信息光學(xué)習(xí)題答案

1、 信息光學(xué)習(xí)題答案第一章線性系統(tǒng)分析簡要說明以下系統(tǒng)是否有線性和平移不變性.（1）g xddxf x;（2）g xfxdx;（3）g xfx;（4）g xfhx2d;（5）fexpj2d解：（1）線性、平移不變； （2）線性、平移不變； （3）非線性、平移不變； （4）線性、平移不變； （5）線性、非平移不變。x 證明 comb comb ( x ) exp( j 2 x ) comb ( x )證明：左邊combx 2 n x 1 n ( x 2 n ) 2 (x 2 n ) 2 2 n n 右邊 comb ( x ) comb( x ) exp( jx) (x n ) exp( j n n

2、 x)(x n )(x n ) exp( jn n n )(x n )(x n ) ( 1)n(x n )n n 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，右邊0，當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，右邊2( x 2 n )n 所以當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，左右兩邊相等。證明(sinx) comb ( x)證明：根據(jù)復(fù)合函數(shù)形式的 函數(shù)公式h( x) ni 1(x x )i h (x )i, h(x ) 0i式中xi是 h(x)=0 的根，h (x ) i表示h ( x)在x xi處的導(dǎo)數(shù)。于是12x(x n )(sinx) n comb( x)計(jì)算圖題所示的兩函數(shù)的一維卷積。解：設(shè)卷積為 g(x)。當(dāng)-1x0 時(shí)，如圖題(a)所示，g (

3、x) 1x01 1 1(1 )(1 x )d x x3 2 63圖題當(dāng) 0 x 1 時(shí)，如圖題(b)所示，g ( x) x1 1 1(1 )(1 x )d x x3 2 63即1 1 1 x x 3 ,3 2 6 1 1 1 g ( x ) x x 33 2 60,1 x 00 x 1 其它計(jì)算下列一維卷積。（1）(2 x 3) rectx 1 x 1 x 1 （2） rect rect 2 2 2 （3）comb( x ) rect ( x)解：（1）(2 x 3) rectx 1 1 3 x 1 1 x 2.5 x rect rect 2 2 2 2 2 2 （2）設(shè)卷積為 g(x)，當(dāng)

4、x0 時(shí)，如圖題(a)所示，g ( x ) x 2d x 20當(dāng) 0 0，則物平面上的透射光場為U ( x , y ) A exp( jkx ,sin )t ( x , y ) o o o o o oA2 expj 2x osin 1 sin 1 exp j 2x f exp j 2x 2 2 f o osin其頻譜為A(,) U ( x , y )o o oA2 sin 1 sin 1 sin f f 2 2 由此可見，相對于垂直入射照明，物頻譜沿軸整體平移了 sin/ 距離。（ 2 ）欲使像面有強(qiáng)度變化，至少要有兩個(gè)頻譜分量通過系統(tǒng)。系統(tǒng)的截至頻率 D / 4f c，于是要求sinD D

5、sin D, f 4f 4f 4f由此得f oD Dsin 4 f 4 f（1）角的最大值為maxDarcsin4 f（2）i o2iiioo此時(shí)像面上復(fù)振幅分布和強(qiáng)度分布為U ( x , y ) i i iA exp j 2x2iD 11 exp( j 2x f ) 4f 2A 5I ( x , y ) cos 2f x4 4（3）照明光束的傾角取最大值時(shí)，由(1)式和(2)式可得D Df 4 f 4 f即f oD2f或fo maxD2f(3)0 時(shí)，系統(tǒng)的截止頻率為 D / 4f c，因此光柵的最大頻率fo max cD2f(4)比較(3)和(4)式可知，當(dāng)采用傾角的平面波照明時(shí)系統(tǒng)的截止

6、頻率提高了一倍，也就提高了 系統(tǒng)的極限分辨率，但系統(tǒng)的通帶寬度不變。光學(xué)傳遞函數(shù)在0處都等于 1，這是為什么？光學(xué)傳遞函數(shù)的值可能大于 1嗎？如果光學(xué)系統(tǒng)真的實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)物成點(diǎn)像，這時(shí)的光學(xué)傳遞函數(shù)怎樣？ 解：在(,H (,) ) I(0,0)h(x , y ) expj 2(x,y )dx dy I i i i i ih(x , y ) dx dyI i i i ii（1）式中，令h( x , y ) i ih ( x , y ) I i ih ( x , y ) dx dy I i i i i為歸一化強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，因此(1)式可寫成(,) h( x , y ) expj 2(x,y )dx

