原子物理與量子力學(xué)課件第8章矩陣力學(xué)簡(jiǎn)介

1、原子物理與量子力學(xué)唐敬友 主編 Tel: (O) (MP)第8章 矩陣力學(xué)簡(jiǎn)介8.1 態(tài)的表象矩陣簡(jiǎn)介(Review)1. NM矩陣矩陣A的共軛矩陣?yán)绫硐螅翰ê瘮?shù)和力學(xué)量算符的不同表示形式。常用表象：坐標(biāo)表象，動(dòng)量表象，能量表象，角動(dòng)量表象等。直角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換 平面直角坐標(biāo)系Ox1x2中，兩坐標(biāo)軸的基矢可表示為e1、e2，其標(biāo)積為平面上的任一矢量A可表示為在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的分量（或投影）為（A1，A2）稱為A在坐標(biāo)系Ox1x2中的表示。 坐標(biāo)系Ox1x2沿垂直于自身平面的軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角，成為一個(gè)新的坐標(biāo)系 ，單位基矢變?yōu)?。在新坐標(biāo)系中的兩基矢的標(biāo)積為 同一矢量A在新坐標(biāo)系中的表示為 矢量

2、A在新坐標(biāo)系中的投影分量為 矢量A在新舊坐標(biāo)系中兩種表示的關(guān)系為何？應(yīng)當(dāng)相等，即 用新坐標(biāo)系的基矢量分別對(duì)上式的后一等式作標(biāo)積，有上式可用矩陣形式表示或記為其中，是把矢量A在兩坐標(biāo)系中不同表示的變換矩陣，這是一個(gè)幺正矩陣。若轉(zhuǎn)動(dòng)角一旦給出，兩個(gè)坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系就完全確定。量子力學(xué)中態(tài)矢量的表象 假定算符 具有分立的本征值譜，本征方程為作以下積分 即 ，是 與各基矢（ 的本征態(tài) ）的內(nèi)積。這里的波函數(shù)也叫態(tài)矢量，屬于希爾伯特空間（復(fù)數(shù)空間），可以是無(wú)窮維的。 把態(tài)矢量或其轉(zhuǎn)置共軛寫成如下矩陣形式 其歸一化條件為歸一化條件寫成矩陣形式為I是單位矩陣。態(tài)矢量在不同的表象中有不同的表示。坐標(biāo)表

3、象 以坐標(biāo)算符的本征態(tài)為基矢構(gòu)成的表象稱為坐標(biāo)表象。以一維的x坐標(biāo)為例，其坐標(biāo)算符的本征方程為 相應(yīng)本征函數(shù)為 。任意量子態(tài)均可以按該本征函數(shù)展開動(dòng)量表象 以動(dòng)量算符的本征態(tài)為基矢構(gòu)成的表象稱為動(dòng)量表象。以一維的動(dòng)量算符 為例，其本征態(tài)（坐標(biāo)表象）為任意量子態(tài)均可以按該本征函數(shù)展開同一態(tài)矢量（波函數(shù)）在不同表象中的關(guān)系 該問題相當(dāng)于同一矢量在直角坐標(biāo)下經(jīng)過轉(zhuǎn)動(dòng)變換后的兩種表示之間的關(guān)系。兩種表象中的態(tài)矢量關(guān)系為表示成矩陣關(guān)系算符的表象表示仍以線性空間的矢量作類比8.1 算符的矩陣表示令寫成矩陣形式，有用e1、e2對(duì)上式作點(diǎn)乘，得 即R()矢量A逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角的變換矩陣，容易證明是它幺正矩陣。與此

4、類比，設(shè) 經(jīng)算符 作用后變?yōu)?，即以F表象（力學(xué)量F完全集的本征態(tài) ）為基矢， 和 分別表示為如何通過上式由ak求bk?力學(xué)量算符對(duì)態(tài)的作用可以寫成 矩陣L一旦確定，則所有基矢（因而任何矢量）在 作用下的變化就完全確定了。例1 求一維諧振子的坐標(biāo)x、動(dòng)量px以及哈密頓量H在能量表象中的表示。8.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示 在引入特定表象后，量子力學(xué)中的所有公式都可用矩陣表述，從而構(gòu)成矩陣力學(xué)在F表象中，力學(xué)量L的矩陣元表示為 而量子態(tài)則表示成列矢的形式，即量子力學(xué)的理論表述均可表成矩陣的形式薛定諤方程的矩陣表示薛定諤方程在F表象中，系數(shù)為時(shí)間t函數(shù)，薛定諤方程為作以下內(nèi)積記哈密頓算符的矩陣元為薛定諤方程變?yōu)楸硎境删仃囆问狡骄倒降木仃嚤硎玖W(xué)量的平均值即在自身表象中，矩陣元為代入平均值公式本征值方程的矩陣表示算符 的本征方程為在F表象中，任意波函數(shù)按其本征態(tài)展開再代入本征方程，得用j作內(nèi)積，得方程組有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即 如表象空間的維數(shù)為N，則上式是關(guān)于L的N次方程，有個(gè)N實(shí)根。若有n個(gè)重根，則力學(xué)量L的本征態(tài)是n重簡(jiǎn)并的。即寫成矩陣形式用解得的根一一代入前面的代數(shù)所得方程組可以得到 ，并把它表成列矢的形式 這是與本征值 相應(yīng)的本征態(tài)在F表象中的表示