《拓?fù)鋵W(xué)》課程教學(xué)大綱

1、拓?fù)鋵W(xué)課程教學(xué)大綱一、課程概況所屬專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)開課單位：數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院課程類型:院系選修課課程代碼:07491240開課學(xué)期:5學(xué)分：3學(xué)時(shí)：51核心課程:否擬使用教材： 熊金城.點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué).高等教育出版社.2011.6.國內(nèi)(外)現(xiàn)有教材：1. 梁基華, 蔣繼光. 拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ). 高等教育出版社 2005.4.2. J.L. Kelly. 一般拓?fù)鋵W(xué). 吳從忻, 吳讓泉譯. 科學(xué)出版社 1982.學(xué)習(xí)參考資料：1. 尤承業(yè). 基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)講義. 北京師范大學(xué)出版社 1997.2. R. Engelking. General Topology. Springer-Verlag Inc.

2、 1984.二、課程描述拓?fù)鋵W(xué)是研究幾何圖形在連續(xù)變形(即拓?fù)渥儞Q)下保持不變的性質(zhì)，即拓?fù)湫再|(zhì)。目前，拓?fù)鋵W(xué)的概念、方法和理論已經(jīng)廣泛地滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)以及鄰近學(xué)科的許多領(lǐng)域，并且有了日益重要的應(yīng)用。鑒于在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)改革中已經(jīng)滲入某些拓?fù)渲R(shí)，因此無論從數(shù)學(xué)教材的現(xiàn)代化和師范性的要求來看，本課程的設(shè)置都是必要的。本課程主要介紹點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的基本概念和基礎(chǔ)理論， 注重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力以及空間想象能力。在講授此課程時(shí)，要注重本課程與相關(guān)課程（如數(shù)學(xué)分析等）之間的聯(lián)系。課程的主要內(nèi)容包括拓?fù)淇臻g和連續(xù)映射的定義及其基本性質(zhì)，構(gòu)造新的拓?fù)淇臻g的方法，各種拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，如連通性、分

3、離性、緊致性等以及這些拓?fù)洳蛔冃灾g的相互關(guān)聯(lián)，這些拓?fù)洳蛔冃缘目煞e、可遺傳等性質(zhì)。三、課程目標(biāo)1. 學(xué)生應(yīng)系統(tǒng)掌握點(diǎn)集拓?fù)涞幕局R(shí)、基本思想與基本方法。 掌握點(diǎn)集拓?fù)涞幕纠碚? 具備發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力。2. 通過本課程的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生從較高觀點(diǎn)觀察、分析已學(xué)過的數(shù)學(xué)分析、函數(shù)論和幾何學(xué)的內(nèi)容，加深對(duì)這些課程內(nèi)容的認(rèn)識(shí)與理解，并為進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)提供必要的基礎(chǔ)。 3. 培養(yǎng)學(xué)生具有高度的抽象思維能力、邏輯思維能力以及空間想象能力。四、教學(xué)要求1. 本課程研究點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的基本理論和基本方法。要求學(xué)生通過系統(tǒng)學(xué)習(xí)，掌握點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的基本知識(shí)，進(jìn)一步提高學(xué)生應(yīng)用點(diǎn)集拓?fù)涞耐评矸椒?/p>

4、分析問題的能力。從集合論入手，拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射、子空間、積空間、商空間及有關(guān)可數(shù)性的公理等，為其他學(xué)科的研究與發(fā)展提供廣泛的應(yīng)用工具。2. 注重信息教學(xué)手段在教學(xué)中的應(yīng)用，根據(jù)每節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容選擇不同的教學(xué)手段，不能將課件應(yīng)用停留在放映幻燈片，應(yīng)體現(xiàn)課件教學(xué)的演示生動(dòng)性，重實(shí)質(zhì)與效果，而并非只是形式。3. 注意探究式、研究性教學(xué)方法的廣泛應(yīng)用。不僅將探究式、研究性學(xué)習(xí)的方式用于問題提出后的解決方案、途徑、技巧的探尋，而且用于課程本身產(chǎn)生、發(fā)展的過程介紹，以及許多重要概念提出背景的還原。4. 適當(dāng)開展一些讓學(xué)生有充分準(zhǔn)備后的討論課，比如拓?fù)淇臻g與度量空間的區(qū)別與聯(lián)系，度量空間的開集、閉集與拓?fù)?/p>

