全等三角形拓展題-尖子生專用

1、.全等三角形綜合應(yīng)用 知識點(diǎn)：全等三角形的判定方法：角平分線的性質(zhì)與判定：例題講解2016 武漢江漢區(qū)壓軸題（本題 12 分）ABC 是等腰三角形， ABAC，AD 是ABC 的中線，以 AC 為邊作等邊 ACE，BE 分別與直線 AD、AC 交于點(diǎn) F、G，連接 CF(1) 如圖 1，若ABC、ACE 位于 AC 異側(cè)，求EFC 的度數(shù) 試判斷線段 EF、DF、AF 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由(2) 若ABC、ACE 位于 AC 同側(cè)，試完成備用圖，并直接寫出線段 EF、DF、AF 之間的數(shù)量關(guān) 系解：(1) ABAE，設(shè)ABEAEB ABAC，AD 是ABC 的中線設(shè)BADCAD又 226

2、0180，60 AFEDFC60EFC180606060 過點(diǎn) C 作 CHBE 于 HAEBAEC60，ABEBAD60 BADHEC可證：ABDEHC（AAS）HEAD易證：CFHCFD（AAS）FHDFEFFHAFDF即 EFAF2DF(3) 作圖、證明的過程一樣AFEF2DF2016 武珞路中學(xué)（本題10 分）已知等邊三角形 ABC，M 為 AB 上的一點(diǎn)，以 CM 為邊作等邊CMN， 連接 BN. 下載可編輯 .求證：AMBN作 MHBC 于 H，連接 AH若 AHMN，AM1，求 CH 的長證明 ：(1) ACMBCN（SAS） (2) 由(1)知：ACMBCN CBNMAC60

3、MBN6060120 過點(diǎn) M 作 MDBC 交 AC 于 D AMD 為等邊三角形 AMADBN，ADM60 BMCD，MDC120 在BMN 和DCM 中BM DCMBN CDMBN DMBMNDCM（SAS）BMNDCMAHMNBMNBAH DCM在BAH 和ACM 中ABH CAMAB CABAH ACMBAHACM（ASA）BHAM1BMHCMHBC，MBH60BM2BH2CH22016 武珞路中學(xué)（本題 10 分）如圖 1，已知等腰 ABC 中，ABAC，AD 為 BC 邊上的中線，以 AB 為邊向外作等邊 ABE，直線 CE 與直線 AD 交于點(diǎn) F(1) 若 AF10，DF3，

4、試求 EF 的長. 下載可編輯 .(2) 若以 AB 為邊向內(nèi)作等邊 ABE，其它條件均不改變，請用尺規(guī)作圖補(bǔ)全圖 2（保留作圖痕跡）， 找出 EF、AF、DF 三者的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：(1) 設(shè)BAD CAD，AECACE在ACE 中，2602180，60連接 BFBFDCFD60BFCF2DF6在 EC 上截取 EGCF，連接 AGAEGACF（SAS）EAGCAF，AGAFGAF60AFG 為等邊三角形EFEGGFAFFC10616(2) 尺規(guī)作圖：先作 AB 的垂直平分線，再利用半徑得到等邊 設(shè)BADCAD，ACEAECCAE1802BAE2180260，60BADBEF在

5、AF 上截取 AGEF，連接 BG可知： ABGEBF（SAS）AGEF，BGBFBFG 為等邊三角形AFAGGFBFEF2DFEF武漢二中廣雅中學(xué) 2016 （本題 12 分）在 ABC 中，ABAC，BAC（060），以線 段 BC 為邊 eq oac(,在)ABC 內(nèi)作等邊 DBC如圖 1，ABD_（用含 的式子表示）如圖 2，BCE150，ABE60，判斷 ABE 的形狀并加以證明在(2)的條件下，連接 DE，若DEC45，求 的值. 下載可編輯 .例 1、（1）在ABC 中，B=C，與ABC 全等的三角形有一個角是 130，那么ABC 中 與這個角對應(yīng)的角是（ ）A、A B、B C、

