高中數(shù)學(xué)相關(guān)定理及證明

1、 PAGE 6 高中數(shù)學(xué)相關(guān)定理、公式及結(jié)論證明 一、三角函數(shù)部分1.正弦定理證明內(nèi)容：在中，分別為角的對邊，則證明： abDABC1.利用三角形的高證明正弦定理（1）當(dāng)ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有。 由此，得 ，同理可得 ， 故有 .ABCDba從而這個結(jié)論在銳角三角形中成立.（2）當(dāng)ABC是鈍角三角形時，過點(diǎn)C作AB邊上的高，交AB的延長線于點(diǎn)D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有， 。由此，得 ，同理可得 故有 .（3）在中， 由(1)(2)（3）可知，在ABC中， 成立.2.外接圓證明正弦定理在ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作ABC的外接

2、圓,O為圓心,連結(jié)BO并延長交圓于B,設(shè)BB=2R.則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到BAB=90，C =B，sinC=sinB=. 同理,可得.3.向量法證明正弦定理 同理 故有 .2.余弦定理證明內(nèi)容：在中，分別為角的對邊，則證明：如圖在中， 同理可證： 所以3.兩角和（差）的余弦公式證明如圖在單位圓中設(shè)P（cos,sin）,Q（cos,sin）則： 在單位圓中設(shè)P（cos,sin）,Q（cos,-sin）則： （或）4.兩角和（差）的正弦公式證明二、兩角和（差）的正弦公式證明。內(nèi)容：證明： 5兩角和（差）的正切公式證明內(nèi)容：，證明：6半角公式證明內(nèi)容：證明：由二

3、倍角公式用代替，得，得，7.誘導(dǎo)公式公式： 如圖：設(shè)的終邊與單位圓（半徑為單位長度1的園）交于點(diǎn)P(x，y)，則角-的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為P(x，-y)由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得sin=y， cos=x, sin(-)=-y, cos(-)=x, 所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cos由倒數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可以得到有關(guān)正切的-誘導(dǎo)公式。 公式： 它刻畫了角180+與角的正弦值（或余弦值）之間的關(guān)系，這個關(guān)系是：以角終邊的反向延長線 為終邊的角的正弦值（或余弦值）與角的正弦值（或圓交于點(diǎn)P( x，y)，則角終邊的反向延長線，即180+角的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為P(-x，

4、-y)（如圖4-5-1）由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得sin=y，cos=x, sin(180+)=-y,cos(180+)=-x, 所以 :sin(180+)=-sin，cos(180+)=-cos由倒數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可以得到有關(guān)正切的誘導(dǎo)公式。相應(yīng)誘導(dǎo)公式公式一： 設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin（2k+）=sin kz cos（2k+）=cos kz tan（2k+）=tan kz 公式二：sin（+）=sin cos（+）=cos tan（+）=tan 公式三：sin（）=sin公式四： 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）=s

5、in cos（）=cos tan（）=tan公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（2）=sin cos（2）=cos tan（2）=tan 公式六： /2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（/2+）=cos cos（/2+）=sin tan（/2+）=cot sin（/2）=cos cos（/2）=sin tan（/2）=cot 二.數(shù)列部分1等差數(shù)列前項(xiàng)和公式證明內(nèi)容：是等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為，為其前項(xiàng)和，則證明：由題意， 反過來可寫為：+得：2所以，把代入中，得2等比數(shù)列前項(xiàng)和公式證明內(nèi)容：是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，為其前項(xiàng)和，則=證明： 得：，當(dāng)

6、時，把代入中，得當(dāng)時。很明顯所以，=三.立體幾何部分1.三垂線定理及其逆定理內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。 證明：已知：如圖（9），直線與平面相交與點(diǎn)A，在上的射影OA垂直于 求證： 證明： 過P作PO垂直于PO PO 又OA ，POOA=O平面POA 2.求證：如果一條直線與一個平面平行,那么過該直線的任意一個平面與已知平面的交線與該直線平行. 3.求證：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行. 4.求證：如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面. 5.求證：如果兩條直

7、線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行. 四、解析幾何部分 1.點(diǎn)到直線距離公式證明內(nèi)容：已知直線直線外一點(diǎn)則其到直線的距離為。向量法證明1：設(shè)直線直線外一點(diǎn)直線上一點(diǎn)可得直線的一個方向向量為設(shè)其法向量為則，可得直線一法向量為的單位向量為 由題意，點(diǎn)到直線的距離為在上的射影，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以所以，把代入中，得證明2：設(shè)直線的一個法向量，Q直線上任意一點(diǎn)，證明3：根據(jù)定義，點(diǎn)P到直線 的距離是點(diǎn)P到直線 的垂線段的長，如圖1，設(shè)點(diǎn)P到直線的垂線為 ，垂足為Q，由 可知 的斜率為 的方程：與聯(lián)立方程組解得交點(diǎn) 五、平面向量部分1.平行向量定理內(nèi)容：若兩個向量（與坐標(biāo)軸不平行）平行，則它們相應(yīng)的坐標(biāo)成比例；若兩個向量相對應(yīng)的坐標(biāo)成比例，則兩向量平行。證明：設(shè)是非零向量，且若，則存在實(shí)數(shù)使，且由平面向量基本定理可知， 得：若（即向量不與坐標(biāo)軸平行）則2.平面向量基本定理內(nèi)容：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意一向量，存在唯一一對實(shí)數(shù)，使得證明：如圖過平面內(nèi)一點(diǎn)O，作，過點(diǎn)C分別作直線OA和直線OB的平行線，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N，有且只有一組實(shí)數(shù)，使得 即3.共線向量定理內(nèi)容：如圖A,B,C為平面內(nèi)的三點(diǎn)，且A