5、空間中的開集、閉集的相同之處與不同之處，無限積空間的概念等。5. 作業(yè)每星期布置一次，強(qiáng)調(diào)寫作業(yè)的目的不在于完成任務(wù)，而在于對(duì)知識(shí)的充分復(fù)習(xí)與深入理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。五、考核方式及要求為實(shí)現(xiàn)課程教學(xué)目標(biāo)，本門課程考核方式及要求為：出勤率占20%，平時(shí)作業(yè)占20%，折算后計(jì)入總成績(jī)；期末考試占總成績(jī)的60%。六、課程內(nèi)容第一章：拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射（授課時(shí)間：第五學(xué)期第一周至第六周）教學(xué)目標(biāo)：本章要求學(xué)生掌握集合的一些基本概念，要比較熟練的掌握集合與映射的運(yùn)算。要求學(xué)生掌握拓?fù)淇臻g的定義、幾種典型的拓?fù)淇臻g的例子，理解鄰域、導(dǎo)集、閉集、閉包、內(nèi)部、邊界、基、子基以及拓?fù)淇臻g中序列的極限等基本概念。

6、掌握連續(xù)映射的若干等價(jià)刻畫。教學(xué)重點(diǎn)：拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射，鄰域與鄰域系，導(dǎo)集、閉集、閉包、內(nèi)部， 基與子基，拓?fù)淇臻g中序列的極限。教學(xué)難點(diǎn)：凝聚點(diǎn)，基與子基。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)18學(xué)時(shí)。 教學(xué)方法：講授法、演示法、啟發(fā)法、探究法。主要內(nèi)容：（1）樸素集合論（集合、關(guān)系、映射）；（2）度量空間的基本概念；（3） 拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射；（4）鄰域、導(dǎo)集、閉集、閉包、內(nèi)部，邊界；（5） 拓?fù)淇臻g的基和子基；（6）拓?fù)淇臻g中的序列。學(xué)習(xí)方法：研讀教材及相關(guān)文獻(xiàn)，獨(dú)立思考，小組討論，做習(xí)題。課后作業(yè)：教材第10頁練習(xí)題2；第18頁練習(xí)題5；第23頁練習(xí)題1、2；第54頁練習(xí)題2、5；第62-63頁練習(xí)題3、

7、7、10；第76頁練習(xí)題1、2；第81頁練習(xí)題6；第90頁練習(xí)題3、5、6；第94-95頁練習(xí)題1、3。第二章：子空間，有限積空間，商空間（授課時(shí)間：第五學(xué)期第七周至第八周）教學(xué)目標(biāo)：本章介紹由已知的拓?fù)淇臻g構(gòu)造新的拓?fù)淇臻g的三種慣用的方法。 要求掌握拓?fù)淇臻g及其子空間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，掌握有限積拓?fù)淇臻g及其若干拓?fù)湫再|(zhì)，了解產(chǎn)生商空間的幾何背景（莫比烏斯帶、環(huán)面及克萊因瓶等）。教學(xué)重點(diǎn)：子空間，有限積空間。教學(xué)難點(diǎn)：拓?fù)淇臻g及其子空間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，有限積空間的構(gòu)造。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)6學(xué)時(shí)。 教學(xué)方法：講授法、演示法、啟發(fā)法、探究法。主要內(nèi)容：（1）子空間；（2）有限積空間；（3）商空間（

