八年級數(shù)學期末專題復(fù)習四：“動點”、“翻折”、“重疊”問題例談(含解析、點評和練習)

1、2017-2018下學期八年級數(shù)學專題復(fù)習 四：“動點”、“翻折”、“重疊”問題例談編寫：趙化中學 鄭宗平八年級數(shù)學下冊中的含“動點”、“翻折”以及“重疊”的題型主要集中在勾股定理、平行四邊形和一次函數(shù)的三個章節(jié)中 ，且常常是這三個章節(jié)綜合起來的題型比較多；含“動點、“翻折”以及“重疊”的題型一直統(tǒng)考和中考的熱點題型，下面我精選一部分典型題分專題進行分析、解答、點評并附有少量追蹤練習 ，希望同學們能從中悟出一些道理，總結(jié)破題的思路，同時感受到這類題型所蘊含的數(shù)學魅力 .題目一.“動點”問題例談一.在動點中求最小值例.如圖，在正方形 ABCD中，E為AB上的一點,P是AC上一動點,則PB PE的

2、最小值是多少？ 分析：BE如分析圖所示，過B作關(guān)于AC的對稱點，根據(jù)正方形的性質(zhì)其對稱點恰好在D點處，連結(jié)ED交AC于點P,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、三角形三邊之間的關(guān)系以及連接D、E兩點之間線段最短，可以知道此時的PB PE值最小.（這里我有個 “將軍飲馬”的故事與同學們分享.） 略解：過B作關(guān)于AC的對稱點，根據(jù)正方形的性質(zhì)其對稱點恰好在 點P,連接PBBE 2, AE 3BE，AE 6 ，AB 8 .根據(jù)正方形的性質(zhì)的性質(zhì)可知：AD AB 8, DAB 90 .在Rt DAE中勾股定理易求 ED JAE2AD2。62 8210。 B和D關(guān)于AC對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知：PB PD ,PB PE

3、 = PD PE DE 10。變式.正方形ABCD的邊長為4, DAC的平分線交 DC于點E ,若P、Q分別是AD和AE上的動點，則 DQ PQ的最小值是.點評：在一直線上求作一點，使其到直線 同一側(cè)的兩定點的距離之和最小，往往要通過作其中一個點 關(guān)于此直線的對稱點，把兩定點轉(zhuǎn)化到直線的兩側(cè)，連接對稱點和另一定點就可以找到這個動點 的使其有最小值的位置，根據(jù)的是“兩點之間，線段最短”、“垂線段最最短。在動點中求最小值容易和多個知識點串聯(lián)以來 ，能較好的考查的數(shù)學的基本功和數(shù)學素養(yǎng)。追蹤練習：1。正方形ABCD的面積為64,求PD PE的最小值？2。菱形ABCD的對角線分別為12和16, M、N

4、分別為BC、CD的1DE CE , P為AC上的一動點;3。（自貢中考）如圖，在矩形 ABCD中，AB 4, AD 6, E是AB 邊的中點，F(xiàn)是線段BC邊上的動點，將 EBF沿EF所在直線折疊得到 EBF ,連接BD,則BD的最小值是（）A 2 10 2B.6C.2 13 24.如圖，直線y kx 6經(jīng)過點A 4,0 ,直線y 3x 3與x軸交于B點，且兩直線交于點 C。求k的值；。求 ABC的面積；。若點P是坐標軸上的一個動點，當PB PC的值最小時，求P點的坐標.二.在動點中來探究四邊形的形狀例.如圖，/ABC中，點。是AC邊上的一個動點，過點 O作直線MN / BC , ?設(shè)MN交BC

5、A的平分線于點E,交BCA的外角平分線于點F .A。判斷OE與OF的大小關(guān)系？并說明理由 ？M 匚 J N.若 CF=5,CE 12,求 CO 的長？乎。當點O運動到AC的何處時，四邊形 AECF是矩形？并說出你的理由.p2N4。由角平分線的的定義和平行線的性質(zhì)容易推出15, 3 6,則OE OC,OF OC ;等量代換后OE OF。是 ECF的EF的中線，根據(jù)題中的提供的數(shù)據(jù)，無非 ECF是特殊三角形才能求出CO;若 ECF是直角三角形，一切問題解決了；根據(jù)題中MN& BCA的平分線于點E,交BCA的外角平分線于點 F ,可以證得 ECF 90 .本問關(guān)鍵是抓住不變的是什么 ？變的是什么？在

