高等代數(shù)版第三章

1、第三章線性方程組的進一步理論n 維向量空間 Kn3.1取定數(shù)域 K，令 (a1 , a2 , an ) | ai K , i 1, 2, nK n用 、 表示K n 中的元素，并且規(guī)定(a1 , a2 , an ) (b1 , b2 , bn )a1 b1 , a2 b2 , an bn 。當(dāng)且僅當(dāng)在Kn 中定義兩種運算：加法與數(shù)量乘法對任意 (a1 , a2 , an ), (b1 , b2 , bn ) Kn ，加法規(guī)定(a1 , a2 , an ) (b1 , b2 , bn ) (a1 b1 , a2 b2 , an bn )對任意 (a1 , a2 , an ) Kn , k K ，

2、規(guī)數(shù)量乘法定k(a1 , a2 , an ) (ka1 , ka2 , kan )1上述兩種運算滿足以下性質(zhì)：（1） + = +（2）（ + ）+ = +（ + ）（3）把元素(0,0,0)記為 或 0 ，則 + = （4）對 = (a1, a2 , an )，令 (a1 , a2 , an )則 +（-）= （5）1 = （6）（k l） = k（l ）（7）（k + l） = k + l （8）k（ + ）= k + k 這里 , , Kn ,k, l K 。定義 由數(shù)域 K 上的全部 n 元有序數(shù)組的集合Kn ，連同其上定義的加法與數(shù)量乘法兩種運算及 8條運算性質(zhì)稱為數(shù)域 K 上的 n

3、維向量空間，稱K n 中的元素 (a1 , a2 , an )為 n 元（n 維）向量，其中ai 稱為該向量的第 i 個分量，稱 為零向量，稱負向量。 為的2注：（1）行向量：（a1, a2 , an ） a1 列向量： a2 ，也可記為(a , a , a )T ；12n an （2）對矩陣A aij mn ，令 i (ai1ai 2 , ain ),i 1, 2, m a1 j a 2 j , j 1, 2, n j amj 稱 1 , 2 , m 為矩陣 A 的行向量組，稱 1 ,2 ,n為 A 的列向量組；（3）減法： ( )；（4）補充性質(zhì)：(k ) k( ) (k )0 k k 3

4、k 0 或 定義 設(shè)U 是向量空間K n 的非空子集，如果滿足（1）對任意 , U ，均有 U（2）對任意 U , k K ，均有k U則稱 U 是Kn 的向量子空間，簡稱子空間。例 令U1 (a1 , an ) Rn | a1 an 0U2 (a1 , an ) Rn | a1 an 1則U1子空間，U2不子空間。注：（1） Kn 有兩個平凡子空間， 和Kn ；（2）設(shè) 1 ,2 , s Kn，則集合k11 k22 ks s | k1 , k2 , ks KKn 的子空間，稱之為 1 ,2 ,s 生成的子空間，記為 1,2,s ；4（3）設(shè) A Kmn， 1 ,2 ,n 是 A 的列向量組，

5、令 R( A) 1 ,2 ,n ，稱之為 A 的列空間。例 對數(shù)域 K 上的線性方程組a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 bax21n2am1xn bm設(shè)其增廣矩陣A 的列向量組為該方程組可表為1 ,2 ,n , ，則xnn 稱上式為線性方程組的向量表達式。顯然， x1 c1 , x2 c2 , xn cn是解當(dāng)且僅當(dāng)c11 c22 cnn 例如，方程組x3 2x 13x 335x3 1。令有解1 1 2 5 3, 112,5 ,23 3 12 6 3 則恰有 11 02 13 。因為存在c1, c2 , cn K 使得c11 c22 cnn 當(dāng)且僅當(dāng) 1 ,2 ,n 。所以有xn

6、n 有解的充線性方程組要條件是 1 ,2 ,n R( A)，A 是系數(shù)矩陣。線性方程組a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 0ax21nam1的向量表達式為xn 06xnn 其中1 ,2 ,n 是系數(shù)矩陣 A 的列向量組。顯然， x1 c1 , x2 c2 , xn cn是解當(dāng)且僅當(dāng)c11 c22 cnn 例如，方程組x3 0 x 03x3 0 4。令有解x3 3 1 1 0 2 , 1 , 0 12 ,23 1 3 1 0 11 (1)2 43 。則恰有xnn 有非c1 , c2 , cn ，使線性方程組零解的充要條件是存在不全為零的數(shù)c11 c22 cnn 7三個基本概念定義 1

