結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)2分析

1、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)(new)2分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)(new)2分析27/27結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)(new)2分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)1.1無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)在研究振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，常常把詳盡的振動(dòng)系統(tǒng)抽象為振動(dòng)模型。結(jié)構(gòu)發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，確立其所有質(zhì)量地址所需的獨(dú)立幾何參變量的數(shù)目，稱(chēng)為系統(tǒng)的自由度。單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題在工程上是常有的。比方，基礎(chǔ)與地基之間的彈性支承（圖1.11a），當(dāng)只考慮鉛直方向的振動(dòng)時(shí)，就是單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。又如，圖1.11b所示的鋼架，假設(shè)橫梁為剛體，則在考慮橫梁的水平振動(dòng)時(shí)也屬于單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。這些單自由度系統(tǒng)，可以很方便地用圖1.12所示的數(shù)學(xué)模型來(lái)描繪，它包含

2、以下單元：(a)(b)圖1.11(a)(b)圖1.12單自由度系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的兩種表示（1）質(zhì)量塊m，用來(lái)表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和慣性特征；（2）彈簧系數(shù)k，用來(lái)表示結(jié)構(gòu)的彈性回復(fù)力和勢(shì)能；（3）阻尼器c，用來(lái)表示結(jié)構(gòu)的摩擦特征和能量消耗；（4）激勵(lì)荷載Ft，用來(lái)表示作用于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)上的外力，力Ft平?？蓪?xiě)成時(shí)間函1數(shù)的形式。利用牛頓運(yùn)動(dòng)第二定律Fma也許達(dá)朗貝爾原理（該原理表示，把慣性力作為附帶的虛假力，可使系統(tǒng)處于動(dòng)力均衡狀態(tài)。）獲取無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：myky0（1.1-1）令2k/m，運(yùn)動(dòng)微分方程式（1.1-1）成為：y2y0（1.1-2）這是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其通解為

3、：yc1costc2sint（1.1-3）上式中c1，c2為積分常數(shù)，由物體運(yùn)動(dòng)的初始條件t0時(shí)，yy0，vv0來(lái)確立：c1y0，c2v0/，將c1和c2帶入式（1.1-3），獲取：yy0costv0/sint（1.1-4）或等價(jià)寫(xiě)成：yCsint（1.1-5）此中：Cy02v0/2，tany0/v0（1.1-6）式（1.1-4）或（1.1-5）即為無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程。下邊簡(jiǎn)述自由振動(dòng)的特征。1.振幅和初位相式（1.1-5）中C為自由振動(dòng)的振幅；角（t）為相位，此中為初相位。由（1.）式可知，自由振動(dòng)的振幅和初位相與物體運(yùn)動(dòng)的初步條件y0,v0、物體的質(zhì)量m和1-6彈簧的剛度系數(shù)k相

4、關(guān)。2.周期和頻率從式（1.1-4）或（1.1-5）可以看出，由該式所描繪的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，所以也是周期性運(yùn)動(dòng)，即可以用同一頻率的正弦或余弦函數(shù)來(lái)表示。物體振動(dòng)一次所需的時(shí)間稱(chēng)為周期，以T表示：222（1.1-7）Tm/k周期T的常用單位是秒。每秒內(nèi)物體振動(dòng)的次數(shù)稱(chēng)為頻率，以f表示，常用單位是赫茲（Hz）。頻率與周期的關(guān)系為：1.8）f（11-T2.8）式得：2f，可見(jiàn)，是2秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)，稱(chēng)為圓頻率，它的單位由（11-是弧度秒（注：在一些書(shū)中常把圓頻率的單位簡(jiǎn)寫(xiě)成為1秒）。從上述關(guān)系式可以看出，系統(tǒng)自由振動(dòng)的周期、頻率或圓頻率與運(yùn)動(dòng)的初步條件無(wú)關(guān)，而只與系統(tǒng)的質(zhì)量m和剛度系數(shù)k相關(guān)，即與系統(tǒng)

5、的慣性及彈性相關(guān)。因?yàn)橘|(zhì)量m和剛度系數(shù)k是振動(dòng)系統(tǒng)自己所固有的特征，所以自由振動(dòng)的圓頻率也稱(chēng)為固有頻率。如欲降低振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率，可減小彈簧的剛度系數(shù)或加大物體的質(zhì)量。1.2有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)前面談?wù)摰淖杂烧駝?dòng)，其振幅一直不變，振動(dòng)能連續(xù)進(jìn)行而永不斷止。但實(shí)質(zhì)上這類(lèi)狀況是不存在的。因?yàn)橄到y(tǒng)振動(dòng)時(shí)必然要遇到阻力的影響，從而使它的振幅逐漸衰減，以致停止振動(dòng)。阻尼有各種不一樣的形式，比方，粘滯阻尼（空氣、水或油質(zhì)等流體介質(zhì)的阻尼），干摩擦（物體于其余固體之間的摩擦）和資料的內(nèi)摩擦等。這里我們只談?wù)撜硿枘?，因?yàn)樵诤枚酄顩r下，粘滯阻尼的假設(shè)是真實(shí)的，但是，粘滯阻尼的假設(shè)卻常常忽視了系統(tǒng)的實(shí)