6、本問中不變的是 OE OF, ECF 90 ,ECF 90 ,證明;二是“有一個角為OF （即O同時為AC的中點，即構(gòu)成了對而點O在AC的位置是發(fā)生變化的。要證四邊形AECF是矩形，已經(jīng)知道四邊形AECF是矩形的思路有兩條，一是“有三個角是直角的四邊是矩形”直角的平行四邊形是矩形；由于EF、AC恰好是四邊形 AECF的對角線，并且有 OE 點O為EF的中點），所以我們考慮用后面一種方法；也就是點角線互相平分的四邊形是平行四邊形，再加上略解：MN交 BCA的平分線于點E ,交12, 34. MN / BC 25, 46.OE OF. MN交 BCA的平分線于點 E ,交1-1-1-ACB,3-A

7、CD122EF2 CF2CE2.CF=5,CE12ECF 90”,所以四邊形 AECF是矩形.BCA的外角平分線于點F15, 36 OE OC,OF OCBCA的外角平分線于點 F1：.3 ACB ACD 18090 .2EF CF2 CE252 122169 13 .第2頁（共16頁）中點，P是對角線BD上的一動點，則PM PN的最小值為 。八數(shù)下期期末專題四：“動點”、“翻折”、“重疊”問題例談第1頁（共16頁）1 ECF 90，OE OF - CO -EF - 13 6.52.點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形.理由如下： OA OC,OE OF .四邊形AECF是平行四邊形；

8、又 ECF90 ，四邊形 AECF是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）點評：解答本專題的兩個例題要抓住題中不變的是什么？變的是什么？解題時更需要仔細識圖， 注意合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想；由于是動點，要注意動點“活動”的范圍，解答時要進行分段、分類討論.分析：要求y與x的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是抓住y表示 ABP的面積的變化規(guī)律物代表理P.啊運動路程x的變化規(guī)律?！皣诿芩?蕾本題首先要結(jié)合在動點的運動中ABP的面積變化（見圖）所描繪的函數(shù)圖象（見圖）相賣物出四邊形ABCD和計算出各邊的長： 。動點P在B 一 C運動時，ABP的面積為y是從小增大， 所以此時函數(shù)的圖象在 0 x 4范圍內(nèi)，相對應(yīng)的梯形

9、的BC 4；。動點P在C 一 D運動時，ABP的面積為y是不變的，所以此時函數(shù)的圖象在4 x 9范圍內(nèi)，相對應(yīng)的四邊形的DC 9 4 5;.動點P在D - A運動時，ABP的面積為y是由大變小，所以此時函數(shù)的圖追蹤練習：1.如圖在四邊形 ABCD 中，AD /BC, B 90 ,AD 24cm,BC 26cm /,動點 P從 A點開始沿AD邊向D以3cm/s的速度運動，動點 Q從點C開始沿CB邊向點B以1cm/s的速度運動，點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，設(shè)運動時間為 t s 。.若點P從點A開始沿射線 AD1動，當點Q到達點B時，點P也隨之停止運動。當t為何值時，以P、Q、C、D為頂點的四 邊

10、形是平行四邊形.。當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動.當 t為何值 時，四邊形PQCD的邊PQ CD ?象在9 x 14范圍內(nèi)，相對應(yīng)的四邊形的 要表示 ABP的面積為y我們要抓住在 的高線DE可以利用矩形的性質(zhì)和勾股定理把 與x的函數(shù)關(guān)系式.略解：結(jié)合圖和圖可以得出 BC 4 , DCDA 14 9 5。P點的運動過程中，邊AB是不變的，所以過點D作邊ABAB求出來，然后利用三角形的面積公式可以整理出y9 4 5, DA 14 9過點 四邊形 DED作邊AB的高線DE ,垂足為E,根據(jù)矩形的判定可以得出DEBC是矩形，所以 DE BC 4, BE DC 5.DE252423ABDEA