8、簡(jiǎn)要介紹）。學(xué)習(xí)方法：研讀教材及相關(guān)文獻(xiàn)，獨(dú)立思考，小組討論，做習(xí)題。課后作業(yè)：教材第102-103頁練習(xí)題2、4、6、8；第111頁練習(xí)題4(1)(2)、5、6(1)。 第三章：連通性（授課時(shí)間：第五學(xué)期第九周至第十周）教學(xué)目標(biāo)： 掌握拓?fù)淇臻g的幾種拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)定義,包括拓?fù)洳蛔冃?、在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)以及有限可積性質(zhì)。 掌握連通空間的定義以及連通空間的若干性質(zhì)，了解連通性的某些簡(jiǎn)單的應(yīng)用（介值定理、不動(dòng)點(diǎn)定理、Boruk-Ulam定理及其高維情形），能夠用來區(qū)分一些互不同胚的空間。教學(xué)重點(diǎn)：連通空間。教學(xué)難點(diǎn)：隔離子集。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)6學(xué)時(shí)。 教學(xué)方法：講授法、啟發(fā)法、探究法、發(fā)現(xiàn)

9、法。主要內(nèi)容：（1）連通空間；（2）連通性的某些簡(jiǎn)單應(yīng)用。學(xué)習(xí)方法：研讀教材及相關(guān)文獻(xiàn)，獨(dú)立思考，小組討論，做習(xí)題。課后作業(yè)：教材第128-129頁練習(xí)題5、8、14。 第四章：有關(guān)可數(shù)性的公理（授課時(shí)間：第五學(xué)期第十一周至第十二周）教學(xué)目標(biāo)：本章要求學(xué)生掌握第一和第二可數(shù)性公理的空間的概念及其若干拓?fù)湫再|(zhì)，掌握可分空間的概念及其若干拓?fù)湫再|(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)：第一和第二可數(shù)性公理的空間，可分空間。教學(xué)難點(diǎn)：第一和第二可數(shù)性公理的空間與可分空間的內(nèi)在聯(lián)系。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)6學(xué)時(shí)。 教學(xué)方法：講授法、啟發(fā)法、探究法。主要內(nèi)容：（1）第一和第二可數(shù)性公理的空間；（2）可分空間。學(xué)習(xí)方法：研讀教材及相關(guān)文獻(xiàn)

10、，獨(dú)立思考，小組討論，做習(xí)題。課后作業(yè)：教材第155頁練習(xí)題1、4；第159-160頁練習(xí)題2、4、5第五章：分離性公理（授課時(shí)間：第五學(xué)期第十三周至第十四周）教學(xué)目標(biāo)：本章要求學(xué)生掌握空間和正則、正規(guī)空間的概念以及這些拓?fù)淇臻g之間的區(qū)別和聯(lián)系， 特別注意其中一些反例的構(gòu)造與選取。了解Urysohn引理和Tietze擴(kuò)張定理的內(nèi)容。教學(xué)重點(diǎn)：空間和正則、正規(guī)空間的概念。教學(xué)難點(diǎn)：拓?fù)淇臻g中反例的構(gòu)造。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)6學(xué)時(shí)。 教學(xué)方法：講授法、啟發(fā)法、探究法。主要內(nèi)容：（1）空間；（2）正則、正規(guī)空間，空間。學(xué)習(xí)方法：研讀教材及相關(guān)文獻(xiàn)，獨(dú)立思考，小組討論，做習(xí)題。課后作業(yè)：教材第170-171頁練習(xí)題3、6、7、9、12；第175頁練習(xí)題1。第六章：緊致性（授課時(shí)間：第五學(xué)期第十五周至第十七周）教學(xué)目標(biāo)：掌握緊致空間概念及其等價(jià)刻畫，掌握緊致子集的定義及判斷一個(gè)子集是緊致子集的方法。掌握緊致性是否是由連續(xù)映射所保持的性質(zhì)，是否是可遺傳的、有限可積的。 掌握緊致空間中各分離性公理的關(guān)系。掌握n維歐氏空間中緊致子集的性質(zhì)。 教學(xué)重點(diǎn)：緊致