6、際耗散特征。這類(lèi)方法之所以獲取這樣廣泛應(yīng)用，主若是因?yàn)樗梢垣@取一種相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)分析方法。假如物體在流質(zhì)介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)的速度不大，阻尼力近似地與速度的一次方成正比，這類(lèi)阻尼稱(chēng)為線性阻尼。假設(shè)把一結(jié)構(gòu)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為如圖1.21所示的擁有粘滯阻尼的簡(jiǎn)單振子，圖中m和k分別為振子的質(zhì)量和彈簧常數(shù)，c是粘滯阻尼系數(shù)。運(yùn)用牛頓定律或達(dá)朗貝爾原理獲取有阻尼單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：mycyky0（1.2-1）3粘滯阻尼振子(b)間隔體簡(jiǎn)圖圖1.21令2k，2nc，則運(yùn)動(dòng)微分方程式（1.2-1）成為：mmy2ny2y0（1.2-2）這是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程，設(shè)其解yert代入上式可得特色方程：r22n

7、r20（1.2-3）該二次方程的兩個(gè)根是：rnn221r2nn22（1.2-4）于是方程（1.2-2）的通解為：yC1er1tC2er2t（1.2-5）跟著n、值的不一樣，r1、r2也擁有不一樣的值，因此方程（1.2-2）也有不一樣的解，表示著不一樣的運(yùn)動(dòng)，下邊分別談?wù)摗?n，臨界阻尼系統(tǒng)這時(shí)，特色方程的根為兩個(gè)相等的實(shí)根，r1r2n，方程（1.2-2）的通解為：yentC1C2t（1.2-6）4由上式可知，這類(lèi)運(yùn)動(dòng)是非周期性運(yùn)動(dòng)，這時(shí)阻尼的大小正好是系統(tǒng)在衰減過(guò)程中振動(dòng)與不振動(dòng)的分界線，故稱(chēng)為臨界阻尼系統(tǒng)。在該系統(tǒng)下，阻尼系數(shù)c稱(chēng)為臨界阻尼系數(shù)，以ccr表示，即：ccr2nm2m（1.2-7

8、）在實(shí)質(zhì)問(wèn)題中，常常不直接使用阻尼系數(shù)c，而是用阻尼系數(shù)c和臨界阻尼系數(shù)ccr的比值作為阻尼的基本參數(shù)，稱(chēng)為阻尼比。cc（1.2-8）ccr2m2n，過(guò)阻尼系統(tǒng)在過(guò)阻尼系統(tǒng)中，其阻尼系數(shù)大于臨界阻尼系數(shù)（cccr），這時(shí)特色方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，從而可以直接用式（1.2-5）給出振動(dòng)方程的解。對(duì)于過(guò)阻尼系統(tǒng)或臨界阻尼系統(tǒng)，產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)是不振蕩的，其振幅隨時(shí)間按指數(shù)衰減到零。圖1.22描繪了擁有臨界阻尼的簡(jiǎn)單振子的反應(yīng)。過(guò)阻尼系統(tǒng)的反應(yīng)與圖1.22所示臨界阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)相近似，但是跟著阻尼的增添，恢復(fù)到均衡地址將需要更多的時(shí)間。圖1.22臨界阻尼的自由振動(dòng)3n，小阻尼系統(tǒng)小阻尼系統(tǒng)也稱(chēng)為亞阻尼系統(tǒng)

9、，其阻尼系數(shù)小于臨界阻尼值（cccr），這時(shí)方程（1.2-2）的通解為：y(t)Cetcos(Dt)（1.2-9）式中：2(v0y0)212，tanv0y0Cy02，DDy0D5圖1.23給出了一個(gè)擁有初始位移y0，但初始速度為零（v00）的小阻尼系統(tǒng)的反應(yīng)曲線，該運(yùn)動(dòng)是振動(dòng)的，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，振幅不是常數(shù)，而是隨循環(huán)次數(shù)挨次遞減。盡管這樣，振動(dòng)還是發(fā)生在相等的時(shí)間間隔內(nèi)，該時(shí)間間隔稱(chēng)為振動(dòng)的阻尼周期TD。22TD12（1.2-10）D圖1.23小阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)反應(yīng)阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響，主要表此刻以下兩個(gè)方面：（1）振動(dòng)周期增大，但是在n較小的狀況下，阻尼對(duì)周期的影響很小，在小阻尼狀況下，可