11、 90：EA2 DE2 AD2EA JaD22.已知矩形 ABCD中，AB 4cm, BC 8cm , AC的垂直平分線 EF分別交AD、BC于點E、F,垂 足為O.。如圖甲，連接 AF、CE。求證：四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；。如圖乙，動點P、Q分別從A C出發(fā)，沿 AFB和CDE各邊勻速運動一周，即點P自AB EA BE 3 5 8根據(jù)本題條件，動點 P運動路程為x在0 x 9范圍要分兩段來討論.動點P在B - C運動時，即0 x 4范圍內(nèi)。S ABP =- AB2即 y 4x。動點P在C - D運動時，即4 x 9范圍內(nèi)。SA ABP=- ab2BPBC4x 。16 .A- F

12、- B -A停止，點Q自C-D-E - C停止.在運動過程中：.已知點P的速度每秒5cm,點Q的速度每秒4cm,運動時間為t秒，當點A C、P、Q四點為 頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值。若點P、Q的運動路程分別為 a、b （單位：cm, ab 0）,已知A C、P、Q四點為頂點的四邊 形是平行四邊形，寫出 a與b滿足的數(shù)量關(guān)系.（直接寫答案，不要求證明）即y 16 .（因為P點在C - D運動過程中， ABP的高也沒有發(fā)生變化，都等于 點評：BC的長度）.“動點與幾何圖形面積” 這類題型，由于存在面積和“運動路程”兩個變量，所以常與函數(shù)的知 識點聯(lián)系在一起，在八年級下冊的數(shù)學中常與一次函

13、數(shù)相聯(lián)系.這類題在建立函數(shù)的過程中要先從面積入手切入，然后用自變量（“動點的運動路程”）表示與函數(shù)（面積） 點與幾何圖形面積”這類題型還要注意在動點在運動過程中的不同情況?！皠尤?動點與幾何圖形的面積例.在四邊形ABCD中，AB /CD, B 90:,動點P從 dcB出發(fā)，沿四邊形形的邊 B 一 C 一 D - A運動。設(shè)點P /運動路程為x, 4ABP的面積為V，把y看作是x的函數(shù)，/ P 函數(shù)的圖象如圖（2）所示，試求當0 x 9時y與x的函ANsWZlL_JB數(shù)關(guān)系式.追蹤練習：.如圖，已知 ABC中，AB AC 13,高AD 12, P是AD上 的一動點；若設(shè)PD x PBC的面積為y

14、 .。求y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；.求出當x 5時y的值。.如圖，在邊長為 4的正方形 ABCD的一邊BC上，一點P從點B 運動到點C,設(shè)BP x,四邊形APCD的面積為y .。求y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；.是否存在點P,使四邊形 APCD的面積為5。5,請解答說明.相關(guān)的元素是關(guān)鍵八數(shù)下期期末專題四：“動點”、“翻折”、“重疊”問題例談第3頁（共16頁）第4頁（共16頁）3。矩形的周長是16cm,設(shè)矩形的一邊長為 xcm,另一邊長為ycm.求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；.作出函數(shù)的圖象；。若C x,y點是該圖象上的一動點，點B的坐標為6,0 ,設(shè)4 OBC

15、的面積為S ,用含x的解析 式表不S.故S四邊形aecf =S/ ABE + S= S/ABC+S/BAE= S ABC是定值 1W及作AH BC于H點，則BH 21199 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document S四邊形 ABCD = S/ ABC =- BC AH BC。AB2 BH 24/3224。已知矩形 ABCD中，AB 16cm, AD 12cm; P、Q分別是矩形 ABCD的邊AD、AB的動點, 點以1cm/秒的速度由A向D勻速運動，Q點同時以2cm/秒的速度由A向B勻速運動；若設(shè) P、運動的時間為t （秒），四邊形PAQC （圖中的陰影

