北京中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課標(biāo)解讀典例詮釋專(zhuān)題二圖形變換

1、專(zhuān)題二圖形變換圖形的平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)是近年中考的熱點(diǎn)題型，它主要考查學(xué)生的觀察與實(shí)驗(yàn) 能力、探索與實(shí)踐能力，因此在解題時(shí)應(yīng)注意：熟練掌握?qǐng)D形的軸對(duì)稱(chēng)、圖形的平移、 圖形的旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)和基本方法；結(jié)合具體問(wèn)題大膽嘗試，動(dòng)手操作，探究發(fā)現(xiàn)其內(nèi) 在規(guī)律是解答操作題的基本方法.典例詮釋1.圖形變換平移例 (2014海淀二模)在 ABC中，/ABC=90, D為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，AD=a, AC=b,其 中a, b為常數(shù)，且ab.將4ABD沿射線BC方向平移，得到 FCE,點(diǎn)A, B, D的對(duì) 應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn) F, C, E.連接BE.(1)如圖2-2-1 ,若D在4ABC內(nèi)部，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出 FCE;(2

2、)在(1)的條件下，若 ADXBE,求BE的長(zhǎng)(用含a,b的式子表示)；(3)若/BAC=a,當(dāng)線段BE的長(zhǎng)度最大時(shí)，則/ BAD的大小為；當(dāng)線段 BE的長(zhǎng)度最小 時(shí)，則/ BAD的大小為(用含a的式子表示).圖 2-2-1【解】(1)如圖2-2-2.AFBC圖 2-2-2 (2)如圖2-2-3，連接BF.B圖 2-2-3將ABD沿射線BC方向平移，得到 FCE,：AD II EF,AD=EF,AB II FC,AB=FC.vZ ABC=90,：四邊形ABCF為矩形.：AC=BF.VADBE,.,.EFBE. AD=a, AC=b, ： EF=a, BF=b.：BE=.(3)180 - a；

3、a.提示：當(dāng)線段 BE的長(zhǎng)度最大時(shí)，點(diǎn) E在BF的延長(zhǎng)線上.由題意可知 ABDAFCE, 所以/ BAD=/EFC.又因?yàn)? BFC=/BAC=%所以BE的長(zhǎng)度最大時(shí)，/ BAD = 180 - a 當(dāng)線段BE的長(zhǎng)度最小時(shí)，點(diǎn)E在BF上.由題意可知 ABDFCE,所以/ BAD=/EFC. 又因?yàn)? BFC=/BAC=a,所以BE的長(zhǎng)度最小時(shí)，/ BAD= a【名師點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)、圖形平移的性質(zhì).解答本題關(guān)鍵是要掌握?qǐng)D形平移后邊的大小，形狀不變把A, D向右平移BC的距離即可得到對(duì)應(yīng)點(diǎn) F, E,然后連接EF, FC , EC即可； (2

4、)易證四邊形ABCF為矩形，則 AC=BF.在直角 BEF中，利用勾股定理即可求解.當(dāng)線段BE的長(zhǎng)度最大時(shí)，點(diǎn)E在BF的延長(zhǎng)線上；當(dāng)線段 BE的長(zhǎng)度最小時(shí)，點(diǎn) E 在BF上.2.圖形變換軸對(duì)稱(chēng)例1 (2016石景山一模)在正方形ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，連接 BE.請(qǐng)你在圖2-2-4中畫(huà)出 BEM,使得 BEM與4BEC關(guān)于直線 BE對(duì)稱(chēng)；若邊AD上存在一點(diǎn) F,使得 AF+CE=EF,請(qǐng)你在圖2-2-4中探究/ ABF與/ CBE 的數(shù)量關(guān)系，并證明；在(2)的條件下，若點(diǎn) E為邊CD的三等分點(diǎn)，且 CEDE,請(qǐng)寫(xiě)出求cos/ FED的思 路.(可以不寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果).圖 2-2-4【解】

5、(1)補(bǔ)全圖形，如圖2-2-5所示.(2)/ABF 與/ CBE 的數(shù)量關(guān)系為/ ABF + Z CBE=45.證明如下：如圖2-2-6,連接BF,EF,延長(zhǎng)DC到G,使得CG=AF,連接BG.E D圖 2-2-6V 四邊形 ABCD 為正方形，：AB=BC, Z A=Z BCG = Z ABC=90 . /. BAFABCG. .BF = BG, /ABF=/CBG. AF + CE=EF, ： EF=GE. /. BEFA BEG.：/ FBE= / GBE= / ABF+ / CBE, ： / ABF+ / CBE=45 .(3)求解思路如下：a.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 3a, AF為x,貝U

