《2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征》教學案2-公開課-優(yōu)質課(人教A版必修三精品)

1、2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征教學案2一、教材分析教科書結合實例展示了頻率分布的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).對于眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的概念，重點放在比較它們的特點，以及它們的適用場合上，使學生能夠發(fā)現(xiàn)，在日常生活中某些人通過混用這些(描述平均位置的)統(tǒng)計術語進行誤導.另一方面，教科書通過思考欄目讓學生注意到，直接通過樣本計算所得到的中位數(shù)與通過頻率直方圖估計得到的中位數(shù)不同.在得到這個結論后，教師可以舉一反三，使學生思考對于眾數(shù)和平均數(shù)，是否也有類似的結論.進一步，可以解釋對總體眾數(shù)、總體中位數(shù)和總體平均數(shù)的兩種不同估計方法的特點.在知道樣本數(shù)據(jù)的具體數(shù)值時，通常通過樣本計算中位數(shù)、平

2、均值和眾數(shù)，并用它們估計總體的中位數(shù)、均值和眾數(shù).但有時我們得到的數(shù)據(jù)是整理過的數(shù)據(jù)，比如在媒體中見到的頻數(shù)表或頻率表，用教科書中的方法也可以得到總體的中位數(shù)、均值和眾數(shù)的估計.教科書通過幾個現(xiàn)實生活的例子，引導學生認識到：只描述平均位置的特征是不夠的，還需要描述樣本數(shù)據(jù)離散程度的特征.通過對如何描述數(shù)據(jù)離散程度的探索，使學生體驗創(chuàng)造性思維的過程.教科書通過例題向學生展示如何用樣本數(shù)字特征解決實際問題，通過閱讀與思考欄目“生產(chǎn)過程中的質量控制圖”，讓學生進一步體會分布的數(shù)字特征在實際中的應用.二、教學目標1、知識與技能正確理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的標準差.能根據(jù)實際問題的需

3、要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并做出合理的解釋.會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征.形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識.2、過程與方法在解決統(tǒng)計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，理解數(shù)形結合的數(shù)學思想和邏輯推理的數(shù)學方法.3、情感態(tài)度與價值觀會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題，認識統(tǒng)計的作用，能夠辨證地理解數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系.三、重點難點教學重點：根據(jù)實際問題對樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)據(jù)特征并作出合理解釋，估計總體的基本數(shù)字特征；體會樣本數(shù)字特征具有隨機性.教學難點：用樣本平均數(shù)和標準差估計總體的平均

4、數(shù)與標準差；能應用相關知識解決簡單的實際問題.四、課時安排2課時五、教學設計第1課時眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)導入新課思路1在一次射擊比賽中，甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下：甲運動員:7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙運動員:9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個運動員發(fā)揮得更穩(wěn)定些嗎？為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們要通過樣本的數(shù)據(jù)對總體的數(shù)字特征進行研究.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征.(板書課題)思路2在日常生活中，我們往往并不需要了解總體的分布形態(tài)，而是更關心總體的某一數(shù)字特征，例如：買燈泡時，我們希望知道燈泡的平均使用壽命，我

5、們怎樣了解燈泡的使用壽命呢？當然不能把所有燈泡一一測試，因為測試后燈泡則報廢了.于是，需要通過隨機抽樣，把這批燈泡的壽命看作總體，從中隨機取出若干個個體作為樣本，算出樣本的數(shù)字特征，用樣本的數(shù)字特征來估計總體的數(shù)字特征.推進新課、新知探究、提出問題什么是眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？(1)如何繪制頻率分布直方圖？(3)如何從頻率分布直方圖中估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？活動:那么學生回憶初中所學的一些統(tǒng)計知識，思考后展開討論，教師提示引導.討論結果：初中我們曾經(jīng)學過眾數(shù)(在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為眾數(shù))、中位數(shù)(在按大小順序排列的一組數(shù)據(jù)中，居于中間的數(shù)稱為中位數(shù))、平均數(shù)(一般是一組數(shù)據(jù)和的算術