16、部分）面積為S cm2。.求S與t的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍；P、Q出發(fā)多少秒后四邊形 PAQC的面積為72cm2 ?o點評：雖然E、F在BC、CD上是動點，但在滑動過程中 是不變的，也就是由其中的等邊三角形為框架構(gòu)建的力 BE CF這個相等關(guān)系。 在動點中要探尋其中未知12, AB AC, ABC3的相等關(guān)系A(chǔ)BE和ACF總是全等的，所以總有“不變”的數(shù)量關(guān)系，關(guān)鍵是首先抓住圖形的四。例.在動點中探尋其中“不變”的數(shù)量關(guān)系（中考自貢）如圖所示，在菱形 ABCD中，AB 4, BAD 120,AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊 BC、CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合.證明不論E、F

17、在BC、CD上如何滑動，總有BE CF ?。當點E、F在BC、CD上滑動時，探討四邊形 AECF的面積是否發(fā)生變化 ？如果不變，求出這 個定值。分析：。先求證 AB AC,進而求證ABC、/ACD為等邊三角形，得 BAC =60 , AC AB進 而求證/ABE且ACF ,即可求得 BE CF.根據(jù)ABEACF可得SABE =SACF ;根據(jù)S四邊形aecf =S/ ABE + S= S/ABC +SBAE=SABC即可解得。提供的已知的“不變”的數(shù)量關(guān)系發(fā)生移動，但其中的EAF追蹤練習：1.矩形 ABCD 中，AB 3,AD，比如本例雖然E、F在BC、CD上的滑動帶動力AEF的位置2 EAC

18、 60 ：或 AE4,PE AC,PF BD.AF等沒有發(fā)生變化。.求PE PF的值？.若點P是AD上的一動點（不與 A、D重合），還是作PE AC,PF BD,則PE PF的值是否會發(fā)生變化？為什么?。證明四邊形11:連接AC,如下圖所示.ABCD為菱形， EAC 60 , 22BAD 120EAC 60BAD 1201ABC 60ABC和ACD都為等邊三角形. 4=60 , AC AB，在ABE和ACF中,/ABEEACF ASAAB ACABC 3 BE CF。解：四邊形AECF的面積不變.理由：由得/ ABEACF可得SABE=S/ACF .八數(shù)下期期末專題四：“動點”、“翻折”、“重

19、疊”問題例談第5頁（共16頁）2。已知點O為正方形ABCD的中心（對角線的交點），M為 射線OD上一動點（M與點。D不重合，以線段 AM為 一邊作正方形 AMEF ,連結(jié)FD.當點M在線段OD上時（如圖甲），線段BM與DF有怎 樣的關(guān)系？請說明理由。.當點M在線段OD的延長線上時（如圖乙），中的結(jié)論 是否仍然成立？請結(jié)合圖乙說明理由。附：其它動點問題的題型欣賞。（同學們作為課外研究和練習!1.。形,ABC和ADE都是正三角形, 求證：/ACD且CBFCD BF 。當D運動至BC邊上的何處時，四邊形 CDEF為平行四 且 DEF 30 ,并證明你的結(jié)論。B圖甲y y2。如圖，直線y 2x 1與x

20、軸、y軸分別交于B、C兩點。求點B的坐標；。點A x, y是直線y 2x 1上的一個動點，試寫出 AOB 的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；。探究：。當點A運動到什么位置時，/ AOB的面積為-,并說明理由. 4.在成立的，f#況下，x軸上是否存在點 P ,使AOP是等腰三角形;若存在，請直接寫出滿足條件的所有P的坐標；若不存在，請說明理由。第6頁（共16頁）CA(x,y).x4. 334.3 c 8, 3 2 33DE CEFEFE CE DE CD 6D恰好落在BC邊上_ 2 2_ 2AB BF AF_ 2_22CE2 CF2 EF2若設(shè)CE x ,則EF 6 x3 .3。直線y x 6與坐標軸分

