南京郵電大學(xué) 數(shù)值代數(shù)實(shí)驗(yàn)

1、數(shù)值代數(shù)實(shí)驗(yàn)數(shù)值線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)一、實(shí)驗(yàn)名稱：矩陣的LU分解.二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模河貌贿x主元的LU分解和列主元LU分解求解線性方程組Ax=b,并比較這兩種方法.三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求（1）用所熟悉的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言將不選主元和列主元LU分解編成通用的子程序，然后用編寫的程序求解下面的84階方程組5(7215念3153*8215831584)(14丿16186/6186186186將計(jì)算結(jié)果與方程組的精確解進(jìn)行比較，并就此談?wù)勀銓?duì)Gauss消去法的看法.（2）寫出追趕法求解三對(duì)角方程組的過程，并編寫程序求該實(shí)驗(yàn)中的方程組Gauss消去法：用消去法解方程組的基本思想是用逐次消去未知數(shù)的方法把原來方程組Ax=b化為與其

2、等價(jià)的三角方程組，而求解三角方程組就容易了。換句話說，上述過程就是用行的初等變換將原方程組系數(shù)矩陣化為簡(jiǎn)單形式，從而將求解原方程組的問題轉(zhuǎn)化為求解簡(jiǎn)單方程組的問題。利用Gauss消去法對(duì)線性方程組Ax=b進(jìn)行求解。用MATLAB建立m文件DelGauss.m,程序如下:functionx=DelGauss(a,b)n,m=size(a);nb=length(b);det=1;x=zeros(n,1);fork=1:n-1fori=k+1:nifa(k,k)=0returnendm=a(i,k)/a(k,k);forj=k+1:na(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j);endb(i)=b(

3、i)-m*b(k);enddet=det*a(k,k);enddet=det*a(n,n);fork=n:-1:1forj=k+1:nb(k)=b(k)-a(k,j)*x(j);endx(k)=b(k)/a(k,k);End在matlab中輸入如下：A=ones83);BGonestl,84);C=8*ones(lj83);D=diag(Aj1)+diag(E,0)+diag(C-1)b=7;lSonestSS,1);14:DelGauss(Djb)結(jié)果如下：ans=1.Oe+08*0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.

4、00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000X0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000u.uuuu0.00000.00000.00000.00000.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00

5、000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00010.0002-0.00030.0007-0.00130.0026-0.00520.0105-0.02090.0419-0.08360.1665-0.33030.6501-1.25822.3487-4.02635.3684方程組的精確解為X=x2=X84=1.0000,與Gauss消去法求得的解差距很大，所得結(jié)果不夠準(zhǔn)確，計(jì)算簡(jiǎn)單但其消元過程有時(shí)不能進(jìn)行到底而使求解出現(xiàn)解失真的情況。數(shù)值線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)二一、實(shí)驗(yàn)名稱：實(shí)對(duì)稱正定矩陣的A的Cholesky分解.二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模河闷椒礁ê透倪M(jìn)的平

6、方根方法求解線性方程組Ax=b.三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求用所熟悉的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言將Cholesky分解和改進(jìn)的Cholesky分解編成通用的子程序，然后用編寫的程序求解對(duì)稱正定方程組Ax=b，其中（1）b隨機(jī)的選取，系數(shù)矩陣為100階矩陣/1011101110111011101110）（2）系數(shù)矩陣為40階Hilbert矩陣，即系數(shù)矩陣A的第i行第j列元素為I；I,向量b的第i個(gè)分量為一1；I（3）用實(shí)驗(yàn)一的程序求解這兩個(gè)方程組，并比較所有的計(jì)算結(jié)果，然后評(píng)價(jià)各個(gè)方法的優(yōu)劣。平方根法：平方根法就是利用對(duì)稱正定矩陣的三角分解而得到的求解對(duì)稱正定方程組的一種有效方法。平方根法遞推公式可以證明對(duì)于對(duì)稱正定矩陣

7、A,可以唯一地分解成A=LLT,其中L是非奇異下三角形矩陣。模型二：利用平方根法對(duì)線性方程組Ax=b進(jìn)行求解。用MATLAB建立m文件pingfg.m,程序如下：functionx=pingfg(A,b)%Cholesky分解n,n=size(A);L=zeros(n,n);%實(shí)際上不用為L(zhǎng)申請(qǐng)空間，使用A即可L(1,1)=sqrt(A(1,1);fork=2:nL(k,1)=A(k,1)/L(1,1);endfork=2:n-1L(k,k)=sqrt(A(k,k)-sum(L(k,1:k-1).八2);fori=k+1:nL(i,k)=(A(i,k)-sum(L(i,1:k-1).*L(k,