10、近似地以為有阻尼自由振動(dòng)的周期與無(wú)阻尼自由振動(dòng)的周期相等。（2）振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減。設(shè)相鄰兩次振動(dòng)的振幅分別為Ci和Ci1，由式（1.2-9）可知，這兩個(gè)相鄰振幅的比值為：CienT（1.2-11）Ci1用實(shí)驗(yàn)方法確立系統(tǒng)阻尼系數(shù)的一種的確可行的方法是讓系統(tǒng)作自由振動(dòng)可獲取振動(dòng)記錄如圖1.24所示，并測(cè)出運(yùn)動(dòng)振幅的衰減率。這樣衰減可以很方便地用對(duì)數(shù)衰減率來(lái)表示，它等于在自由振動(dòng)中任意兩個(gè)相鄰最大振幅y1和y2之比取自然對(duì)數(shù)，即：lny1（1.2-12）y2實(shí)質(zhì)應(yīng)用中，常?。?lny1TD2（1.2-13）y212圖1.24峰值位移和切點(diǎn)位移曲線所以用實(shí)驗(yàn)方法確立了系統(tǒng)自由振動(dòng)兩相鄰的峰值后，即

11、可用式（1.2-13）計(jì)算出阻尼比。1.3簡(jiǎn)諧荷載作用下單自由度系統(tǒng)的反應(yīng)本節(jié)，我們將研究理想化為單自由度系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的運(yùn)動(dòng)，即結(jié)構(gòu)所受的力或位移幅值可以用正弦或余弦的時(shí)間函數(shù)來(lái)表示的運(yùn)動(dòng)。這類(lèi)激勵(lì)形式，在機(jī)械振動(dòng)及結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中也將產(chǎn)生一種特別重要的運(yùn)動(dòng)。因?yàn)樵谛D(zhuǎn)機(jī)械的轉(zhuǎn)動(dòng)件中不行防范的質(zhì)量偏愛(ài)將產(chǎn)生簡(jiǎn)諧激勵(lì)使結(jié)構(gòu)常常遇到轉(zhuǎn)動(dòng)件的動(dòng)力作用。其余，即使在激勵(lì)不是簡(jiǎn)諧函數(shù)的狀況下，應(yīng)用傅立葉方法也可以獲取結(jié)構(gòu)的反應(yīng)，即對(duì)外面激勵(lì)簡(jiǎn)諧分量的各個(gè)反應(yīng)的疊加。無(wú)阻尼簡(jiǎn)諧激勵(lì)假設(shè)作用在圖1.3-1中的簡(jiǎn)單振子上的外力Ft是等于F0sint的簡(jiǎn)諧力，此中F0為峰值，為力的頻率。該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微

12、分方程為：y2yF0sint（1.3-1）7圖1.3-1簡(jiǎn)諧激勵(lì)無(wú)阻尼振子及此間隔體簡(jiǎn)圖式（1.3-1）是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次微分方程，其通解為：yAsintF0/msint（1.3-2）22上式表示，在恢復(fù)力和攪亂力的作用下，系統(tǒng)的振動(dòng)由兩部分構(gòu)成，第一部分為自由振動(dòng)，第二部分為受迫振動(dòng)。因?yàn)樽枘岬拇嬖?，自由振?dòng)將迅速衰減，所以，下邊只談?wù)撌芷日駝?dòng)部分。由式（1.3-2）的第二部分可知，在簡(jiǎn)諧攪亂力作用下的受迫振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并且與初步條件沒(méi)關(guān)，受迫振動(dòng)的圓頻率與攪亂力的圓頻率相等。假如以表示受迫振動(dòng)的振幅與靜變形的比值（這里靜變形等于F0），稱(chēng)為動(dòng)力放大系數(shù)，則有：k11（1.3-3）21

13、21/式中/，稱(chēng)為頻率比，表示攪亂力的圓頻率與受迫振動(dòng)的圓頻率之比。分別以和為縱向及橫向坐標(biāo)，將式（1.3-3）繪成振幅頻率特征曲線，如圖1.32所示。圖1.32振幅頻率特征曲線8從圖1.32可以看出：1當(dāng)0（即攪亂力圓頻率等于零）時(shí)，1；當(dāng)01時(shí)，動(dòng)力放大系數(shù)隨頻率比的增大而增大，該地域?yàn)榈皖l區(qū)。2當(dāng)1時(shí)，這說(shuō)明當(dāng)攪亂力的圓頻率湊近系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，在無(wú)阻尼狀況下，振幅將無(wú)窮地增大，這類(lèi)現(xiàn)象稱(chēng)為共振。工程中將0.751.25的地域稱(chēng)為共振區(qū)。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)，因?yàn)樽枘岬挠绊懀M管振幅不會(huì)無(wú)窮增大，但會(huì)達(dá)到相當(dāng)大的數(shù)值，以致結(jié)構(gòu)物受損。所以，如何防范或除掉共振，是工程上的一個(gè)重要課題。31時(shí)，