21、別交于 A B兩點，P、Q同時從點 4。出發(fā)，同時到達A點，運動停止；點、沿OA運動，速度為每秒1個單位長度，點P12沿路線O 一 B- A運動.。直接寫出A、B兩點的坐標；。設(shè)點Q的運動時間為t, NOPQ的面積為S,求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；48.當S 1時，求出點P的坐標，并直接寫出以點 O、P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點 M的坐標.4。E為邊長為1的正方形ABCD的對角線上的一點，且 BE BC,P為CE上的一動點，PQ BC,PR BE ，求PQ PR的值？題目二.“翻折”問題例談通常是把某個圖形按照給定的條件的沿某一直線翻折，也可以叫折疊；常通過折疊前后圖形變換的相互關(guān)系來設(shè)計

22、命題。折疊的規(guī)律是：折疊部分的圖形在折疊前后關(guān)于折痕成軸對稱，兩圖形全等折疊圖形中在八年級的數(shù)學中，以四邊形特別是特殊四邊形為基礎(chǔ)居多，但常用勾股定理來計算，有時也與一次函數(shù)的知識相串聯(lián)構(gòu)成有一定難度綜合題例1.（中考邵陽），準備一張矩形紙片 ABCD ,按如圖操作：將ABE沿BE翻折，使A落在對角線BD上的M點；將CDF沿DF翻折，使C落在對角 線BD上的N點。求證：四邊形 BFDE是平行四邊形；。若四邊形 BFDE是菱形，AB 2,求菱形BFDE的面積。分析：.根據(jù)四邊形 ABCD是矩形和折疊的性質(zhì)可以得出EB / DF , DE / BF ,根據(jù)平行四邊形的判定推出。.求出 ABE 30

23、根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出AE、BE ,并根據(jù)菱形的面積計算即可求出答案。略證：二.四邊形ABCD是矩形 A C 90 , AB CD, AB/CD ABD CDB 1_ EBD ABD FDB2 EB / DF DE / BF八數(shù)下期期末專題四：“動點”、“翻折”、“重疊”問題例談第7頁（共16頁）.四邊形BFDE是平行四邊形.略解：.四邊形BFDE是菱形BE ED, EBD FBD ABE四邊形ABCD是矩形AD BC, ABC 90：ABE 30A 90 , AB 222、3AE -=, BF BE 2AE,33，故菱形BFDE的面積為：BF AB 點評：本題考查了平行四邊形的判定、菱形的性

24、質(zhì)、矩形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)以及折疊的相關(guān)性質(zhì)，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力。在本題翻折的性質(zhì)的運用是本題的一個切入點和突破口，正因為“ 折疊部分的圖形在折疊前后關(guān)于折痕成軸對稱，兩圖形全等” 才有 EBD - ABD FDB ,從而得出問中的 EB / DF、DE / BF以及問中 ABE30這 2兩個關(guān)鍵步驟。例2。如圖，已知矩形紙片 ABCD中，AB 6, AD 10；點E在邊CD上，沿AE折疊后點D恰好落在BC邊上。求EC的長？。求折痕AE的長？分析：。要求EC的長我們可以化在 Rt力FCE中利用勾股定理來求出，根據(jù)題中折疊可知DE FE ,所以CE FE

25、CE DE 6 ,而CF BC BF , BF放在Rt力ABF利用勾股定理求出，這個需要 題中折疊所得到的AF AD 10。求折痕AE的長在Rt力ADE或RtAFE利用勾股定理求出. 略解：.二.四邊形ABCD是矩形 DC AB 6, BC AD 10B D C 90.矩形紙片 ABCD沿AE折疊后點 AF AD 10在RtABF中根據(jù)勾股定理可知:. BF AF2 AB2102 62 CF BC BF 10 8 2在RtFCE中根據(jù)勾股定理可知:第8頁（共16頁）2x 斛得:.= EC = 83DC6 DE8 x310T即 EC = 83設(shè)直線BC勺解析式為y kx b在RtADE中根據(jù)勾股

