數(shù)值積分方法

1、關(guān)于數(shù)值積分方法第一張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月abf (x)數(shù)值積分的應(yīng)用背景:1) 被積函數(shù)的原函數(shù)不能表示為初等函數(shù)某些實(shí)際問題僅有一些離散函數(shù)值,無法給 出被積函數(shù)表達(dá)式3) 被積函數(shù)過于復(fù)雜,難以求得其原函數(shù)借助于被積函數(shù)在一些點(diǎn)的函數(shù)值,推算出滿足一定精度的定積分近似值-數(shù)值積分方法第二張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月預(yù)備知識(shí)牛頓萊布尼茲公式如果函數(shù)f (x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，且原函數(shù)為F(x)，則可用牛頓萊布尼茲公式 來求定積分。 第三張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月預(yù)備知識(shí)積分中值定理若f是a, b上的連續(xù)函數(shù)，則存在xa, b，使 第四張

2、，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月預(yù)備知識(shí)廣義積分中值定理若f在a, b上連續(xù)，g在a, b上可積，且g(x)在a, b上不變號(hào)，存在x, xa, b，使 第五張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月數(shù)值積分問題牛頓萊布尼茲公式 找原函數(shù)很困難，有些原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示 原函數(shù)表達(dá)式過于復(fù)雜 f(x)是由測(cè)量或計(jì)算得到的數(shù)據(jù)表 第六張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月yy=f(x)xbaoxk+1xkxk-1數(shù)值積分問題第七張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月5.1 插值型求積公式f(x)在這些節(jié)點(diǎn)的值f(xi)，求定積分第八張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定

3、義設(shè)有計(jì)算 的求積公式如其求積系數(shù) ，則稱此求積公式為插值型求積公式. 定積分轉(zhuǎn)換成被積函數(shù)的有限個(gè)函數(shù)值的線性組合，無需求被積函數(shù)的原函數(shù).5.1 插值型求積公式第九張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月兩點(diǎn)公式 x0=a, x1=b, n=1 梯形公式：5.1 插值型求積公式一、梯形公式-兩點(diǎn)線性插值幾何意義：用梯形面積代替被積函數(shù)的曲邊梯形面積第十張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月梯形公式誤差5.1 插值型求積公式廣義積分中值定理若f在a, b上連續(xù)，g在a, b上可積，且g(x)在a, b上不變號(hào)，存在x, xa, b，使 利用這一定理梯形與曲邊梯形面積的對(duì)比： 正負(fù)決定

4、第十一張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三點(diǎn)二次拉格朗日插值積分-辛卜生公式x0 x2x1y=f(x)L2(x)5.1 插值型求積公式第十二張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月辛卜生公式: 取x0=a, x1=(a+b)/2, x2=b, n=2辛卜生公式：5.1 插值型求積公式誤差 精度較梯形高第十三張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月yxoy= f(x)ab5.2 復(fù)合梯形公式 第十四張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月分段線性插值-復(fù)合梯形法 等分求積區(qū)間，比如取步長(zhǎng) ，分a, b為n等分，分點(diǎn)為 ,k = 0, 1, 2, n2. 在區(qū)間 xk, xk+1上求

5、 3. 取和值 ，作為整個(gè)區(qū)間上的積分近似值 第十五張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月復(fù)合梯形公式 誤差由各小區(qū)間梯形誤差累加小區(qū)間增多,誤差減小控制第十六張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月x0 x1x2xkxk+1xn-1xn復(fù)合梯形公式(節(jié)點(diǎn)加密) 第十七張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月復(fù)合梯形公式(節(jié)點(diǎn)加密) 由 遞推逐漸逼近，達(dá)到計(jì)算精度即停止。條件成立則終止計(jì)算并以T2n為定積分 的近似值第十八張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月教材P68-例5.1(1) 牛頓-萊布尼茲公式0.8670(2) 梯形公式0.75(3) 辛卜生公式0.8775(4) 復(fù)合

