151-153曲邊梯形的面積汽車行駛的路程(講)

1、1.了解定積分的基本思想“以直代曲”“逼近”的思想.（重點(diǎn)）2.“以直代曲”“逼近”的思想的形成與求和符號(hào).（難點(diǎn)）1.5 定積分的概念1.5.1 曲邊梯形的面積1.5.2 汽車行駛的路程 1.5.3 定積分的概念這些圖形的面積該怎樣計(jì)算？ 例題（阿基米德問(wèn)題）：求由拋物線y=x2與直線x=1,y=0所圍成的平面圖形的面積 Archimedes，約公元前287年約公元前212年問(wèn)題1：我們是怎樣計(jì)算圓的面積的？圓周率是如何確定的？問(wèn)題2：“割圓術(shù)”是怎樣操作的？對(duì)我們有何啟示？xy 1.曲邊梯形的概念：如圖所示，我們把由直線x=a,x=b(ab),y=0和曲線y=f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯

2、形 如何求曲邊梯形的面積？abf(a)f(b)y=f(x)xyO 對(duì)任意一個(gè)小曲邊梯形，用“直邊”代替“曲邊”（即在很小范圍內(nèi)以直代曲)探究1: 曲邊梯形的面積 直線x1，y0及曲線yx2所圍成的圖形（曲邊梯形）面積S是怎么計(jì)算？為了計(jì)算曲邊梯形的面積S，將它分割成許多小曲邊梯形，x yO1方案1方案2方案3解題思想“細(xì)分割、近似和、漸逼近” 下面用第一種方案“以直代曲”的具體操作過(guò)程（1）分割把區(qū)間0，1等分成n個(gè)小區(qū)間：過(guò)各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為（2） 近似代替（3）求和(i=1,2,n)（4）取極限演示觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)

3、，矩形面積的和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積的和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積的和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積的和與曲邊梯形面積的關(guān)系.2觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積的和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積的和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積的和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積的和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積的和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩

4、形面積的和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積的和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積的和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積的和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積的和與曲邊梯形面積的關(guān)系.觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積的和與曲邊梯形面積的關(guān)系.區(qū)間0,1的等分?jǐn)?shù)nS的近似值Sn20.125 000 0040.218 750 0080.273 437 50160.302 734 38320.317 871 09640.325 561 521280.329 437 262560.3

5、31 382 755120.332 357 4110240.332 845 2120480.333 089 23我們還可以從數(shù)值上看出這一變化趨勢(shì)分割近似代替求和取極限一般地，對(duì)于曲邊梯形，我們也可采用的方法，求其面積.思考1：已知物體運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的關(guān)系,怎樣求物體的運(yùn)動(dòng)速度？探究2： 汽車行駛的路程思考2：已知物體運(yùn)動(dòng)速度為v(常量)及時(shí)間t，怎么求路程？Ov t 12探究3： 定積分的定義 從求曲邊梯形面積S的過(guò)程中可以看出, 通過(guò)以下四步: 分割近似代替求和取極限得到解決.2.定積分的定義 定積分的定義的理解: 定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號(hào)， f(x) 叫做被積函數(shù)， f(x)dx

6、叫做被積式， x 叫做積分變量， a 叫做積分下限， b 叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間.被積函數(shù)被積式積分變量積分下限積分上限Ox yab yf (x) 按定積分的幾何意義，有 (1) 由連續(xù)曲線y=f(x) (f(x)0) ，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為 (2) 設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度v=v(t)，則此物體在時(shí)間區(qū)間a, b內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s為1x yOf(x)=x2 根據(jù)定積分的定義，右邊圖形的面積為 同樣地，1.5.2中汽車在0t1這段時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程 (1) 定積分是一個(gè)數(shù)值, 它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無(wú)關(guān)，即總結(jié)提升：(2) 定義中區(qū)間的分

7、法和i的取法是任意的.x yO 當(dāng)f(x)0時(shí)，由yf (x)、xa、xb 與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方，ab yf (x) y-f (x)=-Sab yf (x)Ox y 根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的面積?b yf (x)Ox y探究5： 用定積分表示圖中陰影部分的面積a探究4: 定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 性質(zhì)2 (k為常數(shù))性質(zhì)3.定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性O(shè)x yab yf (x)(其中acb) 性質(zhì)3 不論a，b，c的相對(duì)位置如何都有ab y=f(x)cOx y1.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積解：0ayxf(x)=x20 xyx-12f(x)=x2x-10yxabf(x)=10yx-12f(x)=(x-1)2-1解：xyf(x)=sinx1-12.3.面積值為圓的面積的1.求曲邊梯形面積分割近似代替求和取極限2.定積分定義3.定積分幾何意義4.定積分計(jì)算性質(zhì)總結(jié)提升： 求由連續(xù)曲線y=f(x)