7、dyi i i i ii而(0,0) 1 h(x,y ) dx dyi i iii即不考慮系統(tǒng)光能損失時(shí)，認(rèn)定物面上單位強(qiáng)度點(diǎn)源的總光通量將全部彌漫在像面上，著便 是歸一化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的意義。不能大于 1。對于理想成像，歸一化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是 函數(shù)，其頻譜為常數(shù) 1，即系統(tǒng)對任何頻 率的傳遞都是無損的。當(dāng)非相干成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h x, y I ii成點(diǎn)對稱時(shí)，則其光學(xué)傳遞函數(shù)是實(shí)函數(shù).解 ： 由 于h ( x , y ) I i i是 實(shí) 函 數(shù) 并 且 是 中 心 對 稱 的 ， 即 有h ( x , y ) h ( x , y ) I i i I i i，h ( x , y ) h ( x

8、,y ) I i i I i i，應(yīng)用光學(xué)傳遞函數(shù)的定義式(,H (,) ) I(0,0)h(x , y ) expj 2(x,y )dx dy I i i i i ih(x , y ) dx dyI i i i ii易于證明(,) (,) ，即 (,)為實(shí)函數(shù)非相干成像系統(tǒng)的出瞳是由大量隨機(jī)分布的小圓孔組成。小圓孔的直徑都為 2a，出瞳到像面的距離為 d ，光波長為 ，這種系統(tǒng)可用來實(shí)現(xiàn)非相干低通濾波。系統(tǒng)的截止頻 率近似為多大？解：用公式(,) S (,) S0來分析。首先，由于出瞳上的小圓孔是隨機(jī)排列的，因此無論沿哪個(gè)方向移動(dòng)出瞳計(jì)算重疊面積，其結(jié)果都一樣，即系統(tǒng)的截止頻率在任何方向上均

9、相同。其次，作為近似估計(jì)，只考慮每個(gè)小孔自身的重疊情況，而不計(jì)及和其它小孔的重疊。這時(shí) N 個(gè)小孔的重疊面積除以 N 個(gè)小孔的總面積，其結(jié)果與單個(gè)小孔的重疊情況是一樣的，即截至頻率約為2 a /di，由于 2a 很小，所以系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了低通濾波。第四章部分相干理論若光波的波長寬度為，頻率寬度為，試證明：v v 。設(shè)光波波長為632.8 nm , 2108nm，試計(jì)算它的頻寬 = ? 若把光譜分布看成是矩形線型，c (則相干長度l ?c證明：因?yàn)轭l率與波長的關(guān)系為c v(其中 c 為光速)對上式兩邊求導(dǎo)得所以dc vddv0dv d v v v v v 因632.8 nm , 210 8 nmc v

10、v v v c2所以有因?yàn)橄喔砷L度4赫 v 1.5 10l ctcccl 2.0 10 v4( m)設(shè)邁克耳孫干涉儀所用光源為 589 nm, 1 589.6 nm2的鈉雙線，每一譜線的寬度為 .試求光場的復(fù)相干度的模；當(dāng)移動(dòng)一臂時(shí)，可見到條紋總數(shù)大約是多少？可見度有幾個(gè)變化周期？每個(gè)周期有多少條紋？解：假設(shè)每一根譜線的線型為矩形，光源的歸一化功率譜為(v) v v v v rect 1 rect 2 v v v（1）光場的復(fù)相干度為) ( v) exp( j 2v) dv0sin c(v)exp( j 2v)1 exp( j 2v)1式中v v v 2 1，復(fù)相干度的模為()sin c(v)

11、cos v)由于，故第一個(gè)因子是 的慢變化非周期函數(shù)，第二個(gè)因子是 的快變化周期函數(shù)。相干c2 N 1 / 2 時(shí)間由第一個(gè)因子決定，它的第一個(gè)零點(diǎn)出現(xiàn)在c1/v的地方， 即為相干時(shí)間，故相干長度l cccc 2 v (2) 可見到的條紋總數(shù)N l 5893c 58930 0.1（3）復(fù)相干度的模中第二個(gè)因子的變化周期1/ v，故可見度的變化周期n v 6c 60 v 0.1每個(gè)周期內(nèi)的條紋數(shù)N 58930 982n 60假定氣體激光器以 N 個(gè)等強(qiáng)度的縱模振蕩。其歸一化功率譜密度可表示為v1NN1/2 n N1/2v v nv式中， 是縱模間隔，v為中心頻率。為簡單起見，假定 N 為奇數(shù)。（

