課標備戰(zhàn)高考數(shù)學二輪復(fù)習難點21利用導(dǎo)數(shù)探求參數(shù)的范圍問題教學案理2

1、學習資料匯編利用導(dǎo)數(shù)研究參數(shù)的范圍問題利用導(dǎo)數(shù)研究參數(shù)的取值范圍是高考觀察的要點和熱門，因為導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學的基礎(chǔ)，關(guān)于中學生來說運算量大、思想密度強、解題方法靈巧、綜合性高等特色，成為每年高考的壓軸題，所以也是學生感覺頭疼和茫然的一種類題，究其原由，其一，基礎(chǔ)知識掌握不夠到位（導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用），其二，沒有形成詳盡的解題格式和套路，從而以致學生產(chǎn)生害怕心理，成為考試一大阻礙，本文就高中階段該類題型和相應(yīng)的對策加以總結(jié).與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題函數(shù)f(x)的零點，即f(x)0的根，亦即函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點橫坐標，與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題，常常利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和

2、極值點，并結(jié)合特別點，從而判斷函數(shù)的大體圖像，談?wù)撈鋱D象與x軸的地址關(guān)系（也許轉(zhuǎn)變成兩個熟習函數(shù)交點問題），從而確立參數(shù)的取值范圍例1【2018安徽阜陽一中二模】已知函數(shù)為常數(shù)，.（1）當在處獲得極值時，若關(guān)于的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，務(wù)實數(shù)的取值范圍.（2）若對任意的，總存在，使不等式成立，務(wù)實數(shù)的取值范圍.思路分析：（1）對函數(shù)，令，可得的值，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，而后求得的最值，即可獲取的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出在上的最大值，則問題等價于對對任意，不等式成立，而后構(gòu)造新函數(shù)，再對求導(dǎo)，而后談?wù)?，得出的單調(diào)性，即可求出的取值范圍.金戈出品評論：本題主要觀察函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問

3、題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強，難度較大，屬于難.在辦理導(dǎo)數(shù)大題時，注意分層得分的原則，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性時，比較簡單下手，求導(dǎo)后含參數(shù)的問題注意分類談?wù)?，關(guān)于恒成立的問題，一般要構(gòu)造新函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性及最值，涉及到的技巧許多，需多加領(lǐng)悟.與曲線的切線有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題函數(shù)yf(x)在點xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是相應(yīng)曲線在點(x0,f(x0)處切線的斜率，即kf(x0)，此類試題能與切斜角的范圍，切線斜率范圍，以及與其余知識綜合，常常先求導(dǎo)數(shù)，而后轉(zhuǎn)變成關(guān)于自變量x0的函數(shù)，經(jīng)過求值域，從而獲取切線斜率k的取值范圍，也許切斜角范圍問題例2.已知函數(shù)fxexax2bx.

4、（1）當a0，b1時，求fx的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)fx在點Pt，ft0t1處的切線為l，直線l與y軸訂交于點Q，若點Q的縱坐標恒小金戈出品于1，務(wù)實數(shù)a的取值范圍.思路分析：（）先明確函數(shù)定義域，再求函數(shù)導(dǎo)數(shù)fxex1，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點進行分類談?wù)摚寒攛，0時，fx0，所以減區(qū)間為，0，當x0，時，fx0遞加區(qū)間為，遞減區(qū)間為0，（）依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線的斜率kftet2atb，再依據(jù)點斜式寫出切線方程yetat2btet2atbxt，得點Q的縱坐標y1tetat20t1，即不等式1tetat21恒成立，而不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)變成對應(yīng)函數(shù)最值問題：a(1t)et1,0t1的t2t1,最大

5、值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y(1t)e0t1單調(diào)性，為單調(diào)遞減，再利用洛必達法規(guī)得t2x0,y(1t)et1et11，也可直接構(gòu)造差函數(shù)，分類談?wù)撟钪颠M行求解t22，所以a22e時，et2a0，所以，當t0，1時，gt0，即gt在0，1上單調(diào)遞減，所以即a2gtg00，所以aee2aea12a1，不滿足題意.若1，即時，0ln222則t、gt、gt的關(guān)系以下表：t0，ln2aln2aln2a，1gt0gt遞減極小值遞加所以gln2ag00e1不滿足題意，結(jié)合，可得，當a1，所以a時，222金戈出品gt00t1時，此時點Q的縱坐標恒小于1.評論：該題觀察導(dǎo)數(shù)的幾何意義、斜率的定義等基礎(chǔ)知識，觀察學生基