6、C D、B 或C（2）如圖 1，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他根據(jù)所學(xué)知識，畫出了一個與書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)是（ ） A、SSS B、SAS C、AAS D、ASA（3）如圖 2，AD 平分BAC，BFAD 于 D，交 AC 于 F，DEAC，BAD=30，則BDE=_例 2、如圖 3，OM 平分 AOB，AO=OB，AD 與 BC 相交于 M。求證：AC=BD例 3、如圖 4，在ABC 中，B=C，D、E、F 分別在 AB、BC、AC 上，且 BD=CE， DEF=B。求證：ED=EF. 下載可編輯 .例 4、如圖 5，ABC 中，AB=AC，點(diǎn)

7、D、E、F 分別在 BC、AB、AC 上，且 BD=CF，BE=CD，G 是 EF 的中點(diǎn)。求證：DGEF例 5、如圖 6，ABC=90，AB=BC，D 為 AC 上一點(diǎn)，分別過 C、A 作 BD 的垂線，垂足分別 為 E、F求證：EF=CE-AF例 6、如圖 7，P 為AOB 平分線上一點(diǎn)，PCOA 于 C，OAP+OBP=180，若 OC=4cm。 求 OA+OB 的值。例 7、如圖 8，ADBC，1=2，3=4，點(diǎn) E 在線段 DC 上。 求證：AD+BC=AB例 8、如圖 9，1=2，P 為 BN 上一點(diǎn)，且 PDBC 于 D，AB+BC=2BD。 求證：BPA+BCP=180. 下載

8、可編輯 .鞏固：1、如圖，點(diǎn) P 為AEF 外一點(diǎn)，PA 平分EAF，PDEF 于 D，DE=DF，PBAE 于 B。 求證：AF-AB=BE2、如圖，在四邊形 ABCD 中，AB=AD，CA 平分BCD，AEBC 于 E，AFCD 交 CD 延長線于 F 求證：BE=DF3、如圖，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=，AD、BE 交于點(diǎn) H，連 CH。求證：ACDBCE；求證：CH 平分AHE；求CHE 的度數(shù)（用含 的式子表示）4、如圖（1），在ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是過點(diǎn) A 的一條直線，且點(diǎn) B、C 在 AE 的異側(cè)，BDAE 于 D，CEAE 于 E試說明：

9、BD=DE+CE若直線 AE 繞 A 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時（BDCE），其余條件不變，問 BD 與 DE、CE 的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果；若直線 AE 繞 A 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（3）位置時（BDCE），其余條件不變，問 BD 與 DE、CE 的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需說明理由5、如圖，在ABC 和ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90. 下載可編輯 .當(dāng)點(diǎn) D 在 AC 上時，如圖 1，線段 BD、CE 有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你 猜想的結(jié)論；將圖 1 中的ADE 繞點(diǎn) A 順時針旋轉(zhuǎn)角（090），如圖 2，線段 BD、CE 有 怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說

10、明理由6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)A 為 y 軸正半軸上一動點(diǎn)，過 B 點(diǎn)作BCAB 交 x 軸的正半軸于點(diǎn) C。求證：BA=BC；當(dāng)點(diǎn) A 運(yùn)動時，OA+OC 的值是否發(fā)生變化，若不變，求其值；若發(fā)生變化，求變化范圍7、已知四邊形 ABCD 中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊 分別交 AD，DC（或它們的延長線）于 E，F(xiàn)當(dāng)MBN 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 AE=CF 時（如圖 1），求證 AE+CF=EF；當(dāng)MBN 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 AECF 時，在圖 2 和圖 3 這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？ 若成立，請給予證明；若

