誤差基礎(chǔ)知識(shí)

1、二、誤差基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容提要：誤差的來源及其分類誤差的度量誤差的傳播2022/8/251 誤差來源及其分類模型誤差（描述誤差）觀測(cè)誤差在數(shù)值分析中不研究這兩類誤差，總是假定數(shù)學(xué)模型是合理正確的反映了客觀實(shí)際問題。2022/8/252誤差來源及其分類(續(xù)1)截?cái)嗾`差（方法誤差） 數(shù)值方法準(zhǔn)確解與模型的分析解之間的差異。 它是由于算法必須在有限步內(nèi)執(zhí)行結(jié)束而導(dǎo)致的，它需要將無窮過程截?cái)酁橛邢捱^程。（時(shí)間的有限性）2022/8/253誤差來源及其分類(續(xù)2)舍入誤差 在算法實(shí)現(xiàn)過程中，由于計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)采用有限字長(zhǎng)表示，因而僅能區(qū)分有限信息，準(zhǔn)確表示某些數(shù)，不能準(zhǔn)確表示所有 數(shù)，這樣在計(jì)算機(jī)中表示的原始輸入

2、數(shù)據(jù)、中間過程數(shù)據(jù)、以及最終計(jì)算結(jié)果必然產(chǎn)生誤差，稱此類誤差為舍入誤差。（空間的有限性） 如用計(jì)算機(jī)計(jì)算e的近似值en時(shí)，實(shí)際上得不到en的精確值，只能得到en的近似e* 舍入誤差 截?cái)嗾`差 2022/8/2542. 誤差的度量絕對(duì)誤差 Next 絕對(duì)誤差限能刻劃對(duì)同一真值不同近似的好壞，但不能刻劃對(duì)不同真值近似程度的好壞 。相對(duì)誤差 Next 不能直接顯示出誤差限有效數(shù)字 Next度量間的關(guān)系 Next2022/8/2551）絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差定義： 近似值-真值 強(qiáng)、弱近似：2022/8/256絕對(duì)誤差限Return2022/8/2572）相對(duì)誤差2022/8/258相對(duì)誤差的另一計(jì)算公式2

3、022/8/259相對(duì)誤差限Return2022/8/25103）有效數(shù)字2022/8/2511有效數(shù)、舉例有效數(shù)：當(dāng)x* 準(zhǔn)確到末位，即n=p，則稱x*為有效數(shù) 舉例：x=, x1*=3.141, x2*=3.1423位有效數(shù)字，非有效數(shù)4位有效數(shù)字，有效數(shù)2022/8/2512一些說明注1: 有效數(shù)的誤差限是末位數(shù)單位的一半，可見有效數(shù)本身就體現(xiàn)了誤差界。注2: 對(duì)真值進(jìn)行四舍五入得到有效數(shù)。注3: 從實(shí)驗(yàn)儀器所讀的近似數(shù)（最后一位是估計(jì)位）不是有效數(shù)，估計(jì)最后一位是為了確保對(duì)最后一位進(jìn)行四舍五入得到有效數(shù)。例 從最小刻度為厘米的標(biāo)尺讀得的數(shù)據(jù)123.4cm是為了得到有效數(shù)123.cm,讀

4、得數(shù)據(jù)156.7cm是為了得到有效數(shù)157.cm。Return2022/8/25134）誤差度量間的聯(lián)系絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差：e(x*)/x*=er(x*)絕對(duì)誤差與有效數(shù)字：|e(x*)|=相對(duì)誤差與有效數(shù)字2022/8/2514定理證明2022/8/2515例1解：Return2022/8/25163. 初值誤差傳播概念：近似數(shù)參加運(yùn)算后所得值一般也是近似值，含有誤差，將這一現(xiàn)象稱為誤差傳播 。誤差傳播的表現(xiàn)：算法本身可能有截?cái)嗾`差； 初始數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)的浮點(diǎn)表示一般有舍入誤差； 每次運(yùn)算一般又會(huì)產(chǎn)生新的舍入誤差，并傳播以前各步已經(jīng)引入的誤差；誤差有正有負(fù)，誤差積累的過程一般包含有誤差增長(zhǎng)和

5、誤差相消的過程，并非簡(jiǎn)單的單調(diào)增長(zhǎng)； 運(yùn)算次數(shù)非常之，不可能人為地跟蹤每一步運(yùn)算。 2022/8/2517初值誤差傳播（續(xù)）初值誤差傳播：假設(shè)每一步都是準(zhǔn)確計(jì)算，即不考慮截?cái)嗾`差和數(shù)據(jù)表示引入的舍入誤差，僅研究初始數(shù)據(jù)的誤差傳播規(guī)律。研究方法：泰勒（Taylor）方法 復(fù)習(xí)公式n元函數(shù)二元函數(shù)（算術(shù)運(yùn)算）一元函數(shù)（計(jì)算函數(shù)值的條件數(shù)）區(qū)間分析法（工科研究生不要求）2022/8/25181）泰勒公式分析初值誤差傳播Taylor formula2022/8/2519泰勒方法（n元函數(shù)）相對(duì)誤差絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限傳播關(guān)系： 2022/8/2520二元函數(shù)算術(shù)運(yùn)算誤差傳播規(guī)律絕對(duì)誤差限相對(duì)誤差限注

6、: 對(duì)于具體的一組數(shù)據(jù)，上面給出的誤差限傳播公式是實(shí)際誤差的一個(gè)粗糙偏大的估計(jì). 如對(duì)于加法運(yùn)算的估計(jì)，它包括了誤差源同號(hào)且同時(shí)均達(dá)到了誤差限這一最壞的情況，實(shí)際情況往往并非這么壞. 2022/8/2521一元函數(shù)誤差傳播規(guī)律絕對(duì)誤差傳播分析 關(guān)系式推導(dǎo)討論：當(dāng)|f(x)|1時(shí)，函數(shù)值擾動(dòng)比自變量微小變化還要?。欢?dāng)|f(x)|很大時(shí)，自變量的微小變化，將引起函數(shù)值較大擾動(dòng)，此時(shí)稱點(diǎn)x是函數(shù)在絕對(duì)誤差意義下的壞函數(shù)值點(diǎn)。定義絕對(duì)誤差意義下的條件數(shù)： 條件數(shù)與誤差傳播的關(guān)系：2022/8/2522一元函數(shù)相對(duì)誤差相對(duì)誤差傳播分析 關(guān)系式推導(dǎo)相對(duì)誤差意義下的條件數(shù)： 條件數(shù)與誤差傳播的關(guān)系：結(jié)論：條件數(shù)是函數(shù)自身在一點(diǎn)處固有的特性. 對(duì)于相同的自變量擾動(dòng)，條件數(shù)越大，計(jì)算出的函數(shù)值誤差越大. 要提高函數(shù)值的計(jì)算精度，通常需要