一致連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用(1)教學(xué)內(nèi)容

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。一致連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用(1)-1、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，證明在上一致可導(dǎo)的充分必要條件是在上連續(xù)。這里在上一致可導(dǎo)是指：對任給，存在，使得對任意，當(dāng)時，就有成立。證明充分性設(shè)在上連續(xù)，于是在上一致連續(xù)，對任給，存在，使得對任意，當(dāng)時，就有成立；對任意，存在位于之間，使得，顯然，于是，即得在上一致可導(dǎo)；必要性設(shè)在上一致可導(dǎo)，注到的地位對稱，因此有對任給，存在，當(dāng)，時，就有，從而，故得到在上一致連續(xù)，因此在上連續(xù)。2、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上非李普希茲連續(xù)，證明在區(qū)間上一致連續(xù)的充分必要條件是：對任給的，總存在正數(shù)，使

2、當(dāng)，滿足時，就有.證明充分性對任給，取，對任意，當(dāng)時，若滿足，就有；若成立，則有，即得在區(qū)間上一致連續(xù)。充分性用反證法.假若在區(qū)間上不一致連續(xù)，則存在，存在，使得，但，則有，由假設(shè)條件，對，只需要充分大，就滿足，就有，矛盾，所以在區(qū)間上一致連續(xù)；必要性證法一設(shè)在區(qū)間上一致連續(xù)，對任意，存在，當(dāng)，時，有；若有，滿足，必有，取，若有，滿足時，我們斷言必有；假若不成立，也就是假若有，必得矛盾。事實上，令，則存在正整數(shù)，使得，設(shè)，則有，；不妨設(shè)，因為，故由連續(xù)函數(shù)介值定理，知存在，使得，；同理，存在，使得，；如此繼續(xù)下去，則得，其中規(guī)定；這時，對每個，因為，故由一致連續(xù)的定義，；從而，這與，矛盾；對于

3、的情況，可類似討論。必要性證畢。證法二假若結(jié)論不成立，則存在，對任意正整數(shù)，存在，盡管，但；由于在區(qū)間上一致連續(xù)，對，存在，當(dāng)，時，有；于是必有，不妨設(shè)，則存在正整數(shù)，使得，取，；，則有，從而有，這與相矛盾，故必要性結(jié)論成立。注：對函數(shù)，或者，或，顯然在上一致連續(xù)，不出現(xiàn)必要性的條件，不成立必要性的結(jié)論，所以此題應(yīng)只有充分性，應(yīng)無必要性.再者條件也難造出來。對，顯然在上一致連續(xù)；，若，且，則必有，。對，顯然在上一致連續(xù)。例29,（）.解，又，故.例30證明（1）；（2），（）.證明設(shè)是以為周期的函數(shù)，;當(dāng)時，（）;由傅立葉展開定理,得，特別地，當(dāng)時，有，于是；故.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，試證明：

4、在上一致連續(xù)的充分必要條件是對區(qū)間上任意兩數(shù)列與，當(dāng)時，有.證明：必要性設(shè)在上一致連續(xù)，則對，當(dāng)，時，有.由，對于上述，當(dāng)時，有，從而有，所以.充分性：用反證法假設(shè)在上不一致連續(xù)，則，對，存在，盡管，但，不妨取，存在，盡管，但，上述，滿足，但是，與條件,矛盾.設(shè)于區(qū)間上一致連續(xù)，且收斂，證明也收斂，問若將于區(qū)間上一致連續(xù)改為于區(qū)間上連續(xù)，上述結(jié)論是否仍成立？說明理由.證明由于在上一致連續(xù)，對任意，存在，當(dāng)，時，有，由收斂，知對上述，存在正整數(shù)，當(dāng)時，有，于是有，即是Cauchy序列，所以收斂.若在上連續(xù)，收斂，未必有收斂，例如，顯然收斂，但是不收斂.三、設(shè)為有限區(qū)間，在上有定義，試證：在上一致

5、收斂充要條件是把Cauchy序列映射為Cauchy序列，（即當(dāng)為Cauchy序列時，亦為Cauchy序列）。證明必要性設(shè)在上一致連續(xù)，對，當(dāng)時，有，設(shè)是Cauchy序列，則對此，當(dāng)時，有，從而有，所以有是Cauchy序列；充分性用反證法，假若在上非一致連續(xù)，則，雖然，但，注意到為有限區(qū)間，因此中存在收斂的子列，因，故亦收斂，且，從而穿插之后，序列亦收斂，為Cauchy序列，但其像序列恒有，不是Cauchy序列，與一致條件矛盾，所以假設(shè)不成立，故有在上一致連續(xù)，命題得證。注：當(dāng)為無限區(qū)間時，充分性不再成立，例如把上的任一Cauchy序列，映成Cauchy序，但在上不一致連續(xù)。設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上，

6、定義，證明在上一致連續(xù).五、設(shè)在有限區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)，證明：也在內(nèi)一致連續(xù)。證明首先證明都在上有界，因為在有限區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)，從而存在，滿足當(dāng)此，時，有，現(xiàn)取正整數(shù)，滿足，令，；對任意，存在，使得，即得在上是有界的；同理在上也是有界的；下面證明，若在區(qū)間上有界，且都一致連續(xù)，則在區(qū)間上一致連續(xù)。設(shè)，滿足，;那么由得一致連續(xù)性得到，對于任意，存在，使得當(dāng)，時，有，從而，即得在上一致連續(xù)。設(shè)在上一致連續(xù)，在上連續(xù)，且，證明：在上一致連續(xù).證明：設(shè)，則在上連續(xù)，由存在，可知在上一致連續(xù)，又在上一致連續(xù)，所以在上一致連續(xù).3、設(shè)在上連續(xù)可微，收斂，且在上一致連續(xù)，試證必有.證明由在上一致連續(xù)，得，對，當(dāng)

7、，且時，便有；由收斂，由微分中值定理，存在，使得，于是有.對上述，存在，當(dāng)時，便有；取，對任意，必存在正整數(shù)，使得，故得.4、設(shè)且存在，在上有界，試證成立.5、用定積分的定義證明：若在上連續(xù)，且存在上的連續(xù)可微函數(shù)，使得，則在a,b上可積，且.證明：對區(qū)間的任意分割：，任取，記，；存在，使得，；再由在上一致連續(xù)，得，對，當(dāng)時，有，；從而，即得函數(shù)在上可積，且。6、用積分的定義，（1）計算：；（2）計算.解.（1），提示：，仿照4題的證明過程，可具體可算出使得成立的點；（2），提示：，。定理9若在上連續(xù),則在上必可積.證明:由在上連續(xù)，得在上一致連續(xù)，對任意給定，由一致連續(xù)性，必存在，使得對任意的，只要，就有.取定的一個分割,使,由最大、最小值定理,可取,使,從而.根據(jù)定理6,在上可積.定理設(shè)在上連續(xù)。對區(qū)間的任意分割：，任取，記，；成立。證明因為在上連續(xù)，所以在上可積，于是；再由在上連續(xù)，得在上有界，在上一致連續(xù)，進而成立，故結(jié)果得證。證明：（1）若在上連續(xù)可導(dǎo)，且都收斂，則有；（2）設(shè)在上連續(xù)，且收斂，若在上一致連續(xù)，則必有.（1）提示：由及條件，得存在，又收斂，得.（2）證明由在上一致連續(xù)，得，對，當(dāng)，且時，便有；由于收斂，則有，由積分平均值定理，存在，使得，于是有，對上述，存在，當(dāng)時，便有；取，