14、動(dòng)力放大系數(shù)隨頻率比的增大而減小，直到靜止，該地域稱(chēng)為高頻區(qū)。在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，假如因?yàn)橥饨绲臄噥y，使彈簧的支承點(diǎn)發(fā)生簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，那么，將相同引起受迫振動(dòng)。比方，由地震荷載引起的結(jié)構(gòu)物的振動(dòng)，由路面不平引起的車(chē)輛的振動(dòng)等，都屬于這一類(lèi)狀況。有阻尼簡(jiǎn)諧激勵(lì)考慮圖圖1.33中有粘滯阻尼影響下單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：mycykyF0sint（1-3.4）圖1.33簡(jiǎn)諧激勵(lì)有阻尼振子這是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次微分方程，其通解為：yAentsin2n2tBsint（1-3.5）此中：振幅：BF0/m2224n2292n相位差：tg22A、為積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)的初始條件決定。由（1-3.5）式可知，

15、在彈性力阻尼力和周期攪亂力的作用下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)由兩個(gè)部分構(gòu)成：一部分是自由衰減振動(dòng)，這一部分運(yùn)動(dòng)將很快消逝；另一部分是受迫振動(dòng)，在干擾力的作用下，這一部分運(yùn)動(dòng)將長(zhǎng)遠(yuǎn)地進(jìn)行，所以也稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。下邊將談?wù)撚凶枘崾芷日駝?dòng)的相關(guān)性質(zhì)。一阻尼對(duì)受迫振動(dòng)振幅的影響假如振幅超出了同意的限度，就會(huì)在構(gòu)件中產(chǎn)生過(guò)大的交變應(yīng)力，使構(gòu)件發(fā)生疲憊破壞，所以在受迫振動(dòng)中，振幅的大小對(duì)工程問(wèn)題是十分重要的。用D表示有阻尼時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)（即有阻尼受迫振動(dòng)的振幅與靜變形的比值），則有：DB1B0122422（1-3.6）此中：BF0F0/m；cnk2；ccr以頻率比為橫坐標(biāo)，動(dòng)力放大系數(shù)D為縱坐標(biāo)，將式（1-3.6）繪成

16、不一樣阻尼狀況下的幅頻特征曲線，如圖1.34所示。圖1.34不一樣阻尼狀況下的幅頻特征曲線10圖1.34與無(wú)阻尼受迫振動(dòng)的幅頻特征曲線圖1.32對(duì)比較，有以下特色：1在共振區(qū)，振幅的增大特別明顯，但不是無(wú)窮制地?cái)U(kuò)大而是有限值。從圖中可以看出，動(dòng)力放大系數(shù)D的最大值其實(shí)不在1的縱軸上。為求D的最大值，對(duì)式（1-3.6）進(jìn)行極值運(yùn)算，即由dD0，求得共振時(shí)的和D分別為：d122（1-3.7）DDmax1（1-3.8）212因?yàn)榇蠖鄶?shù)工程問(wèn)題都屬于小阻尼狀況，阻尼比很小，可以將2略去不計(jì)，于是可獲取最大振幅時(shí)，1，Dmax1。即可以近似地把共振時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)作為系統(tǒng)2的最大放大系數(shù)。2圖1.34反

17、應(yīng)曲線的分析表示，這些曲線的形狀由系統(tǒng)阻尼的大小所決定，特別是頻帶寬度（即相應(yīng)于同一反應(yīng)幅值的兩個(gè)頻率之差）與系統(tǒng)的阻尼親近相關(guān)，所以，在工程實(shí)質(zhì)中，我們常用帶寬法（半功率法）計(jì)算阻尼。圖1.35給出一中等阻尼結(jié)構(gòu)由實(shí)1驗(yàn)方法獲取的一條典型幅頻特征曲線，在阻尼計(jì)算中，可以方便地量出圖中倍峰值處2的頻帶寬度，相應(yīng)于該頻帶寬度上的頻率f1和f2叫做半功率點(diǎn)。該頻帶寬度的頻率值，可1以經(jīng)過(guò)系統(tǒng)的反應(yīng)幅值等于共振幅值的倍關(guān)系來(lái)確立。經(jīng)過(guò)運(yùn)算獲取：阻尼比可以近2似地用兩個(gè)半功率頻率比差值的一半來(lái)表示，即：1r2r1121f2f1（1-3.9）22f2f111圖1.35實(shí)驗(yàn)幅頻特征曲線二阻尼對(duì)相位差的影響

18、將相位差寫(xiě)成：arctg22（1-3.10）1分別以和為縱橫坐標(biāo)，依據(jù)式（1-3.10）可畫(huà)出在不一樣阻尼狀況下的相位差頻率特征曲線，如圖1.36所示。圖1.36不一樣阻尼狀況下的相位差頻特征曲線12從圖1.36中可以看出：當(dāng)遠(yuǎn)小于1時(shí)，0，這時(shí)受迫振動(dòng)與攪亂力可近似以為是同相的，跟著的增添，相位差也隨之增大。在共振區(qū)周邊，的變化最為激烈，當(dāng)發(fā)生共振時(shí)，1，它與阻尼的大小2沒(méi)關(guān)。這時(shí)攪亂力的相位比受迫振動(dòng)的相位超前，也許說(shuō)攪亂力與振動(dòng)的速度同相，因2此出現(xiàn)了很大的振幅。經(jīng)過(guò)共振區(qū)后，跟著的增添，也增添，并趨勢(shì)于。這時(shí)，受迫振動(dòng)的位移與干擾力反向。1.4任意荷載作用下單自由度系統(tǒng)的反應(yīng)因?yàn)閷?shí)質(zhì)結(jié)

