多面體的外接球和內(nèi)切球（解析版）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學必備考試技能高分領先方案

1、第PAGE 頁碼18頁/總NUMPAGES 總頁數(shù)18頁Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.專題12 多面體的外接球和內(nèi)切球一、結論1球與多面體的接、切定義1；若一個多面體的各頂點都在一個球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是多面體的外接球。定義2；若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是多面體的內(nèi)切球。類型一 球的內(nèi)切問題（等體積法）例如：在四棱錐中，內(nèi)切球為球，求球半徑.方法如下：即：，可求出.類型二 球的外接問題1、公式法正方體或

2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點2、補形法（補長方體或正方體）墻角模型（三條線兩個垂直）題設：三條棱兩兩垂直（重點考察三視圖） 對棱相等模型（補形為長方體）題設：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（，）3、單面定球心法（定+算）步驟：定一個面外接圓圓心：選中一個面如圖：在三棱錐中，選中底面，確定其外接圓圓心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點上，普通三角形用正弦定理定外心）；過外心做（找）底面的垂線，如圖中面,則球心一定在直線（注意不一定在線段上）上；計算求半徑:在直線上任取一點如圖：則，利用公式可計算出球半徑.4、雙面定球心法（兩次單面定球心）如圖：在

3、三棱錐中：選定底面，定外接圓圓心選定面，定外接圓圓心分別過做面的垂線，和做面的垂線，兩垂線交點即為外接球球心.二、典型例題1（2022山西呂梁一模（文）在九章算術商功中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖在鱉臑中，平面，則鱉臑內(nèi)切球的表面積為（ ）ABCD【答案】B【解析】解：因為四面體四個面都為直角三角形，平面，所以，設四面體內(nèi)切球的球心為，則，所以，因為四面體的表面積為，又因為四面體的體積，所以，所以，故選：B【反思】本例中涉及到求內(nèi)切球問題，典型的等體積法.2（2021四川省南充高級中學高二期中（文）在三棱錐PABC中，兩兩垂直，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD【答案

4、】D【解析】將三棱錐PABC補全為長方體，則長方體的外接球就是所求的外接球，設球半徑為R，則，所以球的表面積為故選：D【反思】由題意，兩兩垂直，可直接用補形法，補成長方體，利用長方體求外接球.3（2021全國高一課時練習）已知三棱錐，在底面中，面，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】D【解析】設的外接圓半徑為R，因為，由正弦定理得：，所以的外接圓半徑為1，設的外接圓圓心為，過點做的平行線，則球心一定在該直線上，設為，因為面，由于，故，由勾股定理得：，即此三棱錐的外接球的半徑為2，故外接球表面積為.故選：D【反思】此題典型的單面定球心求外接球的問題，先確定的外接圓圓心，再過做的平行

5、線，則可確定球心在該直線上，進而通過計算求出外接球半徑.4.三棱錐中，平面平面，和均為邊長為的正三角形，則三棱錐外接球的半徑為 .【解析】:由于是正三角形，并且邊長為2，所以的外接圓圓心為,則,同理可得的外接圓圓心為，可得到，,分別過做面的垂線，過做面的垂線交于，因為平面平面，所以四邊形為正方形，且,利用勾股定理：，所以.【反思】此題典型的雙面定球心，由于選定的面，都是正三角形，故其外心都是中心，如果是普通三角形，可以采用正弦定理定外心.三、針對訓練 舉一反三一、單選題1（2021湖北黃岡高一期末）若圓錐的內(nèi)切球(球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切)的半徑為，當該圓錐體積是球體積兩倍時，該圓錐的高

6、為（）ABCD【答案】B如下圖組合體的軸截面，設圓錐半徑為，圓錐高為，則，由得,代入得，由“該圓錐體積是球體積兩倍”可知，即，聯(lián)立兩式得.故選:B2（2021青海海南藏族自治州高級中學高三開學考試（理）如圖正四棱柱中，底面面積為36，的面積為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】C【詳解】設正四棱柱的高為，因為正方形的面積為36，所以，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，,因為的面積為，所以，解得，依題意，三棱錐的外接球即為正四棱柱的外接球，其半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為故選：C3（2022全國高三專題練習）已知四面體中，平面，且，則四面體的外接球的表面積為（ ）ABC