6、梯形公式T4=0.8617第十九張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月5.3 其它復(fù)合求積公式 借用積分中值定理若f是a, b上的連續(xù)函數(shù)，則存在xa, b，使得將其用于積分的近似計(jì)算，取=b, 得-積分右矩形公式復(fù)合右矩形公式第二十張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月如在區(qū)間a,b內(nèi)插入節(jié)點(diǎn)xj=a+jh(j=0,1,n), h=(b-a)/n得到復(fù)合右矩形求積公式：利用拉格朗日中值定理求右矩形公式的誤差估計(jì)復(fù)合右矩形公式第二十一張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月復(fù)合辛卜生公式 記每2個(gè)節(jié)點(diǎn)間增加一個(gè)中值節(jié)點(diǎn), 節(jié)點(diǎn)數(shù)由n2n. 節(jié)距變?yōu)閔=(b-a)/2n. 展開, 得第

7、二十二張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月利用數(shù)據(jù)表 xk01/81/43/81/25/83/47/81f (xk)43.938463.76473.50683.20002.87642.46002.265492計(jì)算積分復(fù)合求積方法比較 取n = 8用復(fù)合梯形公式=第二十三張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月取n=4, 用復(fù)合辛卜生公式復(fù)化求積方法 第二十四張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定義如果一個(gè)求積公式(a)對(duì)于次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確成立，但至少對(duì)一個(gè)m+1次多項(xiàng)式不準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。定理 對(duì)于求積公式(a)具有m次代數(shù)精度的充分必要條件為

8、該公式對(duì) f(x)=1, x, . xm 精確成立，而對(duì)f(x)=xm+1，不精確成立。5.4 數(shù)值積分公式的代數(shù)精度第二十五張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月求代數(shù)精度的階數(shù)-確定以下求積公式的代數(shù)精度5.4 數(shù)值積分公式的代數(shù)精度?階代數(shù)精度1階代數(shù)精度?階代數(shù)精度第二十六張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月5.4 數(shù)值積分公式的代數(shù)精度證明代數(shù)精度的階數(shù)第二十七張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月若求積節(jié)點(diǎn)xk任意選取，則求積公式中含有2n+2個(gè)待定參數(shù)xk和Ak (k=0,1,n),適當(dāng)選取這些參數(shù)，可使求積公式具有2n+1次代數(shù)精度，稱這種用n+1個(gè)求積節(jié)點(diǎn)而具有

9、2n+1次代數(shù)精度的求積公式為高斯求積公式，n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)為高斯點(diǎn)。5.4 高斯求積公式對(duì)于插值型求積公式第二十八張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例 ：求形如 的兩點(diǎn)高斯求積公式。 梯形公式：高斯公式：對(duì)求積公式中的四個(gè)待定系數(shù)A0, A1, x0, x1適當(dāng)選取，使求積公式對(duì)f (x) = 1，x，x2，x3 都準(zhǔn)確成立 3次代數(shù)精度5.4 高斯求積公式第二十九張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月5.4 高斯求積公式第三十張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月求三點(diǎn)高斯求積公式高斯公式：對(duì)求積公式中的6個(gè)待定系數(shù)A0, A1, A2, x0, x1 , x2，使求積公式對(duì)f

10、 (x) = 1, x, x2, x3, x4, x5都準(zhǔn)確成立 代數(shù)精度階數(shù)(2n+1)=55.4 高斯求積公式n+1個(gè)求積節(jié)點(diǎn)數(shù)為3n=2得三點(diǎn)高斯求積公式:第三十一張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月5.4 高斯求積公式高斯求積公式在定積分 中的應(yīng)用構(gòu)造對(duì)應(yīng)函數(shù)x(t)=k+jt, 使x(-1)=a且x(1)=b 得 k=(a+b)/2, j=(b-a)/2，相應(yīng)有第三十二張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月P75. 例5.6(1) 梯形公式0.75(2) 辛卜生公式0.8775(3) 復(fù)合梯形公式T4=0.8617第三十三張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月求二重積分的四點(diǎn)高斯求積公式(了解)其中:將二點(diǎn)高斯求積公式直接應(yīng)用到二重積分的累次積分中第三十四張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3. 用n=8的復(fù)合梯形求積