線性不確定系統(tǒng)極小極大控制

1、8/25/20221線性不確定系統(tǒng)的極小極大控制東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院井元偉教授二八年十二月8/25/20222 1 引言2 基本概念和預(yù)備知識(shí)3 不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制5 結(jié) 論 4 不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制3 1 引言穩(wěn)定性和性能 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中至關(guān)重要的問(wèn)題。外界的干擾和系統(tǒng)自身的不確定性 破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能。隨著干擾增大系統(tǒng)的狀態(tài)會(huì)逐漸偏離平衡點(diǎn)并且控制的能量變大。為了保證投入比較小的控制能量，使得充分大的干擾對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出的影響降低到最小，并且保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的，引入極小極大控制方法。8/25/20224 極小極大2 基本概念和預(yù)備知識(shí)8/25/20225 極小極

2、大2 基本概念和預(yù)備知識(shí)定義：極小極大控制：針對(duì)不確定系統(tǒng)和相應(yīng)的性能指標(biāo)8/25/20226 極小極大2 基本概念和預(yù)備知識(shí)定義：極小極大控制：針對(duì)不確定系統(tǒng)和相應(yīng)的性能指標(biāo)如果存在一個(gè)控制律和一個(gè)正數(shù)8/25/20227 極小極大2 基本概念和預(yù)備知識(shí)定義：極小極大控制：針對(duì)不確定系統(tǒng)和相應(yīng)的性能指標(biāo)如果存在一個(gè)控制律和一個(gè)正數(shù)在系統(tǒng)所能承受的最壞干擾和最大不確定性下，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，閉環(huán)性能指標(biāo)達(dá)到極小且8/25/20228 極小極大2 基本概念和預(yù)備知識(shí)定義：極小極大控制：針對(duì)不確定系統(tǒng)和相應(yīng)的性能指標(biāo)如果存在一個(gè)控制律和一個(gè)正數(shù)在系統(tǒng)所能承受的最壞干擾和最大不確定性下，閉環(huán)系統(tǒng)

3、是漸近穩(wěn)定的，閉環(huán)性能指標(biāo)達(dá)到極小且8/25/20229 極小極大2 基本概念和預(yù)備知識(shí)定義：極小極大控制：針對(duì)不確定系統(tǒng)和相應(yīng)的性能指標(biāo)如果存在一個(gè)控制律和一個(gè)正數(shù)在系統(tǒng)所能承受的最壞干擾和最大不確定性下，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，閉環(huán)性能指標(biāo)達(dá)到極小且稱為一個(gè)性能上界，稱為極小極大魯棒控制律。8/25/202210 極小極大性能指標(biāo)8/25/202211 極小極大性能指標(biāo)8/25/202212 極小極大性能指標(biāo)其中， 8/25/202213 極小極大性能指標(biāo)其中， 8/25/202214 極小極大性能指標(biāo)其中， 表示系統(tǒng)所有的干擾和容許的不確定性。8/25/202215 極小極大物理意義和目的

4、 物理意義： 極小極大控制，針對(duì)干擾和不確定性最壞的情形，討論的是，如何控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能，使得系統(tǒng)在整個(gè)時(shí)間過(guò)程中狀態(tài)偏差、控制消耗能量和終值精度等幾方面綜合性能指標(biāo)最小。8/25/202216 極小極大 目的： 具有二次型性能指標(biāo)的控制系統(tǒng)可視為一個(gè)調(diào)節(jié)系統(tǒng)。所謂調(diào)節(jié)就是使偏離平衡位置的狀態(tài)在控制變量的作用下盡可能地回到平衡位置上。 若把零狀態(tài)作為平衡狀態(tài)，調(diào)節(jié)的目的就是使8/25/202217 極小極大 目的： 具有二次型性能指標(biāo)的控制系統(tǒng)可視為一個(gè)調(diào)節(jié)系統(tǒng)。所謂調(diào)節(jié)就是使偏離平衡位置的狀態(tài)在控制變量的作用下盡可能地回到平衡位置上。 若把零狀態(tài)作為平衡狀態(tài)，調(diào)節(jié)的目的就是使8/25/