6、 EF=x+a, DF=3a-x;b.在RtAEFD中，由，可得，從而得到x與a的關(guān)系2x=3a；c.根據(jù)cos/ FED=,可求得結(jié)果.【名師點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理和全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相根據(jù)題意直接畫(huà)出圖形即可；（2）方法一：連接BF, EF,延長(zhǎng)DC至I G,使得CG=AF, 連接BG.可證 BAFBCG,從而可證 BEFABEG,可得答案；方法二：連接BF, EF,在EF上截取EH=CE,連接BH ,再證明三角形全等，此題得解.設(shè)正方形的邊長(zhǎng) 為3a, AF為x,則可表示EF, DF;在R

7、tAEFD中，利用勾股定理得出 x與a的關(guān)系， 可求得結(jié)果.提示：要求寫(xiě)思路的題，要寫(xiě)清關(guān)鍵步驟.例2 （2015懷柔一模）在等邊 ABC外側(cè)作直線AP,點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D, 連接BD,CD,其中CD交直線AP于點(diǎn)E.（1）依題意補(bǔ)全圖2-2-7；若/ PAB=30,求/ ACE的度數(shù)；（3）如圖2-2-7，若60/FAB120,判斷由線段 AB,CE,ED可以構(gòu)成一個(gè)含有多少度圖 2-2-7【解】（1）補(bǔ)全圖形，如圖2-2-8所示.圖 2-2-8(2)如圖2-2-8，連接 AD.點(diǎn) D 與點(diǎn) B 關(guān)于直線 AP 對(duì)稱(chēng)，：AD=AB, Z DAP = Z BAP=30.,. AB=A

8、C,Z BAC=60,：AD=AC,/DAC=120.：2/ACE+60 +60 =180, ：/ACE=30.(3)線段 AB,CE,ED 可以構(gòu)成一個(gè)含有60角的三角形.證明如下：連接 AD, EB,如圖2-2-8.點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于直線AP對(duì)稱(chēng)，：AD=AB, DE = BE,可證得/ EDA = Z EBA. ,.AB=AC,AB=AD,：AD=AC,ADE=/ACE.ABE=/ACE.設(shè) AC， BE 交于點(diǎn) F,又AFB=/CFE, BAC=/ BEC=60,二線段AB,CE,ED可以構(gòu)成一個(gè)含60角的三角形.【名師點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)作圖以及等腰三角形的性質(zhì).解答本題的關(guān)鍵是

9、根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置以及掌握等腰三角形的性質(zhì).(1)根據(jù)題意作出圖形；根據(jù)題意可得/ DAP=/BAP=30,然后根據(jù) AB=AC, /BAC=60,得出AD=AC, / DAC=120 ，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式求解；由線段AB, CE, ED可以構(gòu)成一個(gè)含有60度角的三角形，連接 AD , EB,根據(jù)對(duì)稱(chēng) 可得/ EDA=/EBA,然后證得 AD=AC,最后即可得出/ BAC=ZBEC=60.3.圖形變換 旋轉(zhuǎn)例1 (2015朝陽(yáng)二模)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出這樣一個(gè)問(wèn)題：如果AB=BC,Z ABC=60,/APC=30,連接PB,那么FA,PB,PC之間會(huì)有怎樣的等量關(guān)系呢？

10、經(jīng)過(guò)思考后，部分同學(xué)進(jìn)行了如下的交流：小蕾：我將圖形進(jìn)行了特殊化，讓點(diǎn) P在BA的延長(zhǎng)線上(如圖2-2-9)，得到了一個(gè)猜 想:.小東：我假設(shè)點(diǎn)P在/ABC的內(nèi)部，根據(jù)題目條件，這個(gè)圖形具有 共端點(diǎn)等線段”的特 點(diǎn)，可以利用旋轉(zhuǎn)解決問(wèn)題，旋轉(zhuǎn)FAB后得到 PCB,并且可推出 PBPAPCP分別是等邊三角形、 直角三角形， 就能得到猜想和證明方法 .這時(shí)老師對(duì)同學(xué)們說(shuō)， 請(qǐng)大家完 成以下問(wèn)題：(1)如圖 2-2-9 ，點(diǎn) P 在/ABC 的內(nèi)部， FA=4, PC=2, PB=.用等式表示PA ， PB ， PC 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明 .對(duì)于點(diǎn)P的其他位置，是否始終具有中的結(jié)論？若是，請(qǐng)證明；

