近世代數(shù)課件(全)-3-3 循環(huán)環(huán)、剩余類環(huán)_第1頁
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近世代數(shù) 第三章 環(huán)與域 3 循環(huán)環(huán)、剩余類環(huán) 9/3/2021一、循環(huán)環(huán)定義1 若環(huán)關于加法是循環(huán)群，稱為循環(huán)環(huán). ，則時，（2）當時，例1 整數(shù)環(huán)是循環(huán)環(huán).定理1 若（1）當 9/3/2021定理2(1) 循環(huán)環(huán)是交換環(huán)，(2) 循環(huán)環(huán)的子環(huán)是循環(huán)環(huán)，(3) 無限階循環(huán)環(huán)的特征是無限，n階循環(huán)環(huán)的特征是n. 9/3/2021二、模m的剩余類環(huán)1. 剩余類環(huán)的構(gòu)造:,規(guī)定 ,則關于剩余類的加法與乘法構(gòu)成為大于1 的正整數(shù), 則有設一個有單位元的交換環(huán). 9/3/20212. 剩余類環(huán)的性質(zhì)定理1 設,則為的零因子(1)(2)為的可逆元證：(1)若為的零因子,則存在,使得,故.若,則,所以,矛盾.于是. 反之,如果, 設,則,所以,但,于是是零因子. 9/3/2021(2)若為的可逆元,則,即于是,使得,也就是，所以反之, 如果,則,因此,故可逆.剩余類環(huán)中非零元不是可逆元就是零因子. 9/3/2021例 2解 (1) (2) 直接計算可知,相應的逆元為全部零因子:全部可逆元:(3) 全部子環(huán):(4) 各子環(huán)特征: 9/3/2021定理2為無零因子環(huán)為素數(shù).為素數(shù)，若，則，或者，即若不是素數(shù)，則證：設為無零因子環(huán).為有零因子環(huán). 9/3/2021定理3為域為素數(shù).（有限無零因子環(huán)是除環(huán)） 9/3/2021練習： 求Z18的全部零因子

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