8、1:k-1)/L(k,k);endendL(n,n)=sqrt(A(n,n)-sum(L(n,1:n-1).八2);%解下三角方程組Ly=by=zeros(n,1);fork=1:nj=1:k-1;y(k)=(b(k)-L(k,j)*y(j)/L(k,k);end%解上三角方程組Lx=yx=zeros(n,1);U=L;fork=n:-1:1j=k+1:n;x(k)=(y(k)-U(k,j)*x(j)/U(k,k);End模型三：利用改進(jìn)的平方根法對(duì)線性方程組Ax=b進(jìn)行求解。用MATLAB建立m文件ave.m,程序如下：functionx=ave(A,b,n)L=zeros(n,n);D=d

9、iag(n,0);S=L*D;fori=1:nL(i,i)=1;endfori=1:nforj=1:nif(eig(A)A=ones【199);B=10*ones(lj100);C=diag(Aj1)+diag(E,0)+diag(A,-1)b=ones(IDO,1);pingfg(C3b)輸出結(jié)果如下：0.09180.08250.08340.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.0833Xans0.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.083

10、30.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.0833X0.08330.08330i；08330.08330.08330.08330i；08330.08330.08330.08330i；08330.0833U

11、.UdJJ0.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08340.08250.0918在輸入：A=ones(1,99);B=10*ones(lj100);C=diag(扎1)+diag(Bj0)+diag(Aj-1)b=ones(100j1);輸出為：ave(C?100Jans=0.09180.08250.08340,08330.08330.08330,08330.08330.08330,0833

12、0.08330.08330,08330.0833U.屈30.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330,08330.08330.08330.08330.08330.08330,08330.08330.08340.08250.0918A=hilb(40);b=Hil();pingfg(A；,b)ans1.0e+07*0.0000-0.00000.0001-0.00190.0171-0.09390.3305-0.76851.1892-1.20770.7761-0.

13、30260.06840.0135-0.0220-0.04500.0954-0.06750.0217-0.0032-0.00060.0013-0.00090.00020.0001-0.00010.00000.Q000-0.0000-0.00000.0000-0.0000-0.00000.0000A=hilb(dO);b=Hil();ave(Ajbj40)0.00000.0000-0,00010.0010-0.00880.04590.14160.2546-025990.2041-0.28120.26800.10590.5017-0.7878-0.13990.36920.5230-0.23950.0

14、245-0.4819-0.20150.6467-0.2634-0.02930.4175-0.43350.4124-04021-0.14970.15800.5615-0.2600-0.72070.34570.09950.27410.2579-0.79171.3333問題3：A=ones99);B=10*ones(lj100);C=diag(Aj1)+diag(乩0)+diag(扎-1)b=ones(1001);DelGauss(C3b)ans=0.09180.08250.08340.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.083

15、30.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.08330.083301.08330.08330.08330.083301.08330.08330.08330.083301.08330.08330.0833608330.08330.08330.0833608330.08330.08340.08250,0918A=hilb(40);b=Hil();DelGauss(Ajb)ans=0Gauss消去法所得的結(jié)果與平方根法和改進(jìn)的平方根法求得的結(jié)果差距很大，而且Gauss消去法所得的結(jié)果大部分為零，

16、顯然平方根法和改進(jìn)的平方根法求得的結(jié)果與方程的精確解比Gauss消去法的更接近，更準(zhǔn)確。但不管是哪一類算法都只能在預(yù)定的計(jì)算步驟內(nèi)或給定的精度內(nèi)得到近似解，有一定的誤差。數(shù)值線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)三一、實(shí)驗(yàn)名稱：矩陣A的QR分解二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模簯?yīng)用改進(jìn)的GramSchmidt方法和Householder變換的方法計(jì)算矩陣A的QR分解.其中A=(a)gRmxn(mn),rankA=nij三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求輸入：A的各列a,a，,a(a=a，,aT,j=1,n)12nj1jmj輸出：Q的各列元素(存放在A的相應(yīng)位置上)以及R的元素r(i=1,，n,j=i,，n)ij數(shù)值線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)四一、實(shí)驗(yàn)名稱：用迭代法求解

17、方程組及超松弛迭代和最佳松弛因子的確定.二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模簯?yīng)用Jacobi迭代法、GaussSeidel迭代法和超松弛迭代方法求解線性方程組Ax=b,并選擇不同的松弛因子,觀察松弛因子對(duì)松弛迭代法計(jì)算效果的影響.三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求d2ydy將常微分方程dx2dx(0a1)離散化得到差分方程Ax=b,取y(0)=0,y(1)=1a=0.5n=10h丄,應(yīng)用Jacobi迭代法、GaussSeidel迭代法和超松弛迭代方n法求解線性方程組，分別取8=1,0.1,0.01,0.0001，用SOR迭代法計(jì)算對(duì)應(yīng)的數(shù)值解，并與精確解進(jìn)行比較.寫出這三種迭代法求解線性方程組的步驟，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析.四、實(shí)驗(yàn)原理將0,1區(qū)間n等分，方程離散化得差分方程(8+h)y-(28+h)y+8y=ah2i+1ii-1差分方程對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣和右端項(xiàng)分別為廠(28+h)8+h8-(28+h)8+h(28+h)8b=8+h(28+h)丿(n1)x(n1)ah28y0ah2ah2ja