5、202218 極小極大 目的： 具有二次型性能指標(biāo)的控制系統(tǒng)可視為一個(gè)調(diào)節(jié)系統(tǒng)。所謂調(diào)節(jié)就是使偏離平衡位置的狀態(tài)在控制變量的作用下盡可能地回到平衡位置上。 若把零狀態(tài)作為平衡狀態(tài)，調(diào)節(jié)的目的就是使盡量接近于零狀態(tài)，這就相當(dāng)于使積分8/25/202219 極小極大 目的： 具有二次型性能指標(biāo)的控制系統(tǒng)可視為一個(gè)調(diào)節(jié)系統(tǒng)。所謂調(diào)節(jié)就是使偏離平衡位置的狀態(tài)在控制變量的作用下盡可能地回到平衡位置上。 若把零狀態(tài)作為平衡狀態(tài)，調(diào)節(jié)的目的就是使盡量接近于零狀態(tài)，這就相當(dāng)于使積分盡可能地小。 8/25/202220 極小極大 另一方面在調(diào)節(jié)的過(guò)程中又不希望所消耗的能量過(guò)大，這就相當(dāng)于要求積分8/25/202

6、221 極小極大 另一方面在調(diào)節(jié)的過(guò)程中又不希望所消耗的能量過(guò)大，這就相當(dāng)于要求積分8/25/202222 極小極大 另一方面在調(diào)節(jié)的過(guò)程中又不希望所消耗的能量過(guò)大，這就相當(dāng)于要求積分盡可能的小。 而極小極大控制問(wèn)題充分考慮到干擾和不確定性的影響，希望在干擾和不確定性盡可能大的情形下尋求一個(gè)使得性能指標(biāo)最小的控制。8/25/202223 極小極大3 不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制8/25/202224 極小極大3 不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為8/25/202225 極小極大3 不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為 (3.1)其中，8/25/

7、202226 極小極大3 不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為 (3.1)其中，系統(tǒng)的狀態(tài)向量8/25/202227 極小極大3 不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為 (3.1)其中，系統(tǒng)的狀態(tài)向量系統(tǒng)的控制向量8/25/202228 極小極大3 不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為 (3.1)其中，系統(tǒng)的狀態(tài)向量系統(tǒng)的控制向量系統(tǒng)的干擾向量8/25/202229 極小極大3 不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為 (3.1)其中，系統(tǒng)的狀態(tài)向量系統(tǒng)的控制向量系統(tǒng)的干擾向量給定的相應(yīng)維數(shù)的矩陣8/25

8、/202230 極小極大3 不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為 (3.1)其中，系統(tǒng)的狀態(tài)向量系統(tǒng)的控制向量系統(tǒng)的干擾向量給定的相應(yīng)維數(shù)的矩陣可測(cè)的矩陣函數(shù)，且對(duì)于所有的滿足 (3.2) 8/25/202231 極小極大考慮性能指標(biāo)泛函為8/25/202232 極小極大 (3.3)其中，考慮性能指標(biāo)泛函為8/25/202233 極小極大 (3.3)其中，考慮性能指標(biāo)泛函為8/25/202234 極小極大 (3.3)其中，表示系統(tǒng)所有的干擾和容許的不確定性。 針對(duì)不確定系統(tǒng)(3.1)和性能指標(biāo)(3.3)，當(dāng)干擾對(duì)系統(tǒng)的破壞最大時(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制律考慮性能指標(biāo)泛函為

9、8/25/202235 極小極大 (3.3)其中，表示系統(tǒng)所有的干擾和容許的不確定性。 針對(duì)不確定系統(tǒng)(3.1)和性能指標(biāo)(3.3)，當(dāng)干擾對(duì)系統(tǒng)的破壞最大時(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制律考慮性能指標(biāo)泛函為8/25/202236 極小極大 (3.3)其中，表示系統(tǒng)所有的干擾和容許的不確定性。 針對(duì)不確定系統(tǒng)(3.1)和性能指標(biāo)(3.3)，當(dāng)干擾對(duì)系統(tǒng)的破壞最大時(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制律考慮性能指標(biāo)泛函為 (3.4)使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且性能指標(biāo)的值達(dá)到最小。8/25/202237 極小極大將系統(tǒng)(3.1)記為如下的等價(jià)系統(tǒng)8/25/202238 極小極大 (3.5)其中，將系統(tǒng)(3.1)記為如下的等