12、1）證明復(fù)相干度的模為() sin( Nv N sin(v)（2）若 N3，且 01/v，畫出 （1）證明：復(fù)相干度函數(shù)為與 的關(guān)系曲線。() (v) exp( j2v) dv得0() 01Nv v nv exp( j 2v n N1/2) dvexp( j 2v N)N1/2exp(j 2nv n N1/2)sin Nv N sin vexp( j 2v)所以復(fù)相干度得模為() sin( Nv N sin(v)0 11 11（2）當(dāng) N=3 時(shí)，復(fù)相干度的模為()sin(3v 3sin(v)在例所示的楊氏干涉實(shí)驗(yàn)中，若縫光源用兩個(gè)相距為 a，強(qiáng)度相等的準(zhǔn)單色點(diǎn)光源代 替，試計(jì)算此時(shí)的復(fù)相干系

13、數(shù)。解：應(yīng)用范西泰特策尼克定理得 (d ) I0 a a 2 expj d 2 2 z a a I d2 2 dcosadz利用傍軸條件計(jì)算被一準(zhǔn)單色點(diǎn)光源照明，距離光源為 z 的平面上任意兩點(diǎn) P 和 P1 2之間的復(fù)相干系數(shù)(P ,P ) .1 2解：設(shè)光源所在平面的坐標(biāo)為 ，；孔平面的坐標(biāo)為 x ,y。點(diǎn)P 和 P 的坐標(biāo)為(x ,y )1 2 1 1和(x ,y )。對于準(zhǔn)單色點(diǎn)光源，其強(qiáng)度可表為2 2I (,) I0(,1)1在傍軸近似下，由范西泰特策尼克定理得(P , P ) 1 2exp( j)I0 2 (, ) exp j ( xy) dd z I(,)dd0 1 1 2 ex

14、p j ( x z2 y 2 x 2 y 2 2 2 1 1 2 ) exp j ( x y) z 因?yàn)? P , P ) 1 1 2,由點(diǎn)光源發(fā)出的準(zhǔn)單色光是完全相干的，或者說 x,y 面上的相干面積趨于無限大。第六章計(jì)算全息一個(gè)二維物函數(shù) f ( x, y)，在空域尺寸為 1010mm，最高空間頻率為 5 線/mm，為 了制作一張傅里葉變換全息圖：確定物面抽樣點(diǎn)總數(shù).若采用羅曼型迂回相位編碼方法，計(jì)算全息圖上抽樣單元總數(shù)是多少？若采用修正離軸參考光編碼方法，計(jì)算全息圖上抽樣單元總數(shù)是多少？兩種編碼方法在全息圖上抽樣單元總數(shù)有何不同？原因是什么？解： (1)假定物的空間尺寸和頻寬均是有限的。

15、設(shè)物面的空間尺寸為 x,y；頻寬為2B ,2B .根據(jù)抽樣定理，抽樣間距 x,y 必須滿足 x1/2B , y1/2B 才能使物復(fù)原。 x y x y故抽樣點(diǎn)總 N(即空間帶寬積 SW)為N x yy yxy(2 B )(2 B ) SW 10 10 (2 5) (2 5) 10 x y4(2) 羅曼計(jì)算全息圖的編碼方法是在每一個(gè)抽樣單元里用開孔的大小和開孔的位置來編碼物光波在該點(diǎn)的振幅和相位。根據(jù)抽樣定理，在物面上的抽樣單元數(shù)應(yīng)為物面的空間帶寬積，即N SW 104。要制作傅里葉變換全息圖，為了不丟失信息，空間帶寬積應(yīng)保持不變，故在譜面上的抽樣點(diǎn)數(shù)仍應(yīng)為 N 10 4 .(3)對于修正離軸參