11、若不是，請(qǐng)舉例圖229【解】2;.證明如下：如圖 2-2-10,作/ PBP= / ABC = 60,且使 BP=BP,連接 PC, PP,. Z 1=Z 2.VAB=CB, A ABPA CBP；. PA= P C, / A= / BCP .在四邊形ABCP中，vZ ABC = 60 , Z APC = 30 , Z A+Z BCP=270.Z BCP + Z BCP = 270 . Z POP = 360 - (Z BCP + Z BCP)=90. PBP是等邊三角形PP =PB.在 RtaPCP中，.(2)點(diǎn)P在其他位置時(shí)，不是始終具有中猜想的結(jié)論，舉例：如圖2-2-11,當(dāng)點(diǎn)P在CB的

12、延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論為.(說(shuō)明：答案不唯一)圖 2-2-11【名師點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換問(wèn)題.解答本題的關(guān)鍵是正確作出旋轉(zhuǎn)后的圖形、熟練掌握全等三角形的判定定理以及三角形全等的性質(zhì)(1)根據(jù)結(jié)論代入即可填寫(xiě)；(2)根據(jù)ABPCBP得出PA=PC, /A=/BCP,即可得出PA, PB, PC之間的數(shù)量關(guān)系；當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，得出結(jié)論.(說(shuō)明：答案不唯一)備用圖圖 2-2-12例2 (2015海淀一模)如圖2-2-12,在菱形 ABCD中，/ ADC=120 ,點(diǎn)E是對(duì)角線 AC上一點(diǎn)，連接DE, /DEC=50,將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50并延長(zhǎng)得到射線 BF, 交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

13、G.依題意補(bǔ)全圖形；(2)求證：EG=BC;(3)用等式表示線段 AE, EG, BG之間的數(shù)量關(guān)系:(1)【解】補(bǔ)全圖形，如圖2-2-13所示.BB圖 2-2-13【證法一】連接BE,如圖2-2-13.v四邊形ABCD是菱形，：AD/BC. / ADC=120,：/ DCB=60 .AC 是菱形 ABCD 的對(duì)角線,DCA = Z DCB=30.EDC=180 -Z DEC / DCA=100.由菱形的對(duì)稱(chēng)性可知，/ BEC=/DEC=50 ,ZEBC=Z EDC=10O.：/ GEB= / DEC+ / BEC=100, ： / GEB= / CBE.vZ GBC=50, ： / EBG=

14、 / EBC / GBC=50 , ： / EBG= / BEC.在4 68與4 CBE中，： GEBA CBE,/. EG=BC.【證法二】連接BE,設(shè)BG與EC交于點(diǎn)H,如圖2-2-13.v四邊形ABCD是菱形，：AD/BC. / ADC=120,：/ DCB=60 .AC 是菱形 ABCD 的對(duì)角線，DCA = /DCB=30,EDC=180 -Z DEC / DCA=100.由菱形的對(duì)稱(chēng)性可知，/ BEC=/DEC=50 ,ZEBC=Z EDC=100. /GBC=50, EBG=/EBC / GBC=50=/BEC. ：BH = EH.在 GEH 與乙 CBH 中，GEH CBH，:

15、 EG=BC.(3)AE+BG=EG.【名師點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換問(wèn)題、菱形的性質(zhì).解答本題的關(guān)鍵是正確作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)題意證明三角形全等.(1)根據(jù)題意可以補(bǔ)全圖形；連接BE,根據(jù)已知條件和圖形可以證明 GEBACBE,得到答案.根據(jù)GEBCBE,得到EC=BG, EG=BC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和/ BAC=30, 求出AB,BC的關(guān)系，得到答案.真題演練1.(2016北京)在等邊 ABC中：(1)如圖2-2-14，P, Q是BC邊上兩點(diǎn)，AP=AQ, /BAP=20,求/ AQB的度數(shù)； 點(diǎn)P, Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B, C重合)，點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，且AP=AQ,