7、設(shè) 1 ,2 , s Kn ， k1 , k2 , ks K ，稱向量k11 k22 kss為1,2, s 的線性組合。例生成子空間由生成向量組的所有線性組合構(gòu)成。定義 2 設(shè) 1 ,2 , s , Kn，若存在 K 中的 s個數(shù) k1, k2, ks K ，使 k11 k22 ks s則稱 可由 1,2, s線性表出。例 對 (2, 4, 3)T ,1 (1, 2, 0)T ,2 (0, 0, 9)T ，因 2 1 123故 可由1,2線性表出。8xnn 有解的充線性方程組要條件是常數(shù)列向量 可由系數(shù)列向量 1 ,2 ,n線性表出。例一個向量組中的任一向量均可由該向量組線性表出。例 已知1

8、(1,1,1)T ,2 (0,1,1)T ,3 (0, 0,1)T , (3, 2,1)T證明 能由 1,2,3線性表出。證明 因為， 可由 1, 2 , 3線性表出的充要條件是線性方程組x33有解。而方程組(1)的增廣矩陣 (1) 13 13 011001010001A 12 行 01 11 01 1，故 可由此得方程組(1)有解x3由 1, 2 , 3線性表出且 31 2 3 。9xnn 有唯一解線性方程組的充要條件是常數(shù)列向量 可由系數(shù)列向量1,2,n唯一地線性表出。例 n 元向量組 1 (1, 0, 0), 2 (0,1, 0, 0), n (0, 0,1) 稱之為 n元基本向量組。對

9、任意 (a1 , a2 , an ) Kn，有 a11 a2 2 an n ，即 可由1, 2 , n線性表出。103.2線性相關(guān)與線性無關(guān)的向量組定義 3 設(shè) 1 ,2 , s Kn，若存在 s 個不全為零的數(shù) k1, k2, ks K ，使k11 k22 kss 則稱向量組 1 ,2 , s 是線性相關(guān)的。不線性相關(guān)的向量組稱為是線性無關(guān)的。例 （1）設(shè) 與 是兩個 2向量，則 , 線與 共線；性相關(guān) （2）設(shè) , 與 是三個 3向量，則 , , 線 , , 共面。性相關(guān)與 是兩個 n 元向量，則, 線性相例關(guān) 設(shè)與 對應(yīng)分量成比例。線性相關(guān) 。例單個向量例證明向量組1 (1, 2, 3)

10、T ,2 (3, 2,1)T ,3 (1,1,1)T線性相關(guān)。11證明 因為，1, 2 , 3線性相關(guān)的充要條件是存在不全為零的數(shù)c1 , c2 , c3 ，使得c11 c22 c33 亦即線性方程組x33 有非零解。而方程組(1)的系數(shù)矩陣(1)1行A 311000由此得方程組(1)有非零解，故1, 2 , 3線性相關(guān)。x3 4，則有若取非零解1 2 43 列向量組1 ,2 ,n 線性相關(guān)的充要條件是齊xnn 有非零解。次線性方程組12線性無關(guān)的判別：(1)不存在不全為零的數(shù)k1, km ，使k11 kmm (2)對任意不全為零的數(shù)k1, km ，均有k11 km m 由 k11 kmm 必

11、可導(dǎo)出k1 0, k2 0, km 0(3)例 證明向量組1 (1, 2, 0, 3)T是線性無關(guān)的。, 2 (2, 5, 1, 0)T , 3 (3, 4,1, 2)T證明 令k11 k22 k33 按分量表示，即 k2 0k1 0, k2 0, k3 0 ，因此1 , 2 ,3 線性無關(guān)。13解得例 已知向量組1 ,2 ,3 線性無關(guān)。令1 1 2 23 , 2 1 2 , 3 1 3證明：1, 2, 3線性無關(guān)。證明 令k11 k2 2 k3 3 則有(k1 k2 k3 )1 (k1 k2 )2 (2k1 k3 )3因 1, 2 , 3線性無關(guān)，故 k2k3 0 0 0 k1 kk12k