16、考光的編碼方法，為滿足離軸的要求，載頻 應(yīng)滿足 Bx為滿足制作全息圖的要求，其抽樣間隔必須滿足 x1/2B , y1/2B 。因此其抽樣點(diǎn)數(shù)x y為N x yy yxy(4 B )(2 B ) 10 10 20 10 2 10 x y4(4)兩種編碼方法的抽樣點(diǎn)總數(shù)為 2 倍關(guān)系，這是因?yàn)椋诹_曼型編碼中，每一抽樣單 元編碼一復(fù)數(shù)；在修正離軸型編碼中，每一抽樣單元編碼一實(shí)數(shù)。修正離軸加偏置量的目的是使全息函數(shù)變成實(shí)值非負(fù)函數(shù)，每個(gè)抽樣單元都是實(shí)的非負(fù)值，因此不存在位置編碼問題，比同時(shí)對振幅和相位進(jìn)行編碼的方法簡便。但由于加了偏置分量，增加了記錄全息圖的空間帶寬積，因而增加了抽樣點(diǎn)數(shù)。避免了相位

17、編碼是以增加抽 樣點(diǎn)數(shù)為代價(jià)的。對比光學(xué)離軸全息函數(shù)和修正型離軸全息函數(shù)，說明如何選擇載頻和制作計(jì)算全息 圖的抽樣頻率.(2 B ,2 B )解：設(shè)物的頻寬為x y(1)對于頻寬 的選擇光學(xué)離軸，由圖可知，修正離軸，由圖可知， 3B Bxx載頻的選擇是為了保證全息函數(shù)在頻域中各結(jié)構(gòu)分量不混疊。(2)對于制作計(jì)算全息圖時(shí)抽樣頻率的選擇 光學(xué)離軸全息，由圖可知：在 x 方向的抽樣頻率應(yīng)8 Bx，即 x 方向的抽樣間距x 1/ 8 Bx。在 y 方向的抽樣頻率應(yīng)4 By，即 x 方向的抽樣間距y 1/ 4 By。修正離軸全息，由圖可知：在 x 方向的抽樣頻率應(yīng)4 Bx，即 x 方向的抽樣間距x 1/

18、 4 Bx。在 y 方向的抽樣頻率應(yīng)2 By，即 x 方向的抽樣間距y 1/ 2 By。一種類似傅奇型計(jì)算全息圖的方法，稱為黃氏(Huang)法，這種方法在偏置項(xiàng)中加入 物函數(shù)本身，所構(gòu)成的全息函數(shù)為h( x, y ) A( x, y )1cos2ax (x, y )畫出該全息函數(shù)的空間頻率結(jié)構(gòu)，說明如何選擇載頻.畫出黃氏計(jì)算全息圖的空間頻率結(jié)構(gòu)，說明如何選擇抽樣載頻. 解：把全息函數(shù)重寫為o1 1h ( x, y ) A( x , y) A( x, y ) exp j 2 4(x, y )exp( j 2x)14A( x, y) exp j(x, y )exp( j 2x)物函數(shù)為f ( x

19、, y ) A( x , y ) exp j( x , y )并且歸一化的，即A( x, y )max1，參考光波 R 1。經(jīng)過處理后的振幅透過率為t ( x , y ) t o1 1A(x, y) A(x, y ) exp j 2 4(x, y )exp(j 2x)14A(x, y) exp j(x, y)exp( j 2x)1 1 1 t A(x, y ) f(x, y ) exp(j 2x) f2 4 4( x, y ) exp( j 2x)其頻譜為T (,) t(,o1 1 1) F(,)F(,)F(,) 2 4 4(1)設(shè)物的帶寬為2 B ,2 Bxy，如圖題(a)所示。全息函數(shù)的空

20、間頻譜結(jié)構(gòu)如圖題(b)所示，載頻 2 Bx。(2)黃氏全息圖的空間頻率結(jié)構(gòu)如圖題(c)所示，由此可得出：在 x 方向的抽樣頻率應(yīng)6 Bx，即 x 方向的抽樣間距x 1/ 6 Bx。在 y 方向的抽樣頻率應(yīng)2 By，即 x 方向的抽樣間距y 1/ 2 By。抽樣點(diǎn)數(shù)即空間帶寬積為N SW x yxy12 xyB Bxy.黃氏計(jì)算全息圖的特點(diǎn)：(1)占用了更大的空間帶寬積(博奇全息圖的空間帶寬積SW 8 xyB Bxy)，不具有降低空間帶寬積的優(yōu)點(diǎn)。(2)黃氏全息圖具有更高的對比度，可以放松對顯示器和膠片曝光顯影精度的要求。羅曼迂回相位編碼方法有三種衍射孔徑形式，如圖題所示.利用復(fù)平面上矢量合成的