16、點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M ,連接AM , PM.依題意將圖2-2-14補(bǔ)全；小茹通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，提出猜想：在點(diǎn) P, Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有 PA=PM.小茹把 這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過(guò)討論，形成了證明該猜想的幾種想法： 想法1:要證FA=PM,只需證 APM是等邊三角形；想法2:在BA上取一點(diǎn) N,使得BN=BP,要證明FA=PM,只需證 ANPA PCM ;想法3:將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,得到線段BK,要證PA=PM,只需證PA=CK,PM = CKFA=PM（一種方法即可）.請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小茹證明圖 2-2-14【解】(1) . AP=AQ, Z AQB= /

17、 APC.而/ APC=Z B+Z BAP=60 +20 =80 ,： / AQB=80.AB P Q C圖 2-2-15(2)補(bǔ)全圖如圖2-2-15.證明：: ABC為等邊三角形：/ ABC=Z ACB=Z BAC=60.又 AP=AQ,/.Z APQ=Z AQB.vZ BAP+ / ABC= / APQ, / AQB= / CAQ+ / ACB, BAP=Z CAQ.v 點(diǎn) Q,M 關(guān)于直線 AC 對(duì)稱(chēng)，：AQ=AM , C CAQ=Z MAC.FAM = ZFAC+ZMAC=Z PAC+Z BAP=Z BAC=60 ,且 AP=AQ=AM,： APM為等邊三角形.：PA=PM.2.（20

18、15北京）在正方形ABCD中，BD是一條對(duì)角線，點(diǎn) P在射線CD上（與點(diǎn)C, D不 重合），連接AP,平移 ADP,使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C,得到 BCQ,過(guò)點(diǎn)Q作QH BD 于H,連接AH, PH.若點(diǎn)P在線段CD上，如圖2-2-16.依題意補(bǔ)全圖；判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；若點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上，且/ AHQ=152,正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1,請(qǐng)寫(xiě)出 求DP長(zhǎng)的思路.（可以不寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果）圖 2-2-16【解】（1）如圖2-2-17.圖 2-2-17如圖2-2-17,連接CH.v 四邊形 ABCD 是正方形，QHXBD, ： / HDQ=45 ,： DHQ是等腰直角三角形

19、，, HD=HQ,Z HQD = Z HDQ =45. BCQ是由 ADP平移得到的，：DP=CQ.在 HDP與 HQC中，： HDPA HQC(SAS),.PH=CH, / HPC=ZHCP.,. BD是正方形ABCD的對(duì)稱(chēng)軸，.AH=CH, /DAH = /HCP, ： / HPC = /DAH . / HPD+/HPC=180,：/ HPD+Z DAH=180,ADP+Z AHP=360 -(Z HPD+Z DAH)=360 180 =180 ,：/ AHP=180 / ADP =180 - 90 =90,：AH=PH, AHXPH.(2)如圖 2-2-18,連接 CH.P D R Q圖

20、 2-2-18v 四邊形 ABCD 是正方形，QHXBD, ： / HDQ=45 ,： DHQ是等腰直角三角形. BCQ 由 ADP 平移得到，：PD=QC.過(guò)點(diǎn)H作HR PC于點(diǎn)R.VQHBD,.,.Z BHQ=90. /AHQ=152 ,AHB=/AHQ / BHQ=15290 =62. / ABD=45，又 / ABH+/AHB + / HAB=180,：/ HAB=180 / AHB / ABH =180 - 62 - 45 =73 .又DAH + Z HAB=90,DAH=90 -Z HAB=90 -73 =17.由(1)同理可得/ HCD = ZDAH=17.設(shè) DP=x,則 DR

21、=HR=RQ=, .CR=CQ+RQ=x+=.在 RtHRC 中，tan/HCR=，即 tan 17 =,即 tan 17 =, : x=.3.(2014北京)在正方形ABCD外側(cè)作直線AP,點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E,連接 BE, DE,其中DE交直線AP于點(diǎn)F.(1)依題意補(bǔ)全圖2-2-19；若/ PAB=20,求/ ADF的度數(shù)；(3)如圖2-2-19，若45/PABV90,用等式表示線段 AB, FE , FD之間的數(shù)量關(guān)系， 并證明.B圖 2-2-19【解】(1)補(bǔ)全圖形如圖2-2-20所示.圖 2-2-20 圖 2-2-21(2)如圖 2-2-21 ,連接 AE.V四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)B和點(diǎn)E關(guān)于直線AP對(duì)稱(chēng),：AB=AD=AE, / PAB=Z PAE.vZ PAB=20,：/ EAD=Z BAD+ / BAE=90 +40 =130. AD=AE, ：/ADF=25.證明如下：如圖2-2-22,作點(diǎn)D關(guān)于直線 AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D ；