積分變換第一講

1、所謂積分變換，就是通過積分運算，把一個函數(shù)變成另一個函數(shù)，即 其中是一個確定的函數(shù)，稱為積分變換的核。當(dāng)選取不同的積分域與變換核時，就得到不同名稱的積分變換.A類 B類 積分變換1最常用的兩類積分變換 傅氏變換拉式變換2在工程計算中, 無論是電學(xué)還是力學(xué), 經(jīng)常要和隨時間而變的周期函數(shù)fT(t)打交道. 例如:具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t), 其中T稱作周期, 而1/T代表單位時間振動的次數(shù), 單位時間通常取秒, 即每秒重復(fù)多少次, 單位是赫茲(Herz, 或Hz).t3最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T而Asin(wt+j)又可以看作是兩個周

2、期函數(shù)sinwt和coswt的線性組合Asin(wt+j)=asinwt+bcoswtt4人們發(fā)現(xiàn), 所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的線性組合來逼近.方波4個正弦波的逼近100個正弦波的逼近5研究周期函數(shù)實際上只須研究其中的一個周期內(nèi)的情況即可, 通常研究在閉區(qū)間-T/2,T/2內(nèi)函數(shù)變化的情況. 并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)逼近, 而是要滿足狄利克雷(Dirichlet)條件, 即在區(qū)間-T/2,T/2上1, 連續(xù)或只有有限個第一類間斷點2, 只有有限個極值點這兩個條件實際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù).6對于周期為T的函數(shù) ，若在一個周期內(nèi)滿足(1)連續(xù)或只有

3、有限個第一類間斷點，(2) 只有有限個極值點，則在的連續(xù)點處，有狄利克雷條件稱為基波頻率稱為 的 次諧波頻率 傅立葉級數(shù)7其中 在 的間斷點處，左端為8第一類間斷點和第二類間斷點的區(qū)別:第二類間斷點第一類間斷點9不滿足狄氏條件的例:而在工程上所應(yīng)用的函數(shù), 尤其是物理量的變化函數(shù), 全部滿足狄氏條件. 實際上不連續(xù)函數(shù)都是嚴(yán)格上講不存在的, 但經(jīng)常用不連續(xù)函數(shù)來近似一些函數(shù), 使得思維簡單一些.10在區(qū)間-T/2,T/2上滿足狄氏條件的函數(shù)的全體也構(gòu)成一個集合, 這個集合在通常的函數(shù)加法和數(shù)乘運算上也構(gòu)成一個線性空間V, 此空間的向量就是函數(shù), 線性空間的一切理論在此空間上仍然成立. 更進一步

4、地也可以在此線性空間V上定義內(nèi)積運算, 這樣就可以建立元素(即函數(shù))的長度(范數(shù)), 及函數(shù)間角度, 及正交的概念. 兩個函數(shù)f和g的內(nèi)積定義為:11一個函數(shù)f(t)的長度為12而在區(qū)間-T/2,T/2上的三角函數(shù)系1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ., cos nwt, sin nwt, .是兩兩正交的, 其中w=2p/T, 這是因為cos nwt和sin nwt都可以看作是復(fù)指數(shù)函數(shù)ejnwt的線性組合. 當(dāng)nm時,13這是因為14由此不難驗證15而1, coswt, sinwt, ., cos nwt, sin nwt, .的函數(shù)的長度計算如下:16因

5、此, 任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)fT(t), 可表示為三角級數(shù)的形式如下:17為求an, 計算fT(t), cosnwt, 即18同理, 為求bn, 計算fT(t), sin nwt, 19最后可得:20（二）傅氏級數(shù)的復(fù)數(shù)形式將代入傅氏級數(shù)，得即21代入整理 ，并令 得將22（三）非周期函數(shù)的傅氏展開式23對任何一個非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T時轉(zhuǎn)化而來的. 作周期為T的函數(shù)fT(t), 使其在-T/2,T/2之內(nèi)等于f(t), 在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整個數(shù)軸上, 則T越大, fT(t)與f(t)相等的范圍也越大, 這就說明當(dāng)T時, 周期函數(shù)fT(

6、t)便可轉(zhuǎn)化為f(t), 即24Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)2526如圖O w1 w2 w3 wn-1wnw2728此公式稱為函數(shù)f(t)的傅里葉積分公式, 簡稱傅氏積分公式,29傅氏積分定理若 在 上滿足條件： 在任意有限區(qū)間上滿足狄氏條件; 在 上絕對可積;即 收斂.則(不連續(xù)點處).(連續(xù)點處)30上式也可以轉(zhuǎn)化為三角形式31又考慮到積分32第二節(jié) 傅氏變換 的傅氏變換的傅氏逆變換一 、定義33記的原象函數(shù).的象函數(shù).34解：例1 求指數(shù)衰減函數(shù) 付氏變換及其積分表達式。3536即令得37(2)普通函數(shù)序列極限形式的定義二 函數(shù)及其傅氏變換(1)(狄拉克)滿足下列兩個條件

7、的函數(shù)稱為 函數(shù)。1. 函數(shù)的定義38若 為無窮次可微的函數(shù)，且其中稱 的弱極限為 函數(shù)，即39工程上，將 函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)由定義（2），有因此 函數(shù)常用長度為1的有向線段表示2. 函數(shù)的篩選性質(zhì)若 為無窮次可微的函數(shù)，則403. 函數(shù)的傅氏變換41例2 證明單位階躍函數(shù)的傅氏變換為證明 （往證 的傅氏逆變換為 ）42而代入上式得43同樣的方法可以得到，若（1）則=1即 1 （2）44例3 求正弦函數(shù) 的傅氏變換解454. 函數(shù)在積分變換中的作用 (1)有了函數(shù)，對于點源和脈沖量的研究就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣，以統(tǒng)一的方式來對待。 (2)盡管函數(shù)本身沒有普通意義下的函數(shù)值，但它與任何一個無窮次可微的函數(shù)的乘積在(-,+)上的積分都有確定的值。 (3)函數(shù)的付氏變換是廣義付氏變換，許多重要的函數(shù)，如常函數(shù)、符號函數(shù)、單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等是不滿足付氏積分定理中的絕對可積條件的(即 不存在)，這些函數(shù)的廣義付氏變換都可以利用函數(shù)而得到。46(三)傅氏變換的物理意義頻譜第 次諧波第 次諧波的振幅47表示成復(fù)