6、本運算能力、靈巧運用導(dǎo)數(shù)知識處理問題的能力，需要注意的是解決問題的門路是將存在問題轉(zhuǎn)變成方程有解問題.利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，第一要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分別變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)變成函數(shù)的最值問題與不等式恒成立問題有關(guān)的參數(shù)范圍問題含參數(shù)的不等式f(x)g(x)恒成立的辦理方法：yf(x)的圖象永久落在yg(x)圖象的上方；構(gòu)造函數(shù)法，一般構(gòu)造F(x)f(x)g(x)，F(xiàn)(x)min0；參變分別法，將不等式等價變形為ah(x)，或ah(x)，從而轉(zhuǎn)變成求函數(shù)h(x)的最值.3.1參變分別法將已知

7、恒成立的不等式由等價原理把參數(shù)和變量分別開，轉(zhuǎn)變成一個已知函數(shù)的最值問題辦理，要點是搞清楚哪個是變量哪個是參數(shù)，一般依據(jù)“知道誰的范圍，誰是變量；求誰的范圍，誰是參數(shù)”的原則例3【安徽省淮南市2018屆第四次聯(lián)考】已知函數(shù)fxexax33x6aR（e為自然對數(shù)的底數(shù)）（）若函數(shù)fx的圖像在x1處的切線與直線xy0垂直，求a的值；（）對x0,4總有fx0成立，務(wù)實數(shù)a的取值范圍思路分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)fx的圖像在x1處的切線與直線xy0垂直可得f11，從而求出a的值；（II）對x0,4總有fx0成立，等價于對x0,43x6上恒成立，設(shè)?a3xgx3x6x0,3時，gx為增函數(shù)，x3

8、，只需agxmin即可，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得x3,4時，gx為減函數(shù)，從而gxg3，從而可求出a的范圍.金戈出品綜合性較高，需要具備優(yōu)異的數(shù)學素質(zhì)，第二問中參變分別時，要考慮符號利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法(1)分別參數(shù)法：將原不等式分別參數(shù)，轉(zhuǎn)變成不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值，依據(jù)要求得所求范圍.一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可.(2)函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)變成某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，而后成立不等式求解.3.2構(gòu)造函數(shù)法參變分別后固然轉(zhuǎn)變成一個已知

9、函數(shù)的最值問題，但是有些函數(shù)分析式復(fù)雜，利用導(dǎo)數(shù)知識沒法完成，也許是不易參變分別，故可利用構(gòu)造函數(shù)法例4已知函數(shù)f(x)1x22axlnx(aR)，x(1,).2（1）若函數(shù)f(x)有且只有一個極值點，務(wù)實數(shù)a的取值范圍；（2）關(guān)于函數(shù)f(x)，f1(x)，f2(x)，若關(guān)于區(qū)間D上的任意一個x，都有f1(x)f(x)f2(x)，則稱函數(shù)f(x)是函數(shù)f1(x)，f2(x)在區(qū)間D上的一個“分界函數(shù)”.已知f1(x)(1a2)lnx，f2(x)(1a)x2，問能否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)是函數(shù)f1(x)，f2(x)在區(qū)間(1,)上的一個“分界函數(shù)”？若存在，務(wù)實數(shù)a的取值范圍；若不存在，說

10、明原由.思路分析：（）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)：，再依據(jù)函數(shù)f(x)有且只有一個極值點，得在區(qū)間上有且只有一個零點，最后結(jié)合二次函數(shù)實根分布得，金戈出品解得實數(shù)的取值范圍是；（）由題意合適時，恒成立，且恒成立，即問題為恒成立問題，解決方法為轉(zhuǎn)變成對應(yīng)函數(shù)最值問題：記，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)變化規(guī)律，確立其最大值：當時，單調(diào)遞減，最大值為，由，解得；當時，最大值為正無量大，即在區(qū)間上不恒成立，同理記，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)變化規(guī)律，確立其最小值：因為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞加，其最小值為，得.評論：本題主要觀察導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)單調(diào)性，極值和最值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合觀察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用屬難題.解題時要熟練應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究