7、D【答案】B解：如圖所示：在中，又且，故解得：，由余弦定理得：，即，故，設的外接圓半徑為，則，設的外接圓圓心為，四面體的外接球球心為，則，四面體的外接球的表面積為：.故選：B.4（2021江蘇金陵中學高一期末）前一段時間，高一年級的同學們參加了幾何模型的制作比賽，大家的作品在展覽中獲得了一致好評其中一位同學的作品是在球當中放置了一個圓錐，于是就產(chǎn)生了這樣一個有趣的問題：已知圓錐的頂點和底面圓周都在球面上，若圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，面積為，則球的表面積等于（ ）ABCD【答案】A【詳解】圓錐的頂點和底面圓周都在球面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，面積為，設母線為，則，可得：，由扇形的弧長公式

8、可得：，所以，圓錐的高，由，解得：，所以球的表面積等于，故選：A5（2021云南彌勒市一中高二階段練習）設直三棱柱的所有頂點都在一個球面上，且球的體積是，則此直三棱柱的高是（ ）A1B2CD4【答案】B【詳解】設，三角形外接圓的半徑為，直三棱柱外接球的半徑為.因為，所以，于是，.又球心到平面的距離等于側(cè)棱長的一半，所以.在中，由，得，.所以球的體積，解得.于是直三棱柱的高是.故選：B.6（2021重慶西南大學附中高一期末）已知正方形中，是邊的中點，現(xiàn)以為折痕將折起，當三棱錐的體積最大時，該三棱錐外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】C【詳解】解：過D作于，設點為的外心，為的中點，連接，因為正方

9、形中，是邊的中點，所以,則，,所以,，,所以,所以,設棱錐的外接球球心為，半徑為，則平面，設，因為的面積為定值，所當高最大時，三棱錐的體積最大，此時平面平面，因為，平面平面，所以平面，所以,所以，所以，所以，解得，所以的外心為三棱錐外接球的球心，所以所以三棱錐外接球的表面積為故選：C7（2021廣西柳鐵一中高三階段練習（理）在三棱錐中，則三棱錐外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】D【詳解】如圖，由，得，由，得，又，平面，設的外心為G，過G作底面的垂線，使，則O為三棱錐外接球的球心，在中，由，得，設的外接圓的半徑為r，則，.三棱錐外接球的表面積為.故選：D.8（2021江西省南豐縣第二中學高一

10、學業(yè)考試）已知四棱錐，平面，二面角的大小為.若四面體的四個頂點都在同一球面上，則該球的體積為（ ）ABCD【答案】A【詳解】因為，所以，所以，所以外接圓的圓心為的中點，記為，過作直線使得平面，取中點，過作垂足為，則，所以為四面體外接球的球心，因為，所以平面，又，所以二面角的平面角為，所以，因為，所以，所以，所以，又因為，所以，所以四面體外接球的體積為，故選：A.二、填空題9（2022河南焦作一模（理）已知三棱錐的每條側(cè)棱與它所對的底面邊長相等，且是底邊長為，面積為的等腰三角形，則該三棱錐的外接球的表面積為_.【答案】【詳解】三棱錐可以嵌入一個長方體內(nèi)，且三棱錐的每條棱均是長方體的面對角線，如圖

11、，設，長方體交于一個頂點的三條棱長為，則，解得.由題得，解之得，.所以該三棱錐的外接球的半徑為，所以該三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：10（2022河南駐馬店高三期末（文）在三棱錐中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，則三棱錐外接球的表面積為_【答案】#【詳解】如圖，取的中點，連接，由題意可得，因為，所以，因為，所以，所以，所以，即因為，所以平面，設三棱錐外接球的球心為，由題意易得三棱錐外接球的球心在線段上，如下圖則三棱錐外接球的半徑滿足，解得，所以，；若三棱錐外接球的球心在線段的延長線上，如下圖，則三棱錐外接球的半徑滿足，無解；所以，三棱錐外接球的表面積故答案為：.11（2022全國模擬預

12、測（理）已知A、B、C、D為空間不共面的四個點，且，則當三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為_【答案】【詳解】當BA、BC、BD兩兩垂直時，如圖三棱錐的底面的面積和高同時取得最大值，則三棱錐的體積最大，此時將三棱錐補形為一個長寬高分別為，的長方體，長方體的外接球即為三棱錐的外接球，球的半徑，表面積為故答案為：.12（2022安徽馬鞍山一模（理）三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，平面平面，則該三棱錐的外接球的體積為_【答案】【詳解】等邊三角形的高為，等邊三角形的外接圓半徑為三角形的外接圓半徑為，設分別是等邊三角形、等邊三角形的中心，設是三棱錐的外接球的球心，是外接球的半徑，則，所以外接球的體積為.故答案為：13（2021湖北荊州高一期中）如