12、32k1k1 k2 k3 0 。由此得 1 , 2 , 3 線性無關(guān)。解得例 已知 1,2,3是三個 4 元向量，1 a11，a12)，a24 )3 (a31，a32，a33，a34 )通過對1 ,2 ,3 各添加 2 個分量得到三個 6 元向量14123 (a11，a12，a13，a14，b11，b12 ) (a21，a22，a23，a24，b21，b22 ) (a31，a32，a33，a34，b31，b32 )證明：若 1,2,3 線性無關(guān)，則關(guān)。1 , 2 , 3 也線性無證明：設(shè) 1,2,3線性無關(guān)，令k11 k22 k33 則有（1） k2b2 j k3b3 j 0j 1，2k1b1

13、 j（2）由式(1)得k11 k22 k33 已知 1 ,2 ,3 線性無關(guān)，故由式(3)得k1 0，k2 0，k3 0所以，1, 2, 3線性無關(guān)。（3）15注：（1）稱1 , 2 , 3 是1 ,2 ,3 的延伸組，1 ,2 ,3 是1 , 2 , 3 的縮短組；（2）由縮短組1 ,2 ,3 線性相關(guān)無法導(dǎo)出延伸組1, 2 , 3也線性相關(guān)；（3）上述可在向量個數(shù)、向量元數(shù)、添加分量的個數(shù)以及添加位置等方面一般化。例 以 n 元向量組 1 (a11 , a21 , an1 )T ,2 (a12 , a22 , an2 )T ,n (a1n , a2n , ann )T 為 列向量構(gòu)造 n

14、級矩陣 A aij nn ，則 1 ,2 ,n線性相關(guān)的充要條件是 | A | 0 。證明 因1 ,2 ,n線性相關(guān)方程組xnn 有非零解 系數(shù)行列式 |A|等于零故結(jié)論成立。16例 設(shè)1 ,2 ,n是 n 級矩陣 A aij nn 的列向量組，證明：若元素a11的向量 2 ,3 ,n 線性無關(guān)。M11不等于零，則列證明 設(shè)M11 的列向量組為1 , 2 , n1 。因M11不等于零，故 1 , 2 , n1線性無關(guān)。把 1 , 2 ,n1 各在第一個位置分別添加一個分量a12 , a13 , a1n則 1 , 2 , n1延伸為2 ,3 ,n ，所以 2 ,3 ,n線性無關(guān)。例 在一個向量組

15、中，如果有一個部分組（即由其中一個部分向量向量組也線性相關(guān)。的子向量組）線性相關(guān)，則整個由此立得，包含零向量的向量組線性相關(guān)。定理 向量組 1 ,2 ,s 線性相關(guān)的充分必要條件是：至少存在一個向量 i (1 i s) 可由其余向量1 ,2 ,i 1 ,i 1 ,i 2 ,s 線性表出。17線性相關(guān)與線性無關(guān)的差異：（1）從事物的正反兩個方面看線性相關(guān)與線性無關(guān)是向量組非此即彼的屬性（2）從線性組合是否等于零看線性相關(guān)存在不全為零的系數(shù)使線性組合為零（3）從可否線性表出看線性相關(guān)至少有一個向量可由其余線性表出（4）從線性方程組有無非零解看xnn 有非零解線性相關(guān)（5）從行列式是否等于零看線性相關(guān)向量組為行(列)得到的行列式等于零定理 已知向量組 1 ,2 , s 線性無關(guān)，則 可由 1 ,2 , s 線性表出的充要條件是1 ,2 , s , 線性相關(guān)。證明 必要性 由前面定理立得充分性 由 1 ,2 , s , 線性相關(guān)可知，存在不全為零的一組數(shù)k1 , k2 , ks , ks1使18k11 k22 kss ks1 因 1,2, s 線性無關(guān)，故 0 。由此得ks1k1k2ks 12sks1ks1ks1所以， 可由 1 ,2 , s 線性表出。已知向量組 1, 2 , 3 線性相關(guān)，向量組例 2 , 3, 4線性無關(guān)。問 1能否由 2 , 3線性表出？證明（法一）因