6、平均數(shù))等各種數(shù)字特征，應當說，這些數(shù)字都能夠為我們提供關于樣本數(shù)據(jù)的特征信息.畫頻率分布直方圖的一般步驟為：計算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求極差；決定組距與組數(shù)；將數(shù)據(jù)分組；列頻率分布表；畫頻率分布直方圖.教材前面一節(jié)在調查100位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是2.25t（最高的矩形的中點），它告訴我們，該市的月均用水量為2.25t的居民數(shù)比月均用水量為其他值的居民數(shù)多，但它并沒有告訴我們到底多多少.請大家翻回到課本看看原來抽樣的數(shù)據(jù)，有沒有2.25這個數(shù)值呢？根據(jù)眾數(shù)的定義，2.25怎么會是眾數(shù)呢？為什么？（請大家思考作答）分析：

7、這是因為樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了，而2.25是由樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來的，所以存在一些偏差.提問：那么如何從頻率分布直方圖中估計中位數(shù)呢？分析：在樣本數(shù)據(jù)中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率分布直方圖中，矩形的面積大小正好表示頻率的大小，即中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等.由此可以估計出中位數(shù)的值為2.02.思考：2.02這個中位數(shù)的估計值，與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣，你能解釋其中的原因嗎？（原因同上：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了）來源:Z+xx+k.Com課本顯示，大部分居民的月均用水量在

8、中部（2.02t左右），但是也有少數(shù)居民的月均用水量特別高，顯然，對這部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考：中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是一個優(yōu)點，但是它對極端值的不敏感有時也會成為缺點，你能舉例說明嗎？（讓學生討論，并舉例）對極端值不敏感有利的例子：考察課本中表21中的數(shù)據(jù)，如果把最后一個數(shù)據(jù)錯寫成22，并不會對樣本中位數(shù)產(chǎn)生影響.也就是說對極端數(shù)據(jù)不敏感的方法能夠有效地預防錯誤數(shù)據(jù)的影響，而在實際應用中，人為操作的失誤經(jīng)常造成錯誤數(shù)據(jù).對極端值不敏感有弊的例子:某人具有初級計算機專業(yè)技術水平，想找一份收入好的工作，這時如果采用各個公司計算機專業(yè)技術人員收入的中位數(shù)作

9、為選擇工作的參考指標就會冒這樣的風險:很可能所選擇公司的初級計算機專業(yè)技術水平人員的收入很低，其原因是中位數(shù)對極小的數(shù)據(jù)不敏感.這里更好的方法是同時用平均工資和中位數(shù)來作為參考指標，選擇平均工資較高且中位數(shù)較大的公司就業(yè).對極端值不敏感的方法，不能反映數(shù)據(jù)中的極端情況.同樣的，可以從頻率分布直方圖中估計平均數(shù)，上圖就顯示了居民用水的平均數(shù)，它等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.由估計可知，居民的月均用水量的平均值為2.02t.顯示了居民月均用水量的平均數(shù)，它是頻率分布直方圖的“重心”.由于平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關，所以，任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改

10、變.這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質.也正因為這個原因，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關于樣本數(shù)據(jù)全體的信息.從圖上可以看出，用水量最多的幾個居民對平均數(shù)影響較大，這是因為他們的月均用水量與平均數(shù)相差太多了.利用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：估計眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點數(shù)字.（最高矩形的中點）估計中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等.估計平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.總之，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是對數(shù)據(jù)中心位置的描述，可以作為總體相應特征的估計.樣本眾數(shù)易計算，但只能表達樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信

11、息，不一定唯一；中位數(shù)僅利用了數(shù)據(jù)中排在中間數(shù)據(jù)的信息，與數(shù)據(jù)的排列位置有關；平均數(shù)受樣本中的每一個數(shù)據(jù)的影響，絕對值越大的數(shù)據(jù)，對平均數(shù)的影響也越大三者相比，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，描述了數(shù)據(jù)的平均水平，是一組數(shù)據(jù)的“重心”.（三）應用示例思路1例1若M個數(shù)的平均數(shù)是X,N個數(shù)的平均數(shù)是Y則這M+N個數(shù)的平均數(shù)是（2）如果兩組數(shù)X,x2，x“和y1，y2，yn的樣本平均數(shù)分別是x和y，那么一組數(shù)x1+y1，x2+y2，xn+y”的平均數(shù)是.活動：學生思考或交流，教師提示，根據(jù)平均數(shù)的定義得到結論.解：（1）MX+NYM+N例2某校高一年級的甲、乙兩個班級（均為50人）的語文測試成績如下（