11、不成立，線段 AE，CF，EF 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想， 并證明. 下載可編輯 .8、已知：如圖，ABC 中，ABC=45，CDAB 于 D，BE 平分ABC，且 BEAC 于 E，與 CD 相交于點(diǎn) F，H 是 BC 邊的中點(diǎn)，連接 DH 與 BE 相交于點(diǎn) G（1）求證：BF=AC；（2）求證：CE=BF；（3）若把題目中“BE 平分ABC”改為“BE 平分線段 DC”， 其他條件不變，連接 HF求證：HF=AD9、直線 CD 經(jīng)過BCA 的頂點(diǎn) C，CA=CBE、F 分別是直線 CD 上兩點(diǎn)，且BEC=CFA= （1）若直線 CD 經(jīng)過BCA 的內(nèi)部，且 E、F 在射線 CD

12、 上，請解決下面兩個問題：如圖 1，若BCA=90，=90，則 EF_ |BE-AF|（填“”，“”或“=”號）； 如圖 2，若 0BCA180，若使中的結(jié)論仍然成立，則與BCA 應(yīng)滿足的關(guān)系是_ ；（2）如圖 3，若直線 CD 經(jīng)過BCA 的外部，=BCA，請?zhí)骄?EF、與 BE、AF 三條線段 的數(shù)量關(guān)系，并給予證明第十一講：全等三角形綜合二知識點(diǎn)：全等三角形的判定及性質(zhì)：角平分線的性質(zhì)與判定：常用輔助線：例題講解例 1、如圖，在 eq oac(,Rt)ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，AE 平分BAC，交 CD 于 K，交 BC 于 E，F(xiàn) 是 BE 上一點(diǎn)，且 BF=CE，求

13、證：FKAB例 2、如圖 1，ABC 中，BAC=90，BA=AC，D 為 AC 的中點(diǎn)，連 BD，過 A 點(diǎn)作 AEBD 于 E 點(diǎn)，交 BC 于 F 點(diǎn)，連 DF，求證：ADB= CDF若 D，M 為 AC 上的三等分點(diǎn)，如圖 2，連 BD，過 A 作 AEBD 于點(diǎn) E，交 BC 于點(diǎn) F，連. 下載可編輯 .MF，判斷ADB 與CMF 的大小關(guān)系并證明例 3、如圖，在ABC 中，C=90，M 為 AB 的中點(diǎn)，DMAB，CD 平分ACB， 求證：MD=AM例 4、在ABC 中，ACB 為銳角，動點(diǎn) D（異于點(diǎn) B）在射線 BC 上，連接 AD，以 AD 為邊在 AD 的右側(cè)作正方形 A

14、DEF，連接 CF（1）若 AB=AC，BAC=90那么如圖一，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 上時，線段 CF 與 BD 之間的位置、大小關(guān)系是_ （直 接寫出結(jié)論）如圖二，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 的延長上時，中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由 （2）若 ABAC，BAC90點(diǎn) D 在線段 BC 上，那么當(dāng)ACB 等于多少度時？線段 CF 與 BD 之間的位置關(guān)系仍然成立請畫出相應(yīng)圖形，并說明理由例 5、如圖所示，已知 A，B 為直線 l 上兩點(diǎn)，點(diǎn) C 為直線 l 上方一動點(diǎn)，連接 AC、BC， 分別以 AC、BC 為直角邊向ABC 外作等腰直角CAD 和等腰直角CBE，滿足CAD=. 下載可編輯

15、.CBE=90，過點(diǎn) D 作 DD l 于點(diǎn) D ，過點(diǎn) E 作 EE l 于點(diǎn) E 1 1 1 1（1）如圖，當(dāng)點(diǎn) E 恰好在直線 l 上時，試說明 DD =AB；1（2）在圖中，當(dāng) D，E 兩點(diǎn)都在直線 l 的上方時，試探求三條線段 DD ，EE ，AB 之間的1 1數(shù)量關(guān)系，并說明理由例 6、如圖 1，已知點(diǎn) A（a，0），點(diǎn)B（0，b），且a、b 滿足a 4 4 b 0求 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若點(diǎn) C 是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且OCB=45，過點(diǎn) A 作 ADOC 于點(diǎn) F，求證：FA=FC； （3）如圖 2，若點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（0，1），過點(diǎn) A 作 AEAD，且 AE=AD，連接 BE