10、價(jià)系統(tǒng)8/25/202239 極小極大 (3.5)其中，將系統(tǒng)(3.1)記為如下的等價(jià)系統(tǒng)8/25/202240 極小極大 (3.5)其中，將系統(tǒng)(3.1)記為如下的等價(jià)系統(tǒng)8/25/202241 極小極大 極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3), 如果存在對(duì)稱正定矩陣8/25/202242 極小極大 極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3), 如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式8/25/202243 極小極大 極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3), 如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式 (3.6)8/25

11、/202244 極小極大 極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3), 如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式 (3.6) (3.7)則 8/25/202245 極小極大 極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3), 如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式 (3.6) (3.7)則 8/25/202246 極小極大 極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3), 如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式 (3.6) (3.7)則 為系統(tǒng)(3.1)的極小極大魯棒控制器，且性能指標(biāo)滿足8/25/202247 極小極大 極小極大控制律設(shè)計(jì)

12、定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3), 如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式 (3.6) (3.7)則 為系統(tǒng)(3.1)的極小極大魯棒控制器，且性能指標(biāo)滿足8/25/202248 極小極大4 不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制8/25/202249 極小極大4 不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng)8/25/202250 極小極大4 不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng) (4.1)8/25/202251 極小極大4 不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng) (4.1)為系統(tǒng)的可量測(cè)狀態(tài)向量，8/25/202252 極小極大4 不確定離散系統(tǒng)

13、的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng) (4.1)為系統(tǒng)的可量測(cè)狀態(tài)向量，為系統(tǒng)的控制向量，8/25/202253 極小極大4 不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng) (4.1)為系統(tǒng)的可量測(cè)狀態(tài)向量，為系統(tǒng)的控制向量， 為系統(tǒng)的干擾。不確定性滿足范數(shù)有界條件8/25/202254 極小極大4 不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制 (4.2)其中，系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng) (4.1)為系統(tǒng)的可量測(cè)狀態(tài)向量，為系統(tǒng)的控制向量， 為系統(tǒng)的干擾。不確定性滿足范數(shù)有界條件8/25/202255 極小極大4 不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制 (4.2)其中，系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng) (4.1)

14、為系統(tǒng)的可量測(cè)狀態(tài)向量，為系統(tǒng)的控制向量， 為系統(tǒng)的干擾。不確定性滿足范數(shù)有界條件是已知給定的具有相應(yīng)維數(shù)的矩陣，且屬于下列集合(4.3)8/25/202256 極小極大考慮如下性能指標(biāo)8/25/202257 極小極大考慮如下性能指標(biāo) (4.4)其中，8/25/202258 極小極大 (4.4)其中，考慮如下性能指標(biāo)是和不確定性有關(guān)的，且8/25/202259 極小極大 (4.4)其中，考慮如下性能指標(biāo)是和不確定性有關(guān)的，且8/25/202260 極小極大 (4.4)其中，考慮如下性能指標(biāo)是和不確定性有關(guān)的，且根據(jù)不確定性范數(shù)有界條件，系統(tǒng)(4.1)可記為8/25/202261 極小極大 (4

15、.4)其中，考慮如下性能指標(biāo)是和不確定性有關(guān)的，且根據(jù)不確定性范數(shù)有界條件，系統(tǒng)(4.1)可記為 (4.5)其中，8/25/202262 極小極大 (4.4)其中，考慮如下性能指標(biāo)是和不確定性有關(guān)的，且根據(jù)不確定性范數(shù)有界條件，系統(tǒng)(4.1)可記為 (4.5)其中，8/25/202263 極小極大不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)8/25/202264 極小極大定義4.1 如果系統(tǒng)干擾的范數(shù)是有界的，即不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)8/25/202265 極小極大定義4.1 如果系統(tǒng)干擾的范數(shù)是有界的，即不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)8/25/202266 極小極大定義4.1 如果系統(tǒng)

