分形幾何在金融上的分析

1、分形理論及其在股市上的應(yīng)用分形幾何產(chǎn)生的背景經(jīng)典幾何的研究對(duì)象: 規(guī)則的圖形，如圓，三角形等問題： 對(duì)于不規(guī)則的圖形：如海岸線，云的邊界，我們?nèi)绾窝芯浚?如何用計(jì)算機(jī)去生成？分形幾何產(chǎn)生的背景下面我們再介紹一些傳統(tǒng)方法難以處理的一些問題如何研究在閉區(qū)間上處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)：如Weierstrass函數(shù)？一類Weierstrass函數(shù)的具體表達(dá)式其中1s2,大自然的不規(guī)則性樹木花草、山川河流、煙霧云彩等是不規(guī)則的。晶體的生長，分子的運(yùn)動(dòng)軌跡等也是不規(guī)則的。如何用幾何來描述它？B. Mandelbrot 觀察到英國海岸線與Van Koch 曲線的關(guān)系，提出了一門描述大自 然的幾何形態(tài)的學(xué)科-

2、分形(Fractal).Julia集C = -1Julia集C = -0.5+0.5iJulia集C=-0.2+0.75 iJulia集C=0.64 iJulia集Mandelbrot集Mandelbrot集分形幾何的歷史萌芽期：十九世紀(jì)末，二十世紀(jì)初. Cantor集，Weierstrass函數(shù)等的提出.分形幾何的歷史形成期：二十世紀(jì)六、七十年代. Mandelbrot的大量工作. 1. 1967年，Science, 英國的海岸線有多長？ 2. 1975年，分形對(duì)象：形，機(jī)遇和維數(shù).分形(fractal)這個(gè)詞源于這本書. 它的意思是“不規(guī)則的或者斷裂的”拉丁語“fractus”派生 出來的

3、.英國的海岸線有多長?測量方法： 我們想象一個(gè)人沿著一段海岸線揀盡可能短的道路步行，并規(guī)定每步長度不超過，設(shè)這樣測得的海岸線長度為L().然后重新開始，并使他在海岸線上最長的步長越來越短。 英國的海岸線有多長? 用一只小老鼠代替人測量。 用蒼蠅代替小老鼠測量。測量結(jié)論：隨著步長越來越短，我們測量出來的海岸線長度越來越長。英國的海岸線有多長(續(xù))?Richardson的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù) L()與成正比，其中的值依賴于具體的海岸線。而且對(duì)同一海岸線，對(duì)不同的區(qū)段，常常得到不同的。在Richardson看來， 沒有什么特別意義。英國的海岸線有多長(續(xù))?Mandelbrot的貢獻(xiàn) 把的意義挖掘出來，將1+

4、=D解釋為“分形維數(shù)”。 分形幾何的歷史(續(xù))發(fā)展期：二十世紀(jì)八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形與自相似. 給出了自相似集合的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ). 2. Mandelbrot, 1982, 自然界的分形幾何. 分形幾何的歷史(續(xù)) 3. Barnsley, 1988, Fractal everywhere. 4. Falconer, 1990, 分形幾何數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 及其應(yīng)用.分形函數(shù) 我們的主要研究對(duì)像是分形函數(shù)。 Weierstrass函數(shù) Weierstrass型函數(shù)分形幾何的研究對(duì)象（二）自仿射集（每個(gè)映射都是壓縮的仿射映射）。迭代函數(shù)系統(tǒng)的不變集（每個(gè)映射都是壓縮映

5、射）。分形函數(shù)（如：Weierstrass函數(shù)）。隨機(jī)分形（如：隨機(jī)Koch曲線）。分形的應(yīng)用領(lǐng)域數(shù)學(xué)中的動(dòng)力系統(tǒng)等;物理中的布朗運(yùn)動(dòng),流體力學(xué)中的湍流等;化學(xué)中酶的構(gòu)造等;生物中細(xì)胞的生長等;分形的應(yīng)用領(lǐng)域地質(zhì)學(xué)中的地質(zhì)構(gòu)造等;天文學(xué)中土星光環(huán)的模擬等;其它:計(jì)算機(jī),經(jīng)濟(jì)學(xué),社會(huì)學(xué),藝術(shù)等Minkowski “香腸”龍曲線Hilbert曲線花草樹木(L系統(tǒng)）Hausdorff DimensionBox Dimension分形在金融分析中的應(yīng)用金融學(xué)的基礎(chǔ)之一是現(xiàn)代證券理論，支撐這一理論的數(shù)學(xué)在處理極端問題時(shí)，作了盡可能從寬的處理。認(rèn)為重大的市場巨變出現(xiàn)的可能性很小，或者認(rèn)為這類變化無法加以考