12、總分：150分）試確定這次考試中，哪個班的語文成績更好一些甲班：1128610684100105981029410787112949499901209895119108100961151111049510811110510410711910793102981121129992102938494941009084114乙班：116951099610698108991101039498105101115104112101113961081001109810787108106103971071061111219710711412210110710711111410610410495111111110

13、分析：我們可用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)衡量這組數(shù)據(jù)的集中水平，因此，分別求出甲、乙兩個班的平均分即可解：用計算器分別求出甲班的平均分為101.1，乙班的平均分為105.4，故這次考試乙班成績要好于甲班思路2例1下面是某校學生日睡眠時間抽樣頻率分布表(單位：h),試估計該校學生的日平均睡眠時間睡眠時間人數(shù)頻率6,6.5)50.056.5,7)170.177,7.5)330.337.5,8)370.378,8.5)60.068.5,9)20.02合計1001分析：要確定這100名學生的平均睡眠時間，就必須計算其總睡眠時間，由于每組中的個體睡眠時間只是一個范圍，可以用各組區(qū)間的組中值近似地表示解法一：總睡眠

14、時間約為6.25X5+6.75X17+7.25X33+7.75X37+8.25X6+8.75X2=739(h),故平均睡眠時間約為7.39h解法二：求組中值與對應頻率之積的和6.25X0.05+6.75X0.17+7.25X0.33+7.75X0.37+8.25X0.06+8.75X0.02=7.39(h).答：估計該校學生的日平均睡眠時間約為7.39h例2某單位年收入在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之間的職工所占的比分別為10%，15%，20%，25%，1

15、5%，10%和5%，試估計該單位職工的平均年收入分析：上述百分比就是各組的頻率解：估計該單位職工的平均年收入為12500X10%+17500X15%+22500X20%+27500X25%+32500X15%+37500X10%+45000X5%=26125（元）.答：估計該單位人均年收入約為26125元（四）知能訓練從甲、乙兩個公司各隨機抽取50名員工月工資：甲公司：800800800800800100010001000100010001000100010001000100012001200120012001200120012001200120012001200120012001200120

16、012001200120012001200150015001500150015001500150020002000200020002000250025002500乙公司700700700700700700700700700700700700700700700100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010006000800010000試計算這兩個公司50名員工月工資平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，并估計

17、這兩個企業(yè)員工平均工資.答案：甲公司：員工月工資平均數(shù)1240，眾數(shù)1200，中位數(shù)1200；乙公司：員工月工資平均數(shù)1330，眾數(shù)1000，中位數(shù)1000；從總體上看乙公司員工月工資比甲公司少，原因是乙公司有幾個收入特高的員工影響了工資平均數(shù).（五）拓展提升“用數(shù)據(jù)說話”，這是我們經(jīng)?？梢月牭降囊痪湓?但是，數(shù)據(jù)有時也會被利用，從而產(chǎn)生誤導.例如，一個企業(yè)中，絕大多數(shù)是一線工人，他們的年收入可能是一萬元左右，另有一些經(jīng)理層次的人，年收入可以達到幾十萬元.這時，年收入的平均數(shù)會比中位數(shù)大得多.盡管這時中位數(shù)比平均數(shù)更合理些，但是這個企業(yè)的老板到人力市場去招聘工人時，也許更可能用平均數(shù)來回答有關

18、工資待遇方面的提問.你認為“我們單位的收入水平比別的單位高”這句話應當怎么解釋？這句話的目的是謹防利用人們對統(tǒng)計術語的模糊認識進行誤導（蒙騙）.使學生能夠正確理解在日常生活中像“我們單位的收入水平比別的單位高”這類話的模糊性，這里的“收入水平”是指員工收入數(shù)據(jù)的某個中心點，即可以是中位數(shù)、平均數(shù)或眾數(shù)，不同的解釋有不同的含義.在這里應該注意以下幾點:樣本眾數(shù)通常用來表示分類變量的中心值，容易計算，但是它只能表達樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息，通常用于描述分類變量的中心位置.中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)（即排序靠前或排序靠后的數(shù)據(jù)）的影響，容易計算，它僅利用了數(shù)據(jù)中排在中間數(shù)據(jù)的信息.當樣本數(shù)據(jù)質量比較差，即存在一