19、構(gòu)所遇到的荷載常常其實(shí)不是簡(jiǎn)諧荷載，本節(jié)研究任意荷載作用下單自由度系統(tǒng)的反應(yīng)，可以看到，對(duì)于能用分析方法計(jì)算的一些簡(jiǎn)單荷載函數(shù)，其反應(yīng)可以經(jīng)過(guò)直接積分來(lái)求得，但是，對(duì)于一般荷載狀況，借助于數(shù)值積分方法是必需的。一沖擊荷載和杜哈梅積分沖擊荷載是在一段很短的時(shí)間內(nèi)作用的荷載，這類(lèi)荷載相應(yīng)的沖量等于力與其連續(xù)時(shí)間的乘積。如圖1.41所示，在時(shí)間為時(shí)，力F()在時(shí)間間隔d內(nèi)的沖量可以用暗影部分的面積表示，其值為F()d。依據(jù)動(dòng)量定理mdvF()d獲取速度增量為：dvF()d（1-4.1）m圖1.41沖擊荷載的一般荷載函數(shù)因?yàn)樗矔r(shí)沖量作用的時(shí)間極短，可以以為該系統(tǒng)在瞬時(shí)沖量作用下的振動(dòng)是以y(0)0，y

20、dv為初始條件的自由振動(dòng)，將這類(lèi)速度變化引入無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)的位13移響應(yīng)方程，作為時(shí)間時(shí)的初始速度v0，這樣在稍后的某一時(shí)刻t時(shí)產(chǎn)生的位移為：dy(t)F()dsin(t)（1-4.2）m所以，在荷載F()的連續(xù)作用下，在時(shí)間t時(shí)刻所產(chǎn)生的總位移可以用微分位移dy(t)從時(shí)刻t0到時(shí)刻t進(jìn)行積分來(lái)表示：y(t)1tF()sin(t)d（1-4.3）m0式（1-4.3）表示作用于無(wú)阻尼振子上的激勵(lì)荷載F()所產(chǎn)生總位移，它包含相應(yīng)于零初始條件y00和v00的運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)兩部分。為了計(jì)入v00時(shí)的初始位移y0和初始速度v0的成效，只需要把由初始條件所獲取的解（）式與（1-4.3）相加即可，

21、所以，任意荷載作用下的無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)的總位移為：y(t)v0sint1t)sin(t)dy0costm0F(（1-4.4）對(duì)于一些簡(jiǎn)單的外力函數(shù)如恒力、矩形荷載、三角形荷載等可以經(jīng)過(guò)式（1-4.4）獲取其顯式積分，當(dāng)動(dòng)力荷載較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)不行能求出分析解，在實(shí)質(zhì)運(yùn)用中，對(duì)于所給定的時(shí)程0t，常常使用數(shù)值積分法。二無(wú)阻尼系統(tǒng)杜哈梅積分的數(shù)值計(jì)算應(yīng)用三角函數(shù)關(guān)系和零初始條件，將式（1-4.4）的杜哈梅積分寫(xiě)成以下形式：y(t)1A(t)sintB(t)cost（1-4.5）m式中：A(t)tF()cosd0B(t)tF()sind（1-4.6）0因而可知，動(dòng)力反應(yīng)的計(jì)算歸納為計(jì)算積分A(t)和

22、B(t)，可以使用任何數(shù)值積分方法來(lái)完成其計(jì)算。為了得出動(dòng)力反應(yīng)的時(shí)程曲線，一個(gè)基本思想是把所給定的時(shí)程劃分為許多區(qū)間（即時(shí)間間隔），而后計(jì)算對(duì)應(yīng)于所有區(qū)間端點(diǎn)的動(dòng)力反應(yīng)。明顯，區(qū)間的劃分越細(xì)，計(jì)算結(jié)果越精確。平常要使區(qū)間的長(zhǎng)度小于系統(tǒng)固有周期的110。常用于杜哈梅積14分的數(shù)值計(jì)算方法是梯形法和辛普森法。對(duì)于一般函數(shù)I()，設(shè)：A(t)tI()d（1-4.7）0用梯形法所進(jìn)行的基本運(yùn)算是：A(t)1(I02I12I22In12In)（1-4.8）2用辛普森法所進(jìn)行的基本運(yùn)算是：A(t)1(I04I12I24In12In)（1-4.9）3對(duì)于辛普森法，nt一定是偶數(shù)。因?yàn)樘菪畏ɑ谟煤瘮?shù)I()