16、交 x 軸于點(diǎn) G，求 G 點(diǎn)的坐標(biāo)鞏固：1、如圖，已知BAC=90，ADBC 于點(diǎn) D，1=2，EFBC 交 AC 于點(diǎn) F試說明 AE=CF2、如圖，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F （1）說明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=5，AC=3，求 AE、BE 的長. 下載可編輯 .3、如圖，ABC 中，AC=2AB，AD 平分BAC 交 BC 于 D，E 是 AD 上一點(diǎn)，且 EA=EC。 求證：EBAB4、如圖，在ABC 中，ACB=90，P 為 AC 上一點(diǎn)，PQAB 于 Q，AMAB 交 BP 的延長線 于 M，MNAC 于

17、 N，AQ=MN求證：AP=AM；求證：PC=AN5、如圖，ABC 內(nèi)，BAC=60，ACB=40，P，Q 分別在 BC，CA 上，并且 AP，BQ 分別 是BAC，ABC 的平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP6、將兩個全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按圖（1）方式擺放，其中ACB=DEB=90， A=D=30，點(diǎn) E 落在 AB 上，DE 所在直線交 AC 所在直線于點(diǎn) F求證：CF=EF；若將圖（1）中的DBE 繞點(diǎn) B 按順時針方向旋轉(zhuǎn)角 a，且 0a60，其他條件不 變，如圖（2）請你直接寫出 AF+EF 與 DE 的大小關(guān)系：AF+EF_ DE（填“”或“=” 或“”）若將圖

18、（1）中DBE 的繞點(diǎn) B 按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，且 60180，其他條 件不變，如圖（3）請你寫出此時 AF、EF 與 DE 之間的關(guān)系，并加以證明. 下載可編輯 .7、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) eq oac(,，)ABC 的三點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A（0，5），B （-5，0），C（2，0），BDAC 于 D 且交 y 軸于 E，連接 CE（1）求ABC 的面積；（2）求OEAE的值及ACE 的面積8、如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A（4，4），點(diǎn)B、C 分別在 x 軸、y 軸的正半軸上，S 四邊形 OBAC=16COA 的值為_ ；求CAB 的度數(shù)；如圖 2，點(diǎn) M、N 分

19、別是 x 軸正半軸及射線 OA 上一點(diǎn)，且 OHMN 的延長線于 H，滿足 HON=NMO，請?zhí)骄績蓷l線段 MN、OH 之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明9、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A（2，0），點(diǎn)B（0，3）和點(diǎn) C（0.2）；請寫出 OB 的長度：OB=_ ；如圖：若點(diǎn) D 在 x 軸上，且點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（-3，0），求證 eq oac(,：)AOBeq oac(,；)COD若點(diǎn) D 在第二象限，且AOBeq oac(,，)COD 則這時點(diǎn) D 的坐標(biāo)是_ （直接寫答案）. 下載可編輯 .10、已知，在ABC 中，CA=CB，CA、CB 的垂直平分線的交點(diǎn) O 在 AB 上，M、N 分別在直線

20、AC、BC 上，MON=A=45如圖 1，若點(diǎn) M、N 分別在邊 AC、BC 上，求證：CN+MN=AM；如圖 2，若點(diǎn) M 在邊 AC 上，點(diǎn) N 在 BC 邊的延長線上，試猜想 CN、MN、AM 之間的數(shù)量 關(guān)系，請寫出你的結(jié)論（不要求證明）11、（1）如圖1，以ABC 的邊 AB、AC 為邊分別向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，連接 EG， 試判斷ABC 與AEG 面積之間的關(guān)系，并說明理由（2）園林小路，曲徑通幽，如圖 2 所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪 成已知中間的所有正方形的面積之和是 a 平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是 b 平方 米，這條小路一共