26、定理可知:2_ 2_2DE AD AE3把B 0,、C 3,0代入得23kk解得bAE DE2 AD2210 ,c210310900 1產(chǎn)直線BC的解析式為y點評：本題考查了矩形的性質(zhì)以及折疊的相關(guān)性質(zhì)，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力。在本題翻折的性質(zhì)的運用是本題的一個切入點和突破口， 折痕成軸對稱，兩圖形全等”才有AF AD 10和DE 利用勾股定理來求出 CE打下基礎(chǔ).正因為“折疊部分的圖形在折疊前后關(guān)于FE兩個關(guān)鍵結(jié)論。從而為在 Rt力FCE中點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理以及折疊的相關(guān)性質(zhì)。本題關(guān)鍵求點C的坐標,這就要通過 RtAOGiJ用勾股定理建立方程求

27、出線段OCe解決。而這些 需要“折疊部分的圖形在折疊前后關(guān)于折痕成軸對稱”來得到AB AB,A C AC來牽線搭橋.例3。如圖，在平面直角坐標系中，點A 0,4 , B 3,0疊，使點A落在x軸上的點A處，折痕所在的直線交 分析：，連接AB,將AOB沿過點B的直線折y軸正半軸于點C；求直線BC的解析式.題目三。“重疊”問題例談前面所說的翻折也蘊含圖形自身的某部分的“重疊”，所以通常是把某個圖形按照給定的條件的要求直線BC的解析式可以通過兩個點的坐標，利用待定系數(shù)法求得。直線BC上的B 3,0 ,關(guān)鍵是求點C的坐標.由于點C在坐標軸的y 軸上，求出OC的長度即可確定 點C的坐標。在RtAOC中。

28、若設(shè) OC m ,則AC OA OC 4m,由折疊可知 AC 4 m ；所以本題的關(guān)鍵是求出 OA的長度，由折疊可知： A B AB OB AB 3所以關(guān)鍵是求出 AB的長，這個在 略解：A 0,4 , B 3,0OA 4,OB 3AB,而 OACAXOIARt力ABO利用勾股定理可以解決在RtABO利用勾股定理計算 AB JoA2 OB2將AOB沿過點B的直線折疊，使點A落在x軸上的點A處沿某一直線翻折，也可以叫折疊；還有一種“重疊”是指幾個“相對獨立”圖形主要是兩個圖形通過一定方式，如：交叉疊放、平移、旋轉(zhuǎn)等 使兩個圖形全部或部分重合；實際上這兩類重疊沒有嚴格的界線.幾個圖形的重疊抓住重合

29、部分的圖形特征為突破口，下面我就后一類重疊舉例加以說明例1.將兩張長均為8cm,寬土勻為2cm的矩形紙條按如圖 交叉疊放.。重疊部分是一個什么樣的四邊形？.求重疊部分周長和面積最小值和最大值分別是多少？分析：.按交叉疊放方式其重疊部分首先可確定是一個平行四邊形，利用面積公式或全等三角形可以推出其一組鄰邊相等，所以重疊部分是一個菱形。（巡河車騰訊微博本問視頻解析鏈接：http:v。 /boke/page/z/7/3/z0415wr8a73.html）.根據(jù)“垂線段最短,當兩張矩形紙條垂直時，其交叉重疊部分的部分邊長最短（實際上是個正方形），此時的重疊部分周長和面積有最小值；當兩張矩形紙條交叉疊放

30、使其對角線“換位”重合時（見. A B AB 5,A C ACOA AB OB 5 3 2 設(shè) OC m ,則 AC OA OC 由折疊可知AC 4 m在在Rt力ABO利用勾股定理右_ 2_22AC2 AO2 CO24mOA44yAmC示意圖），因為此時重疊部分的對角線最長，其重合部分的邊長也就最長,長和面積有最大值.略解：。如圖，過H點分別作HM根據(jù)矩形紙條按交叉疊放的Sa EFGH HM EFEF,HN FG ,垂足分別是M、N方式易證四邊形HN FGEFGH是平行四邊形又矩形紙片的寬度都是 2cm,即HM HN2 cm當然此時的重疊部分周AHG D2m ,解得m點C的坐標為o,2EF G