23、取代分段線性函數(shù)，而辛普森法規(guī)基于用函數(shù)I()取代分段拋物線函數(shù)，所以其解都是近似的。計(jì)算杜哈梅積分的另一種方法是基于假設(shè)加載函數(shù)由一給定的分段線性連續(xù)函數(shù)來(lái)獲取積分的分析解。該方法除了原有的舍入偏差以外，不會(huì)造成積分的數(shù)值近似。圖1.42分段線性荷載函數(shù)假設(shè)動(dòng)力函數(shù)F()可以用圖1.42所示的分段線性函數(shù)來(lái)近似，為了獲取一條完好的反應(yīng)時(shí)程曲線，將式（1-4.6）以增量的形式來(lái)表示：A(titiF()cosd)A(ti1)ti115B(ti)B(ti1)tiF()sind（1-4.10）ti1()和B(ti)代表ti時(shí)的積分值，假設(shè)動(dòng)力函數(shù)F()可以用分段線性函數(shù)迫近，式中Ati即可寫(xiě)成：F(

24、)F(ti1)Fi(ti1)ti1ti（1-4.11）ti式中：FiF(ti)F(ti1)，tititi1將式（1-4.11）代入式（1-4.10）積分得：A(ti)A(ti1)1F(ti1)ti1Fisintisinti1tiFicosticosti1tisintiti1sinti12tiB(ti)B(ti1)1F(ti1)ti1Ficosticosti1tiFisintisinti1ticostiti1costi1（1-4.12）2ti式（1-4.12）即為（1-4.6）在任意時(shí)刻tti時(shí)計(jì)算積分的遞推公式。三有阻尼系統(tǒng)杜哈梅積分的數(shù)值計(jì)算由杜哈梅積分所表示的有阻尼系統(tǒng)的反應(yīng)，將產(chǎn)生初始速

25、度dvF()d的沖量mF()d代入相應(yīng)的有阻尼自由振動(dòng)方程，即可以獲適合時(shí)間為t時(shí)的微分位移：dy(t)1etF()dsinDt（1-4.13）mD對(duì)整個(gè)荷載區(qū)間上的這些微分項(xiàng)乞降獲取杜哈梅積分所表示的有阻尼系統(tǒng)的反應(yīng)：1ttsinDtd（1-4.14）y(t)F()em0D在數(shù)值計(jì)算時(shí)，可以按無(wú)阻尼系統(tǒng)的狀況進(jìn)行，請(qǐng)自己推導(dǎo)。161.5傅立葉變換和頻域反應(yīng)一般說(shuō)來(lái)，可以把任一周期函數(shù)F(t)睜開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)形式：F(t)a0n1ancosntbnsinnt（1-5.1）對(duì)于給定函數(shù)F(t)的系數(shù)a0an和bn可由下式確立：a01t1TTt1F(t)dtan2t1TtdtTt1F(t)cosn

26、bn2t1TtdtTt1F(t)sinn（1-5.2）一用傅立葉級(jí)數(shù)表示的荷載作用下的反應(yīng)無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)用傅立葉級(jí)數(shù)表示的周期力的總反應(yīng)，由該級(jí)數(shù)各項(xiàng)反應(yīng)的疊加a0構(gòu)成，包含恒力a0的反應(yīng)（穩(wěn)態(tài)反應(yīng)），即：y(t)a0n1112ancosntbnsinnt（1-5.3）krkkn式中：rnn，k2，mT有阻尼單自由度系統(tǒng)用傅立葉級(jí)數(shù)表示的周期力的總反應(yīng)，也由該級(jí)數(shù)各項(xiàng)反應(yīng)的疊加構(gòu)成，可表示為：2y(t)a01an2rn2)2bn(1rn2)sinntkkn1(1rn(2rn)a(1r2)b2rnnnncosnt（1-5.4）(1r2)2(2r)2nnc式中：為阻尼比ccr17二分段線性函數(shù)

27、的傅立葉系數(shù)如前面杜哈梅積分所述，可以用圖1.42所示的分段線性函數(shù)來(lái)表示外力函數(shù)，這樣就可以把傅立葉系數(shù)的計(jì)算式（1-5.2）用外力函數(shù)的各分段積分和來(lái)表示：a01NtiF(t)dtTi1ti1Nan2tiF(t)cosntdtTti1i1bn2Nti（1-5.5）F(t)sinntdtTti1i1式中N是外力函數(shù)的分段數(shù)，任意時(shí)間間隔ti-1tti的外力函數(shù)可由式（1-4.11）表示。將式（1-4.11）代入式（1-5.5），積分獲取分段線性函數(shù)的傅立葉系數(shù)為：a01Nti(FiFi1)/2anT2i1N1F(ti1)ti1Fi(sinntisinnti1)Ti1ntiFi(cosntic