16、干擾的范數(shù)是有界的，即則稱其是容許的。引理 4.1 對(duì)于任意的不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)8/25/202267 極小極大定義4.1 如果系統(tǒng)干擾的范數(shù)是有界的，即則稱其是容許的。引理 4.1 對(duì)于任意的，給定矩陣，都有不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)8/25/202268 極小極大定義4.1 如果系統(tǒng)干擾的范數(shù)是有界的，即則稱其是容許的。引理 4.1 對(duì)于任意的，給定矩陣，都有. (4.6)成立。其中，不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)8/25/202269 極小極大引理 4.2 針對(duì)線性離散系統(tǒng)8/25/202270 極小極大引理 4.2 針對(duì)線性離散系統(tǒng)8/25/202271 極

17、小極大引理 4.2 針對(duì)線性離散系統(tǒng)若對(duì)于給定的非負(fù)定對(duì)稱矩陣，存在正定矩陣8/25/202272 極小極大引理 4.2 針對(duì)線性離散系統(tǒng)若對(duì)于給定的非負(fù)定對(duì)稱矩陣，存在正定矩陣使方程有解且， 8/25/202273 極小極大引理 4.2 針對(duì)線性離散系統(tǒng)若對(duì)于給定的非負(fù)定對(duì)稱矩陣，存在正定矩陣使方程有解且， 8/25/202274 極小極大引理 4.2 針對(duì)線性離散系統(tǒng)若對(duì)于給定的非負(fù)定對(duì)稱矩陣，存在正定矩陣使方程有解且， 是穩(wěn)定的，則針對(duì)性能指標(biāo)(4.4)，該系統(tǒng)的極小極大控制就是應(yīng)用局部檢驗(yàn)方法求得的局部極小極大控制。且在此情況下有8/25/202275 極小極大引理 4.2 針對(duì)線性離

18、散系統(tǒng)若對(duì)于給定的非負(fù)定對(duì)稱矩陣，存在正定矩陣使方程有解且， 是穩(wěn)定的，則針對(duì)性能指標(biāo)(4.4)，該系統(tǒng)的極小極大控制就是應(yīng)用局部檢驗(yàn)方法求得的局部極小極大控制。且在此情況下有8/25/202276 極小極大 為由局部極小極大控制和最壞干擾所構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)的系數(shù)矩陣。 引理 4.2 針對(duì)線性離散系統(tǒng)若對(duì)于給定的非負(fù)定對(duì)稱矩陣，存在正定矩陣使方程有解且， 是穩(wěn)定的，則針對(duì)性能指標(biāo)(4.4)，該系統(tǒng)的極小極大控制就是應(yīng)用局部檢驗(yàn)方法求得的局部極小極大控制。且在此情況下有其中，8/25/202277 極小極大定理4 針對(duì)系統(tǒng)(4.1)，若存在某些常數(shù)，及正定矩陣和8/25/202278 極小極大定理4

19、 針對(duì)系統(tǒng)(4.1)，若存在某些常數(shù)，及正定矩陣和滿足下列條件 8/25/202279 極小極大定理4 針對(duì)系統(tǒng)(4.1)，若存在某些常數(shù)，及正定矩陣和滿足下列條件 (4.7)8/25/202280 極小極大定理4 針對(duì)系統(tǒng)(4.1)，若存在某些常數(shù)，及正定矩陣和滿足下列條件 (4.7) (4.8)且閉環(huán)系統(tǒng)系數(shù)矩陣穩(wěn)定，則 8/25/202281 極小極大定理4 針對(duì)系統(tǒng)(4.1)，若存在某些常數(shù)，及正定矩陣和滿足下列條件 (4.7) (4.8)且閉環(huán)系統(tǒng)系數(shù)矩陣穩(wěn)定，則 是使性能指標(biāo)(4.4)（其中取 ）在最壞干擾下取得極小值的魯棒控制器，并且有其中，8/25/202282 極小極大定理4