31、F重疊部分的四邊形 .第一種情況： 根據(jù)“垂線段最短EFGH的邊長最短,EFGH是菱形,當兩張矩形紙條垂直時,其交叉重疊部分四邊形八數(shù)下期期末專題四:“動點”、“翻折”、“重疊”問題例談第9頁（共16頁）此時又構(gòu)成了有一個角為直的菱形是正方形 第10頁（共16頁）EFGH。B.矩形紙條寬均為 2cm即EF FG GH HE 2cm，重疊部分EFGH的周長為：4 2 8 cm重疊部分EFGH的面積為：42=16 cm2,1, DBH DAH DAB2在RtADH中根據(jù)勾股定理有1 _八八，- 60 302_2_ 2:DH ADDHAH2-AH2即 DH2 122DH(9)第二種情況：當兩張矩形紙

32、條交叉疊放使其對角線“換位”重合時（見示意圖解得：DH）,因為此時重疊部分的對角線最長，其重合部分的邊長也就最長，當然此時的重疊部分周長和面積有最大值。過N作NG DM ,垂足為G ,則NG 2cm丁四邊形ABCD是矩形C 90：1.33-ADdh2,： 3 3 336，重疊部分ABHD面積為:在RtMCD中根據(jù)勾股定理有:四邊形BMDN是菱形MB MD_2_ 2CM CD2DM設(shè) MD x,28 x22，重疊部分重疊部分MC BC MB2, 一x 解得：xBMDN的周長為：4BMDN面積為:例2。如圖，邊長為 分的面積為1的正方形817r17即MD cmDM NG174172cmABCD繞點

33、A逆時針旋轉(zhuǎn)AMB.33C.D.分析：本題關(guān)鍵抓住重疊部分 ABHD是一個軸對稱圖形，圖中的陰影部分的面積為:S正方形ABCD 2 SADH30到正方形 ABCD,圖中的陰影部 ）,由于正方形故選A點評：本題的陰影部分是個不規(guī)則的圖形，直接求比較困難，所以采用 ABHD面積，所以求重疊部分的面積成了本題的關(guān)鍵；重疊部分S正方形ABCD 一重疊部分ABHD是由正方形旋轉(zhuǎn) 30形成的，它恰好是一個軸對稱圖形，當我們連結(jié)對角線 AB把ABHD分成全等的兩個含 30。銳角的直角三角形后，把問題轉(zhuǎn)化到其中一個直角三角形中問題便解決了ABCD繞點A逆時針30到正方形ABCD ,所以 DAD 30則 DAB

34、 60、連接ABHD的對角線后易證旋轉(zhuǎn)力ABH E1ADH,所以 DBH DAH 一 21DAB - 6030 ;在RtADH的另一條直角邊 DH的長2度，進一步求出Rt力ADH的面積，則重疊部分 ABHD可求出，再由正方形面積減去疊部分 ABHD即可得到圖中的陰影部分的面積.（巡河車騰訊微博本例視頻解析鏈接：http : v 。 /boke/page/u/8/m/u0415t5rb8m。html )略解：,邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)D B DAB90，： , AD AB 1 ,30到正方形ABCDDAD 30d DAB 60：.在RtABH和RtADH中有 D Rt NABH

35、Rt ADH ( HL )B90, AD AB, AH AH八數(shù)下期期末專題四：“動點”、“翻折”、“重疊”問題例談第11頁（共16頁）例3.（自貢統(tǒng)考） 如圖1,在平面直角坐標系 xoy中，等腰直角AOB的斜邊OB在x軸上，頂 點A的坐標為2,2.求直線OA的解析式；.如圖2,如果點P是x軸正半軸上的一動點，過點P作PC / y軸，交直線OA于點C,設(shè)點P的 坐標為 m,0，以A、C、P、B為頂點的四邊形面積為 S,求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；.如圖3,如果D 1,a在直線 AB上。過點O、D作直線OD ,交直線PC于點E ,在CE的右側(cè)作矩矩形CGFE與AOB重疊部 分為軸對稱圖形時 m的取