28、osnti1)n(tisinntiti1sinnti1)n22tibn2N1F(t)tFi(cosnti1cosnt)i1i1iTi1ntiFi(sinntisinnti1)n(ticosntiti1cosnti1)（1-5.6）n22ti三失散傅立葉變換將傅立葉系數(shù)拓展到非周期函數(shù)所獲取的積分稱(chēng)為傅立葉變換。級(jí)數(shù)F(tj)，（j=0,1,2N-1）的傅立葉變換常常經(jīng)過(guò)歐拉公式用指數(shù)形式來(lái)表示：18F(t)cneint（1-5.7）n式中：cn1N12i(nj/N)NjF(tj)en0,1,2.(.N1)（1-5.8）0它的失散傅立葉逆變換為：N12i(nj/N)0,1,2.(.N1)（）F(

29、tj)cnej1-5.9n0用有限和的形式，給出了任意失散函數(shù)，就可以獲取受荷載函數(shù)的簡(jiǎn)諧重量激勵(lì)的簡(jiǎn)單振子的反應(yīng)。在有阻尼簡(jiǎn)諧激勵(lì)的運(yùn)動(dòng)微分方程中，引入單位指數(shù)外力函數(shù)Eneint便獲?。簃ycykyeint（1-5.10）其穩(wěn)態(tài)解為：y(t)H(int（1-5.11）n)e把式（1-5.11）代入式（1-5.10），便獲取函數(shù)H(n)，稱(chēng)為復(fù)頻反應(yīng)函數(shù)，其表達(dá)式為：H(n)1（1-5.12）k(1rn22irn)式中：rnn為頻率比，cc為阻尼比。ccr2km所以，由式（）給定的擁有幅值Cn的簡(jiǎn)諧重量在tjjt時(shí)的反應(yīng)yn(tj)可表示為：1-5.92i(nj/N)yn(tj)Cne（1-

30、5.13）rn22irn)k(1于是，由N個(gè)簡(jiǎn)諧重量獲取的總反應(yīng)為：19N12i(nj/N)y(tj)cne（1-5.14）0k(1rn2n2irn)1.6反應(yīng)譜反應(yīng)譜是單自由度系統(tǒng)在特定荷載作用下的最大反應(yīng)曲線（最大位移最大速度和最大加速度等）。反應(yīng)譜的橫坐標(biāo)是系統(tǒng)的自振頻率（或周期），縱坐標(biāo)是最大反應(yīng)。考慮圖1.61所示無(wú)阻尼振子受半周期正弦荷載的激勵(lì)作用，假設(shè)系統(tǒng)初始處于靜止?fàn)顟B(tài)，正弦波的連續(xù)時(shí)間為td，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：mykyF(t)（1-6.1）此中：F(t)F0sint(0ttd)0(ttd)td圖1.61荷載F(t)作用下的無(wú)阻尼簡(jiǎn)單振子該運(yùn)動(dòng)微分方程的解可以用直接積分法求得，

31、它分為兩部份：y1sintTsin2t(0ttd)ystT)2td2tdT1(2tdyT/tdcostdsin2(ttd)(ttd)（1-6.2）y(T/2td)21TT2Tst20式中：ystF0；2k；tdT。由式（）可以看出，按y表示的反應(yīng)是脈沖連續(xù)時(shí)間td與系統(tǒng)自振周期比（td）1-6.2ystT和時(shí)刻t與周期T的比值（t）的函數(shù)。所以對(duì)于參數(shù)td的任一給定值，由式（1-6.2）可TT獲取其最大反應(yīng)，圖1.62即為td函數(shù)的最大反應(yīng)值，它也就是半正弦荷載時(shí)程的反應(yīng)T譜。圖1.62連續(xù)時(shí)間為td的半正弦荷載的反應(yīng)譜y1.76，位于td0.8處。由從圖1.62可以看出，反應(yīng)譜的最大值（放大

32、系數(shù)）ystT于輸入荷載簡(jiǎn)單，這時(shí)有可能獲取封閉解，并畫(huà)出按無(wú)量綱比值表示的反應(yīng)譜，該譜曲線對(duì)任何用半正弦波描繪的脈沖荷載都是有效的。但是，對(duì)于隨機(jī)輸入荷載，不可以希望獲取一般的反應(yīng)譜曲線，平常反應(yīng)譜曲線應(yīng)針對(duì)特別激勵(lì)給出。一、支座受激振的反應(yīng)譜結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的一個(gè)重要問(wèn)題就是結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)或支座遇到激振時(shí)系統(tǒng)的反應(yīng)分析。如圖1.63所示有阻尼振子的結(jié)構(gòu)在基礎(chǔ)輸入一激振力，激振力由圖1.64表示的加速度函數(shù)來(lái)給定。21圖1.63基礎(chǔ)激振的有阻尼簡(jiǎn)單振子圖1.64基礎(chǔ)激振的加速度函數(shù)由圖1.63相應(yīng)的間隔體圖中的合力為零獲取其運(yùn)動(dòng)微分方程為：myc(yys)k(yys)0（1-6.3）式（1-6.3）