21、占地多少平方米12、如圖，將兩個全等的直角三角形eq oac(,、)ABD ACE 拼在一起（圖 1）ABD 不動，（1）若將ACE 繞點(diǎn) A 逆時針旋轉(zhuǎn)，連接 DE，M 是 DE 的中點(diǎn)，連接 MB、MC（圖 2），證明：. 下載可編輯 .MB=MC若將圖 1 中的 CE 向上平移，CAE 不變，連接 DE，M 是 DE 的中點(diǎn)，連接 MB、MC（圖 3），判斷并直接寫出 MB、MC 的數(shù)量關(guān)系在（2）中，若CAE 的大小改變（圖 4），其他條件不變，則（2）中的 MB、MC 的數(shù)量 關(guān)系還成立嗎？說明理由13、如圖 eq oac(,，)ABC 中，D 是 BC 的中點(diǎn)，過點(diǎn) D 的直線 M

22、N 交 AC 于 N，交 AC 的平行線 BM 于 M， PDMN，交 AB 于點(diǎn) P，連接 PM、PN求證：BM=CN；請你判斷 BP+CN 與 PN 的在數(shù)量上有何關(guān)系，并說明你的理由14、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A（m，0）、B（0，n），且m n 3 2n 6 0，點(diǎn) P 從 A 出發(fā)，以每秒 1 個單位的速度沿射線 AO勻速運(yùn)動，設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動時間為 t 秒求 OA、OB 的長；連接 PB，若POB 的面積不大于 3 且不等于 0，求 t 的范圍；過 P 作直線 AB 的垂線，垂足為 D，直線 PD 與 y 軸交于點(diǎn) E，在點(diǎn) P 運(yùn)動的過程

23、中，是 否存在這樣的點(diǎn) P，使EOPeq oac(,？)AOB 若存在，請求出 t 的值；若不存在，請說明理由等腰三角形小結(jié). 下載可編輯 .一、構(gòu)造等腰三角形例 1 如圖，在等腰 eq oac(,Rt)ABC 中，BAC=90，AB=AC，AD=AE，AFBE 交 BC 于 F，F(xiàn)GCD 交 AC 于 H，交 BE 的延長線于 G求證：GE=GH；問 BG、AF、FG 有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論練習(xí)1等邊ABC 中，點(diǎn) 0 為 AC、BC 兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，點(diǎn) P 為 AB 上一動點(diǎn)，PEAC 交 BC 于 E，點(diǎn) F 為 AC 上一點(diǎn)，且 CF=PE，連 OF、EF，求OFE 的度數(shù)二

24、、運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)例 2 已知 RtABC.中，AC=BC，C= 90，D 為 AB 中點(diǎn)，EDF=90，EDF 繞 D 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)， 它的兩邊分別交 AC、CB（或它們的延長線）于 E、F圖圖圖(1)當(dāng)EDF 繞 D 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 DEAC 于 E（如圖）時，顯然 =eq oac(,S)DEF eq oac(,+S)CEFS .當(dāng)EDF 繞 D ABC點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 DE 和 AC 不垂直時（如圖） eq oac(,、S)eq oac(, )三者之間的數(shù)量關(guān)系是什么？eq oac(,，S)DEF eq oac(,、S)CEF ABC證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)EDF 繞 D 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，請直接寫

25、出 、S 之間的數(shù)量關(guān)eq oac(,S)DEF eq oac(,、S)CEF eq oac(,C)AB系是 （不必證明）練習(xí)2如圖，ABC 中，A=90AB=AC，D 為 AC 中點(diǎn)，AEBD 于 E，延長 AE 交 BC 于點(diǎn) F. 下載可編輯 .求證：ADB=CDF.3 eq oac(,)ABC 中，過 BC 邊的中點(diǎn) D 作直線交 AB 于 E交 CA 的延長線于 F，使 AE=AF.求證：BE=CF.三、角平分線與等腰三角形例 3 如圖，ABCD，BE、CE 分別平分ABC、DCB.求證：AB+CD=BC.練習(xí)4如圖 eq oac(,，)ABC 中，A=90，AB=AC，BD 平分A