36、值范圍?？键c:形CGFE ,其中CG -,請你直接寫出待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形面積公式、點的坐標意義、軸對稱圖形、分類討論的思想 等。分析：.用待定系數(shù)法可求出直線 OA的解析式；.由于P點是x軸正半軸上的一動點，在不同的位置以 A、C、P、B為頂點的四邊形的情況不一第12頁（共16頁）（而左側(cè)重y2yGkx抓住矩形和等腰直角三角形都是軸對稱圖形Op以此ABE的面積為EF)ACPB)AEy2D4C2折疊紙片使34OC12CBD1132PCAM24mmm22yCB1042PCAM244mmByA落在點A處OA()yB本問關(guān)鍵是抓住直線如圖甲所示CBDAEDCOBEAG三種情況討論 軸對稱圖

37、形，：2 m則DG)y2MP取值范圍.略解：.設(shè)直線OA的解析式為OB 2OB邊上的中垂線3, AD如圖-OP 2本題的問要分成,要保證重疊部分是3.如圖AE ,2.矩形紙片 長為4.如圖，在直角坐標系中所以要進行分類討論.由于 AOB等腰直角三角形，等腰直角三角形是軸對稱圖形，對稱軸是S-.OCP在平移過程中其重疊部分是等腰直角三角形時就是一個軸對稱圖形 切入破題.5.如圖，將正方形 ABCD的一角折疊難度.本題的問顯得比較抽象AB 1則點A的坐標是S SCOPS.2AOBABCD 中，AB（見圖中陰影部分）為軸對稱圖形，利用軸對稱的性質(zhì)可知圖形，對稱軸是OB邊上的中垂線，所以矩形 在4AO

38、B兩腰AO AB所在的直線上 時，將矩形 OABC沿OB對折，使點m 4（直接寫出m的正確的取值范圍即可）點評：本題的問用根據(jù)已知條件用待定系數(shù)法可求解析式根據(jù)問m的值可以求出S m0 m要保證重疊部分是軸對稱圖形 .,等腰直角三角形是軸對稱CGFE的C、G分別同時落 此時矩形CGFEAO屋疊6 C能力提升：1。已知，如圖長方形 ABCD中，AB 3cm, AD 9cm,將此長方形折疊，使點d DGD (時P是底邊OB的中點，OP8 D如圖1S 4 1O M再將AED以DE為折痕向右折疊，AE與BCC 。 10cmBAE和 BAD的度數(shù)分別為x（D（FBD重合，22 m 4B. 8cmA. 6

39、cm2折痕為AE, BAD比BAE大48 y,那么x, y所適合的一個方程組 ）SS-.AOBS S-COB3 3一,一22P .N Bs AOFob pc使 AD邊落在AB邊上，折米F ,則CEF的面積為 （）S2m以矩形矩形CGFE的C、G分別同時落在 AOB兩腰AO、AB所在的直線上時，此時矩形CGFE與 AOB重疊部分為軸對稱圖形， 利用軸對稱的性質(zhì)可以求出 P的坐標為 m,0中的m的值；當點C 與A重合時矩形CGFE與 AOB無重疊部分，此時直線 PC恰好是等腰直角 AOB的對稱軸，此矩形紙片ABCD, AB12cm bCD與對角線. 2 2k 解得：k 1.直線OA的解析式為：y

40、x.過A作AM x軸于點MM 2, 0、B 4, 0、P m, 0、C m, m 有下面三種情況（圖中陰影部分代表的是四邊形一,3 2八1八1八OP-OBPN- OB224,CG 1 4 31 5222 23一,一221-42,根據(jù)問可知m 225m -41 2一 m2P M B xB x綜合上述兩種情況可以寫出 m的取值范圍為：W m 24綜合上述兩種情況可以寫出m當點C與A重合或C在直線OA上但在點A右側(cè)時，矩形。6尸與 AOB疊部分也是等腰直角三角形是軸對稱圖形。如圖乙），此時直線的對稱軸，此時P是底邊OB的中點，可以求出： OP 1 -121212OA經(jīng)過點A 2,541-m2-14 2 m