數(shù)時，；（3）由（2）可得其中均為有理數(shù)，因為為無理數(shù)，所以均為無理數(shù)，故為無理數(shù)，所以不是有理數(shù).【點睛】本題考查利三角函數(shù)的二倍角的余弦公式，積化和差公式，數(shù)學歸納法證明，屬于難題.例題3對于數(shù)列：、，若不改變，僅改變、中部分項的符號（可以都不改變），得到的新數(shù)列稱為數(shù)列的一個生成數(shù)列，如僅改變數(shù)列、的第二、三項的符號，可以得

14、到一個生成數(shù)列：、.已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列，為數(shù)列的前項和.（1）寫出的所有可能的值；（2）若生成數(shù)列的通項公式為，求；（3）用數(shù)學歸納法證明：對于給定的，的所有可能值組成的集合為.【答案】（1）、；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)生成數(shù)列定義，可知當時，、分別為、中取值，由此給出的所有可能的情況，即可計算出的所有可能值；（2）利用，分、三種情況討論，利用分組求和與等比數(shù)列的求和公式即可求得；（3）利用數(shù)學歸納法證明：當時命題成立；假設當時，證明出，結(jié)合歸納原理即可證明出結(jié)論成立.【詳解】（1）由題意得，根據(jù)生成數(shù)列的定義，可得，又，因此，所有可能的取值為、；（2），當時

15、，；當時，；當時，.綜上所述：；（3）利用數(shù)學歸納法證明：當時，命題成立；假設當時，命題成立，即所有可能值的集合為.由假設得.則當時，.即或，即，當時，命題成立.由知，對于給定的，的所有可能值組成的集合為.【點睛】本題考查等比數(shù)列生成數(shù)列定義的理解，同時也考查了利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題，著重考查對數(shù)列新定義的理解，考查推理、轉(zhuǎn)化、抽象思維與創(chuàng)新思維的綜合應用能力，屬于難題.例題4已知正整數(shù)數(shù)列滿足：，（）.（1）已知，試求、的值；（2）若，求證：；（3）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推式賦值逆推，分別求出即可求出的值；（2）根據(jù)遞推式賦值求出的值，即可找出數(shù)列的規(guī)律，由此得證；（3）依據(jù)，討論與的大小關系即可得出【詳解】（1）令得，解得；令得，解得；令得，解得；令得，解得；所以（2）證明：令得，因為數(shù)列各項為正整數(shù)，2019的正整數(shù)約數(shù)有1，3，673，2019，因此的值可能為3，673，2019，即或或.當時，所以不符題意，應舍去；當時，所以不