21、方法解釋，在這三種孔徑形式中，是如何對振幅和相位進(jìn)行編碼的.解：對于型和型，是用Ax來編碼振幅 A(x,y)，用dx來編碼相位(x , y)，在復(fù)平面上用一個(gè)相幅矢量來表示，如圖題(a).對于羅曼型是用兩個(gè)相同寬度的矩孔來代替，型中的一個(gè)矩孔。兩矩孔之間的 距離 Ax是變化的，用這個(gè)變化來編碼振幅 A(x,y)。在復(fù)平面上反映為兩個(gè)矢量夾角的變化。兩個(gè)矩孔中心距離抽樣單元中心的位移量dx用作相位 (x, y )的編碼。在復(fù)平面上兩矢量的合成方向即表示了(x , y)的大小，如圖題(b)所示。第八章空間濾波利用阿貝成像原理導(dǎo)出相干照明條件下顯微鏡的最小分辨距離公式，并同非相干照 明下的最小分辨距

22、離公式比較。解：顯微鏡是用于觀察微笑物體的，可近似看作一個(gè)點(diǎn)，物近似位于物鏡的前焦點(diǎn)為分辨距，即上。設(shè)物鏡直徑為 D，焦距為 f，如圖所示。 csin o2fD對于相干照明，系統(tǒng)的截止頻率由物鏡孔徑的 最 大 孔 徑 角 決 定 ， 截 止 頻 率 為o對于非相干照明，由幾何光學(xué)可知其分辨距 為sin / o。 從 幾 何 上 看 ， 近 似 有sinoD / 2 f。截止頻率的倒數(shù)的倒數(shù)即0.61sin o非相干照明時(shí)顯微鏡的分辨率大約為相干照明時(shí)的兩倍。在 4f 系統(tǒng)輸入平面放置 40mm-1 的光柵，入射光波長。為了使頻譜面上至少能夠獲得 5 級衍射斑，并且相鄰衍射斑間距不小于 2mm，

23、求透鏡的焦距和直徑。解：設(shè)光柵寬度比較大，可近似看成無窮，設(shè)周期為 d，透光部分為 a，則其透過率函 數(shù)可表為 1m111f ( x ) rect 1mx md1a x rect x md a x 1 x rect comb a d d 其頻譜為 x 1 x F () f ( x ) rect comb a d d a sin c( a)comb(d) admsin c( a) m d a ma m sin c ( )d d d m即譜點(diǎn)的位置由x /2f m / d決定，即 m 級衍射在后焦面上的位置由下式確定：x mf / d相鄰衍射斑之間的間距由此得焦距 f 為f / dx xd 2 /

24、 40 f 6328 10779( mm )物透明片位于透鏡的前焦面，譜面為后焦面，譜面上的5 級衍射斑對應(yīng)于能通過透鏡的最 大空間頻率應(yīng)滿足sin 1 D / 2 5 d于是求得透鏡直徑D 10fd10 x 20( mm)觀察相位型物體的所謂中心暗場方法，是在成像透鏡的后焦面上放一個(gè)細(xì)小的不透明光闌以阻擋非衍射的光。假定通過物體的相位延遲1 弧度，求所觀察到的像強(qiáng)度(用物 體的相位延遲表示出來)。解：相位物體的透過率為t ( x , y ) exp j 1 1(x , y ) 1 j 1 1(x , y ) 1 1其頻譜為T (,) 1j(x , y )(, 1 1) j(,)若在譜平面上放

25、置細(xì)小的不透明光闌作為空間濾波器，濾掉零頻背景分量，則透過的頻譜為T M (,) j(,)2 2再經(jīng)過一次傅里葉變換(在反演坐標(biāo)系)得t M ( x , y ) j3 3( x , y ) 3 3強(qiáng)度分布為因此在像面上得到了正比于物體相位平方分布的光強(qiáng)分布，實(shí)現(xiàn)了將相位轉(zhuǎn)換為強(qiáng)度分布的 目的。不過光強(qiáng)不是相位的線性函數(shù)，這給分析帶來困難。當(dāng)策尼克相襯顯微鏡的相移點(diǎn)還有部分吸收，其強(qiáng)度透射率等于 (0 1)時(shí)， 求觀察到的像強(qiáng)度表示式。解：相位物體的頻譜為現(xiàn)在用一個(gè)濾波器使零頻減弱，同時(shí)使高頻產(chǎn)生一個(gè)/2 的相移，即濾波器的透過 率表達(dá)式為H (,) j1,在0的小范圍內(nèi) 其它于是TM(,) H