11、函數(shù)的性質(zhì)的一般方法，包含構(gòu)造新函數(shù)，分別變量，以及求極值、最值等.金戈出品與函數(shù)單調(diào)區(qū)間有關(guān)的參數(shù)范圍問題若函數(shù)f(x)在某一個區(qū)間D可導(dǎo)，f(x)0函數(shù)f(x)在區(qū)間D單調(diào)遞加；f(x)0函數(shù)f(x)在區(qū)間D單調(diào)遞減.若函數(shù)f(x)在某一個區(qū)間D可導(dǎo)，且函數(shù)f(x)在區(qū)間D單調(diào)遞加f(x)0恒成立；函數(shù)f(x)在區(qū)間D單調(diào)遞減f(x)0恒成立.4.1參數(shù)在函數(shù)分析式中轉(zhuǎn)變成f(x)0恒成立和f(x)0恒成立問題后，利用恒成立問題的解題方法辦理例5.【2018遼寧莊河兩校聯(lián)考】已知函數(shù)（且）（）若為定義域上的增函數(shù)，務(wù)實數(shù)的取值范圍；（）令，設(shè)函數(shù)，且，求證：思路分析：()利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)

12、的單調(diào)性，將原問題轉(zhuǎn)變成恒成立的問題，談?wù)摽傻脤崝?shù)的取值范圍是；()由題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性談?wù)摵瘮?shù)g(x)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的零點性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論.金戈出品評論：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，假如f(x)0，則yf(x)在該區(qū)間為增函數(shù)；假如f(x)0，則yf(x)在該區(qū)間為減函數(shù).(2)函數(shù)單調(diào)性問題包含：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，常常經(jīng)過求導(dǎo)，轉(zhuǎn)變成解方程或不等式，常用到分類談?wù)撍枷?；利用單調(diào)性證明不等式或比較大小，常用構(gòu)造函數(shù)法.4.2參數(shù)在定義域中函數(shù)分析式確立，故可先確立其單調(diào)區(qū)間，而后讓所給定義域區(qū)間包含在單調(diào)區(qū)間中.例6.已知函數(shù)f(

13、x)alnx，曲線f(x)alnx在點(e,f(e)處的切線與直線e2xye0垂直.xx注：e為自然對數(shù)的底數(shù).1f(x)在區(qū)間(m,m1)上存在極值，務(wù)實數(shù)m的取值范圍；（）若函數(shù)（2）求證：當x1時，f(x)(x2ex1.e11)(xex1)思路分析：(1)求函數(shù)alnx的導(dǎo)數(shù)falnxf(x)x(x)，由曲線f(x)在點(e,f(e)處的切線與直線x金戈出品2ye0垂直可得f(e)1lnx(x0)，談?wù)搶?dǎo)數(shù)的符號知函ex2，可求出a的值，這時f(x)x2e數(shù)f(x)僅當x1時，獲得極值，由1(m,m1)即可務(wù)實數(shù)m的取值范圍；（2）當x1時，f(x)2ex11(x1)(lnx1)2ex1

14、(x1)(lnx1)2ex1，e1(x1)(xex1)e1x令g(x)x，令h(x)xexxex11g(x)h(x)max證之即可.由1emin所以當x1時，h(x)2，所以g(x)h(x)，即f(x)2ex1.e1e1e1(x1)(xex1)評論：本題觀察了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，理解單調(diào)性的看法是解題要點.與邏輯有關(guān)的參數(shù)范圍問題新課程增添了全稱量詞和特稱量詞應(yīng)用這一知識點，而且在考試卷中凡是出現(xiàn)，使得恒成立問題花式推陳出新，別有一番風味，解決的要點是弄懂量詞的特定含義.金戈出品2x，0 x2axex7e2例7.已知函數(shù)fx1在x2處的切線斜率為.x，x02b（1）務(wù)實數(shù)a的值；

15、（2）若x0時，yfxm有兩個零點，務(wù)實數(shù)m的取值范圍.（3）設(shè)gxlnxb，若關(guān)于x10，3，總有x21，e，使得fx1gx2，fx2ee2.71828務(wù)實數(shù)b的取值范圍.思路分析：（1）依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得f27e2，所以求導(dǎo)數(shù)fxexx222ax2a列出等量關(guān)2系，求解得a3fxx2x單調(diào)變化趨向：在0，1單調(diào)遞減，在1，（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)2axe4單調(diào)遞加，再考慮端點值：f0f30,f()，所以要有兩個零點，需me，0（3）不等22式恒成立問題，一般方法為轉(zhuǎn)變成對應(yīng)函數(shù)最值：fxmingx，由前面談?wù)摽芍猣xf1emin，2所以gxlnxbblnxe1，e有解，即be1lnxlnx的最大值，先求y12在x21x，fxxe1x1，e最大值，而=利用導(dǎo)數(shù)易得x1時y1lnx1e，即bexex取最大值21ee金戈出品綜合上述五各種類，利用導(dǎo)數(shù)求解含參問題時，第一具備必需的基礎(chǔ)知識（導(dǎo)