26、BC 交 AC 于 D，CEBD 交 BD 延長線于 E(1)求證：CE=BD；(2)求AEB 的度數(shù)5如圖，在ABC 中，M 為 BC 邊中點(diǎn)，AD 為BAC 的平分線，MFAD 交 AD 延長線于 F，交1AB 于 E求證：BE= (AB-AC)2四、構(gòu)造等邊三角形例 4 如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，OA=OB=OC=2，點(diǎn) P 從 C 點(diǎn)出發(fā)沿 y 軸正方向以 1 個. 下載可編輯 .單位秒的速度向上運(yùn)動，連接 PA、PB，D 為 AC 的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動的時間為 t 秒，問：當(dāng) t 為何值時，DP 與 DB 垂直且相等；若 PA=AB，在第一象限內(nèi)有一動點(diǎn) Q，連 QA、QB、QP

27、，且PQA=60，問：當(dāng) Q 在 第一象限內(nèi)運(yùn)動時，APQ+ABQ 的度數(shù)和是否會發(fā)生改變？若不改變，請說明理 由并求這個不變的值.圖圖練習(xí)6如圖，A（O，-1），A、C 關(guān)于 x 軸對稱，AB=2，EFBC，交 AB 的延長線于 E 點(diǎn)，交 y 軸于 F 點(diǎn)求AEF；如圖，將AEF 繞 A 點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)交 BC 延長線于 D 點(diǎn)，當(dāng) D(m，2)時，問 AM+DH 大 小是否變化并證明圖圖. 下載可編輯 .全等三角形中常見輔助線的作法常見輔助線的作法有以下幾種：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等 變換中的“對折”遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與

28、原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用 的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的 “平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作 法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的

29、知識解答一、倍長中線（線段）造全等例 1、（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線 AD 的取值范圍是_.AB D C例 2、如圖，ABC 中，E、F 分別在 AB、AC 上，DEDF，D 是中點(diǎn)，試比較 BE+CF 與 EF 的大小.AEBDFC. 下載可編輯 .ABC.例 3、如圖，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中點(diǎn)，求證：AD 平分BAE.BAD E C應(yīng)用：1、（09崇文二模）以ABC 的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt ABD 和等腰Rt ACE ，BAD CAE 90 , 量關(guān)系連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究：AM與DE的位置

30、關(guān)系及數(shù)（1）如圖 當(dāng) 為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰Rt ABD 繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn) (0 AD+AE. AB D E C. 下載可編輯 .四、借助角平分線造全等例 1、如圖，已知在ABC 中，B=60 eq oac(,，)ABC 的角平分線 AD,CE 相交于點(diǎn) O，求證：OE=ODAEOBDC例 2、如圖，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.（1）說明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE 的長.ABEGCFD應(yīng)用：1、如圖，OP 是MON

31、的平分線，請你利用該圖形畫一對以 OP 所在直線為對稱軸的全等三 角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：如圖，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分別是BAC、BCA 的 平分線，AD、CE 相交于點(diǎn) F。請你判斷并寫出 FE 與 FD 之間的數(shù)量關(guān)系；如圖，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你 在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。BMBOPEF DEFD圖NA圖CA圖C(第 23 題圖). 下載可編輯 .五、旋轉(zhuǎn)例 1、正方形 ABCD 中，E 為 BC 上的一點(diǎn)，F(xiàn) 為 CD 上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF 的度數(shù).A DFBEC例 2 、D 為等腰RtABC斜邊 AB 的中點(diǎn)，DMDN,DM,DN 分別交 BC,CA 于點(diǎn) E,F。（1） 當(dāng) MDN 繞點(diǎn) D 轉(zhuǎn)動時，求證 DE=DF。 （2） 若 AB=2，求四邊形 DECF 的面積。BA