26、 (,)T (,) j(,) j(,)像的復(fù)振幅分布為t M ( x , y ) j 3 3 j(x , y ) 3 3像強(qiáng)度分布為I ( x , y ) j 3 3 j(x , y ) (x , y ) 3 3 3 3222(x , y ) 2 3 32(x , y ) 3 3( x , y ) 3 3像強(qiáng)度分布與相位分布成線性關(guān)系，易于分析。用 CRT(陰極射線管)記錄一幀圖像透明片，設(shè)掃描點(diǎn)之間的間隔為，圖像最高空間頻率為 10mm-1。如欲完全去掉離散掃描點(diǎn)，得到一幀連續(xù)灰階圖像，空間濾波器的形狀和尺寸應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計(jì)？輸出圖像的分辨率如何(設(shè)傅立葉變換物鏡的焦距 f1000mm ,=。

27、解：掃描點(diǎn)的表達(dá)式為f ( x , y ) 1 1xmx , y ny 1 0 10m n其頻譜為2F (,) exp j 2(mx ny )0 0m n1x y0 01x y0 0m nm n(m/ x ,n / y )0 0 x m y n ( 2 , 2 )f x f y0 0在上式的化簡中應(yīng)用了公式n exp( j 2nax ) 1an n x a 由此可見，點(diǎn)狀結(jié)構(gòu)的頻譜仍然是點(diǎn)狀結(jié)構(gòu)，但點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離不同。掃描點(diǎn)頻譜出現(xiàn)的 位置為x m2 ,f x0y n2 f y0點(diǎn)狀結(jié)構(gòu)是高頻，所以采用低通濾波將其濾掉。低通濾波器圓孔半徑為fr x x06328 10 7 0.210003.

28、164( mm)能傳遞的最高空間頻率為sin r 1 f 1 5 1/ mm f f x x0 0即高于 5 1/mm 的空間頻率將被濾掉，故輸出圖像的分辨率為 5 1/mm。某一相干處理系統(tǒng)的輸入孔徑為 30mm30mm 的方形，頭一個(gè)變換透鏡的焦距為100mm，波長是。假定頻率平面模片結(jié)構(gòu)的精細(xì)程度可與輸入頻譜相比較，問此模片在焦平 面上的定位必須精確到何種程度？解：考慮到系統(tǒng)孔徑有限，一般用幾何光學(xué)近似，引入光瞳函數(shù) P(x,y), 根據(jù)題意其 表達(dá)式為x y P ( x , y ) rect rect 30 30 設(shè)系統(tǒng)的輸入面位于透鏡的前焦面，物透明片的復(fù)振幅分布為f ( x , y

29、 ) 1 1，它的頻譜分布為F (,)，透鏡后焦面上的場分布111 1nna U (,f x y ) C f(x , y ) rect rect 30 30 900C F(,) sin c (30)sin c (30) exp j 2(x y )2 2式 中x /2f ,y /2f。 由Uf的 表 達(dá) 式 可 見 ， 頻 譜 面 上 能 分 辨 的 細(xì) 節(jié) 由sin c (30) sin c (30)決定。取一個(gè)方向來看，將 sinc 函數(shù)由最大降為零的寬度取為最小分辨單元，即要求滿足301或30 x /2f 1，于是有x 2f 6328 10 7 30 301002.1 10 3 ( mm)

30、 2.1m因?yàn)轭l譜平面模片也有同樣細(xì)節(jié)，所以對準(zhǔn)誤差最大也不允許超過它的一半，約 1m.第九章相干光學(xué)處理參看圖，在這種圖像相減方法的編碼過程中，如果使用的光柵透光部分和不透光部分間距分別為 a 和 b，并且 ab。試證明圖像和的信息與圖像差的信息分別受到光柵偶數(shù)倍 頻與光柵奇數(shù)倍頻的調(diào)制。解：如圖題所示，先將 t (x)展開成傅立葉級數(shù)t ( x ) a 2 nx 2nx 0 a cos b sin2 a b a b n 1式中a 02 aa b2 R0 2 n n(a b ) sin cos ,n 2 2( a b ) n 2 n(a b ) n sin cos , n 2(a b ) 2