6、慮。現(xiàn)代證券理論提出的防范風(fēng)險(xiǎn)的措施依靠的是一些要求很嚴(yán)而且沒有什么根據(jù)的假設(shè)。分形在金融分析中的應(yīng)用首先，它認(rèn)為價(jià)格的變動(dòng)統(tǒng)計(jì)上是彼此獨(dú)立的，例如今天的價(jià)格對(duì)于現(xiàn)行價(jià)格和明天的價(jià)格之間的變化毫無關(guān)系。其次，假設(shè)所有價(jià)格變化的分布服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，正態(tài)分布的寬度描述了價(jià)格變化偏離平均值有多遠(yuǎn)，極端情況的事件被認(rèn)為是及其罕見的。 然而，人們經(jīng)常觀察到價(jià)格的急升急降-頻繁到每個(gè)月都會(huì)出現(xiàn)-它們的概率并不像證券理論認(rèn)為的億億億分之一，而是高達(dá)百分之幾。分形在金融分析中的應(yīng)用 最近，人們通過對(duì)實(shí)際市場歷史數(shù)據(jù)的研究發(fā)現(xiàn)，即使競爭最激烈的市場，實(shí)際上市場的變化規(guī)律也不是嚴(yán)格的隨機(jī)的，價(jià)格的起伏是相關(guān)的

7、，且具有長程相關(guān)性，因此可以通過分形理論來進(jìn)行描述。分形在金融分析中的應(yīng)用 Manderbrot在其早期對(duì)棉花價(jià)格的分析中發(fā)現(xiàn)，棉花的差價(jià)顯示出時(shí)間標(biāo)度行為。 Stanley等發(fā)現(xiàn)隨著銷售額的增加，下降速率的分布在七個(gè)量級(jí)以上呈現(xiàn)冪函數(shù)規(guī)律。分形在金融分析中的應(yīng)用 Zhang對(duì)32間（1966-1998）紐約市場包含最大的四百家上市公司綜合指數(shù)的每日收盤價(jià)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)歷史價(jià)格可以以一定概率預(yù)測最近的將來指數(shù)的漲落。也就是說，即使是復(fù)雜的、多體相互作用的金融市場，其內(nèi)部也隱含有一定的規(guī)律。分形在金融分析中的應(yīng)用 Mandelbrot提出用分形生成元模擬價(jià)格隨時(shí)間的變化，而多重分形分形中可以得

8、到大的價(jià)格漲落的信息。分形的特點(diǎn)是具有自相似性，在金融學(xué)中，這一概念并不是無根據(jù)的抽象，人們在市場走勢圖中經(jīng)?？梢钥吹骄植亢驼w有某種程度的相似性。分形在金融分析中的應(yīng)用 觀察者無法確定哪些數(shù)據(jù)涉及的是價(jià)格從一周到下一周的變化情況，哪些數(shù)據(jù)涉及的是價(jià)格從一天到下一天的變化情況，哪些數(shù)據(jù)涉及的是價(jià)格從某一鐘點(diǎn)到下一鐘點(diǎn)的變化情況，換言之，人們研究發(fā)現(xiàn)的哪些金融數(shù)據(jù)中，廣泛地存在著標(biāo)度不變規(guī)律。分形在金融分析中的應(yīng)用 分形可以對(duì)這一特征從理論的高度上重新進(jìn)行表述。而多重分形又在簡單分形的基礎(chǔ)上增加了能描述市場易變性的功能。與常規(guī)的統(tǒng)計(jì)方法不同，多重分形的方法能將復(fù)雜體系分成許多奇異程度不同的區(qū)域來

9、研究，分形在金融分析中的應(yīng)用從而使我們能分層次地了解復(fù)雜體系的內(nèi)部精細(xì)結(jié)構(gòu)和所富含的信息。通過對(duì)金融數(shù)據(jù)的多重分形分析，有望能找到多重分形參數(shù)與金融數(shù)據(jù)中大的漲落間的關(guān)聯(lián)性，并以一定概率反映和預(yù)測金融市場的劇烈動(dòng)蕩。分形在金融分析中的應(yīng)用 人們可以利用多分形來對(duì)證券進(jìn)行“應(yīng)力測試?yán)弥涠喾中蔚囊?guī)則來產(chǎn)生支配真實(shí)市場的未知規(guī)則所產(chǎn)生的那些變化模式。多分形描述了生成元的形狀和實(shí)際市場資料圖表上待發(fā)現(xiàn)的價(jià)格上下波動(dòng)規(guī)律間的關(guān)系。分形在金融分析中的應(yīng)用 從實(shí)用角度看，分形生成元可以根據(jù)市場的歷史資料總結(jié)出來。所用的實(shí)際模型并不僅僅考察市場昨天或上個(gè)星期發(fā)生的情況。實(shí)際上，它是市場波動(dòng)的更現(xiàn)實(shí)的描述，稱為多分形交易時(shí)間中的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。分形在金融分析中的應(yīng)用 該模型產(chǎn)生的生成元所創(chuàng)造的圖形可以模擬以前的市場活動(dòng)為基礎(chǔ)的替代變化圖景，這種方法不會(huì)使人們能夠更有把握地根據(jù)過去的資料預(yù)測某一天的股價(jià)是升還是降。但是，它們提供了關(guān)于市場動(dòng)向的概率估計(jì)值，據(jù)此人們可以對(duì)必將發(fā)生的重大變化做好準(zhǔn)備。分形在金融分析中的應(yīng)用 多重分形譜是直接由指數(shù)隨時(shí)間的變化計(jì)算出來的，它是對(duì)指數(shù)的價(jià)位、最高最低指數(shù)的比值和低位指數(shù)出現(xiàn)的頻率等進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，因此應(yīng)當(dāng)包含有反映市場活動(dòng)趨勢的信息。分形在金融分析中的應(yīng)用 對(duì)恒生指數(shù)的多重分形譜的計(jì)算可以