33、是用絕對(duì)運(yùn)動(dòng)表示的有阻尼振子的運(yùn)動(dòng)微分方程，更適用的是由它獲取的質(zhì)點(diǎn)對(duì)于支座的相對(duì)運(yùn)動(dòng)表達(dá)式，相對(duì)位移uyys，代入（1-6.3）式獲?。簎2u2uys(t)（1-6.4）k；c2km。式中：；ccrmccr微分方程（1-6.4）的解可以用前面介紹的單自由度系統(tǒng)的求解方法獲取，比方用杜哈梅積分得出：1tys()e(t)sin(t)d（1-6.5）u(t)0二、三聯(lián)反應(yīng)譜使用對(duì)數(shù)可以把最大加速度相對(duì)位移和相對(duì)擬速度的最大反應(yīng)畫(huà)在同一張紙上，即把加速度譜Sa、位移譜SD和速度譜Sv畫(huà)在一起，稱(chēng)為三聯(lián)反應(yīng)譜。這里擬速度其實(shí)不是精確的實(shí)質(zhì)速度，但它們之間聯(lián)系親近，是真實(shí)速度的一種較方便的代換。對(duì)于支座

34、受激振的無(wú)阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，用相對(duì)位移表示為：myku0（1-6.6）從上式中可見(jiàn)，絕對(duì)加速度總是與相對(duì)位移成正比的，特別是在最大值時(shí)，加速度譜與位移譜成正比，即：Sa2SD（1-6.7）22式中：k，是系統(tǒng)的自振頻率；Saymax；SDumax。m為了方便起見(jiàn)，定義擬速度的最大值為速度譜，即：SvSDSa（1-6.8）彈性系統(tǒng)單自由度動(dòng)力反應(yīng)譜由輸入運(yùn)動(dòng)的數(shù)字來(lái)計(jì)算。單自由度受支座運(yùn)動(dòng)的三聯(lián)反應(yīng)譜典型例子如圖1.66。該反應(yīng)譜是輸入1940年埃爾森特羅地震地面加速度記錄的運(yùn)動(dòng)反應(yīng)，這個(gè)地震加速度記錄廣泛應(yīng)用于地震工程研究之中，該地震加速度記錄圖形如圖1.65所示。在1971年加州的圣費(fèi)

35、爾南多地震以前，埃爾森特羅地震記錄是已有的最長(zhǎng)和最激烈的地震記錄之一。圖1.66是將式（1-6.7）和式（1-6.8）用自振頻率f來(lái)表示2f），并對(duì)各項(xiàng)取對(duì)數(shù)而獲取的，所以其縱橫坐標(biāo)均采納對(duì)數(shù)坐標(biāo)，并經(jīng)過(guò)位移橫坐標(biāo)傾斜1350，加速度橫坐標(biāo)傾斜450而畫(huà)出以對(duì)角線為橫軸的坐標(biāo)，這樣就可以從一張圖上同時(shí)讀出加速度速度和位移譜值。圖1.651940年5月6日Elecentro地震南北重量地面加速度記錄圖1.661940年Elecentro地震彈性系統(tǒng)的反應(yīng)譜23三非線性系統(tǒng)的反應(yīng)譜一般來(lái)說(shuō)，反應(yīng)譜來(lái)自不一樣阻尼單自由度系統(tǒng)特別激振計(jì)算的反應(yīng)，并用短時(shí)間間隔數(shù)值積分來(lái)計(jì)算系統(tǒng)的反應(yīng)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，

36、系統(tǒng)的反應(yīng)采納逐漸積分法計(jì)算，其基本思路是：將振動(dòng)微分方程用增量形式表示，為計(jì)算方便，平常將所要計(jì)算的時(shí)程劃分成許多相等的時(shí)間間隔（即步長(zhǎng)）t，在每一個(gè)連續(xù)的時(shí)間增量上計(jì)算反應(yīng)值。在每一個(gè)時(shí)間間分開(kāi)始時(shí)已經(jīng)建立了動(dòng)力均衡條件，所以對(duì)時(shí)間增量t的反應(yīng)是基于剛度系數(shù)k(y)和阻尼系數(shù)c(y)在t上保持不變的條件下近似計(jì)算出來(lái)的。在分析中，經(jīng)過(guò)在每一個(gè)時(shí)間增量的起點(diǎn)重新計(jì)算這些系數(shù)來(lái)考慮它們的非線性特征。而反應(yīng)值是用上一時(shí)間間隔結(jié)束時(shí)的位移和速度作為下一時(shí)間步長(zhǎng)的初始條件而計(jì)算獲取。因而可知，對(duì)于每一個(gè)時(shí)間間隔，是在其開(kāi)始時(shí)來(lái)計(jì)算系數(shù)k(y)和c(y)的，并假設(shè)直到下一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)，它們都保持不變，所以系統(tǒng)的非線性特征近似于挨次連續(xù)變化的線性系統(tǒng)，常用線性加速度法和威爾遜法來(lái)進(jìn)行計(jì)算，下邊簡(jiǎn)單介紹線性加速度法。采納時(shí)間間隔t，將地震振動(dòng)方程以增量形式表示：mu(t)cu(t)ku(t)mug(t)（1-6.9）式中：u(t)u(tt)u(t)u(t)u(tt