31、b 0nn 奇n 偶所以122f2 2t ( x ) R 02 n n(a b ) 2nx sin cos cos n 2 2( a b ) ( a b )2 n n(a b ) 2nx cos sin cosn 2 2( a b ) ( a b )R R R0 12第一次曝光得對于t(x)I t ( x) I R I R I RA A 0 A 1 A2是將光柵向 x 的負(fù)方向移動(dòng)半個(gè)周期即(a+b) /2，將它展開成傅立葉級數(shù)得第二次曝光得I t ( x ) I R I R I RB B 0 B 1 B 2總曝光量( I I )( R R ) ( I I ) RA B 0 2 A B 1即圖

32、像和的信息受到光柵偶數(shù)倍頻的調(diào)制，圖像差的信息受到光柵奇數(shù)信頻的調(diào)制。用 Vander Lugt 方法來綜合一個(gè)平年元平面濾波器，如圖(左)所示，一個(gè)振幅透射率為 s(x,y)的“信號”底片緊貼著放在一個(gè)會(huì)聚透鏡的前面，用照相底片記錄后焦面上的強(qiáng)度，并使顯影后底片的振幅透射率正比于曝光量。這樣制得的透明片放在圖題(右)的系統(tǒng)中，假定在下述每種情況下考查輸出平面的適當(dāng)部位，問輸入平面和第一個(gè)透鏡之間的距離 d 應(yīng)為多少，才能綜合出：脈沖響應(yīng)為 s(x,y)的濾波器？脈沖響應(yīng)為 s* (x,y)的“匹配”濾波器？解：（1）參看圖題左，設(shè)物面坐標(biāo)為 x , y ；膠片坐標(biāo)為 x , y 。則參考光波

33、在記錄膠1 1 2 2片上造成的場分布為U ( x , y ) A exp( j 2y ) r 2 2 2（1）式中 A 為常數(shù)， sin/ 為空間頻率。物透明片在記錄膠片上造成的場分布為 U ( x , y ) C exp j ( x 2 y 2 ) S (,) 式中 S(,)為 s(x , y )的頻譜，且x /f，=y /f。膠片上的光強(qiáng)分布為1 1 2 2222 22oo o 2 2 2 f 2f 2 f f 2f2 222222222f 2f2 22I ( x , y ) U ( x , y ) U ( x , y ) 2 2 r 2 2 1 2 22A2C 2 S (,) CAS(

34、, ) exp j2 x2 y 22 22f y (2) x 2 y 2 CAS (,)exp j2 y 2f 將曝過光的膠片顯影后制成透明片，使它的復(fù)振幅透過率正比于照射光的強(qiáng)度，即t ( x , y ) I ( x , y )2 2 2 2（3）將制得的透明片作為頻率平面模片，放在圖題右所示的濾波系統(tǒng)中。要綜合出脈沖響應(yīng) s(x , y)或 s*(-x , -y)，只要考察當(dāng)輸入信號為單位脈沖 (x , y) 時(shí)，在什么條件 下系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為 s(x , y)或 s*(-x , -y)。參看右圖，當(dāng)輸入信號為 (x , y )時(shí)，在 L 的后焦面上形成的光場復(fù)振幅分布，根1 1 2據(jù)公式

35、U ( x, y) c exp jk( f d )( x 2 y 2 ) 2 q ( f d ) fdo o f ( x x y y )t ( x , y ) exp jk o oq( f d ) fd oodx dyo o得 d x 2 y 2 U ( x , y ) exp j 21 2 2 d x 2 y 2 exp j 21 2 2 (x1,y1) exp j ( x 2 x1 y 2 y1 ) dx1dy1 (4)透過頻率平面模片得光場分布，由(2)，(3)和(4)式得U 2 d x 2 y 2 ( x , y ) U ( x , y )t ( x , y ) A 2 C 2 S (,) exp j 21 2 2f 2fCAS*(, d x 2 y 2 ) exp j2 y d x y CAS (,)expj 22 2 2 y f 2f (5)如果要使系統(tǒng)是脈沖響應(yīng)為 s(x , y)的濾波器，應(yīng)當(dāng)利用(5)式中含有 S(,)的第三221 11 122項(xiàng)，應(yīng)要求該項(xiàng)的二次相位因子為零，即有 d =2f (6) 這時(shí)的輸出為（在反演坐標(biāo)系中）U (