高中數(shù)學(xué)必修二 1 7．2.1復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義

1、72復(fù)數(shù)的四則運算72.1復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義考點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)復(fù)數(shù)加法、減法的運算掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法運算法則數(shù)學(xué)運算復(fù)數(shù)加法的幾何意義理解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法運算的幾何意義直觀想象 問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P75P77的內(nèi)容，思考以下問題：1復(fù)數(shù)的加、減法運算法則是什么？運算律有哪些？2復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義是什么？1復(fù)數(shù)加、減法的運算法則及加法運算律(1)加、減法的運算法則設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意兩個復(fù)數(shù)，則z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i(2)加法運算律對任意z1，z2，z3C，有交換律：z1z2z2z1結(jié)合律：(z1z2

2、)z3z1(z2z3)名師點撥 兩個復(fù)數(shù)相加就是這兩個復(fù)數(shù)的實部與實部相加，虛部與虛部相加對于復(fù)數(shù)的加法可以推廣到多個復(fù)數(shù)相加的情形2復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)對應(yīng)的向量分別為eq o(OZ1,sup6()，eq o(OZ2,sup6()，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，則與z1z2對應(yīng)的向量是eq o(OZ,sup6()，與z1z2對應(yīng)的向量是eq o(Z2Z1,sup6(). 判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩個虛數(shù)的和或差可能是實數(shù)()(2)若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z20，則z1z2.()(3)在進行復(fù)數(shù)的加法時，實部與實部相

3、加得實部，虛部與虛部相加得虛部()(4)復(fù)數(shù)的加法不可以推廣到多個復(fù)數(shù)相加的情形()(5)復(fù)數(shù)的減法不滿足結(jié)合律，即(z1z2)z3z1(z2z3)可能不成立()答案：(1)(2)(3)(4)(5) (62i)(3i1)()A33iB55iC7i D55i答案：B 若復(fù)數(shù)z滿足z(34i)1，則z的虛部是()A2 B4C3 D4答案：B 已知i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z滿足zi3，則|z|()A3 B4Ceq r(10) D10答案：C復(fù)數(shù)的加、減法運算(1)計算：(56i)(2i)(34i)；(2)設(shè)z1x2i，z23yi(x，yR)，且z1z256i，求z1z2.【解】(1)原式(523)(61

4、4)i11i.(2)因為z1x2i，z23yi，z1z256i，所以(3x)(2y)i56i，所以eq blc(avs4alco1(3x5，,2y6，)所以eq blc(avs4alco1(x2，,y8，)所以z1z2(22i)(38i)(23)2(8)i110i.eq avs4al()解決復(fù)數(shù)加、減運算的思路兩個復(fù)數(shù)相加(減)，就是把兩個復(fù)數(shù)的實部相加(減)，虛部相加(減)復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，兩個復(fù)數(shù)相減，也可以看成是加上這個復(fù)數(shù)的相反數(shù)當(dāng)多個復(fù)數(shù)相加(減)時，可將這些復(fù)數(shù)的所有實部相加(減)，所有虛部相加(減) 復(fù)數(shù)(12i)(34i)(53i)對應(yīng)的點在()A第一象限B第二象限C第

5、三象限 D第四象限解析：選A.復(fù)數(shù)(12i)(34i)(53i)(135)(243)i9i，其對應(yīng)的點為(9，1)，在第一象限復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義已知平行四邊形OABC的三個頂點O，A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0，32i，24i.(1)求eq o(AO,sup6()表示的復(fù)數(shù)；(2)求eq o(CA,sup6()表示的復(fù)數(shù)【解】(1)因為eq o(AO,sup6()eq o(OA,sup6()，所以eq o(AO,sup6()表示的復(fù)數(shù)為(32i)，即32i.(2)因為eq o(CA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，所以eq o(CA,sup6()表示的復(fù)數(shù)為

6、(32i)(24i)52i.1變問法若本例條件不變，試求點B所對應(yīng)的復(fù)數(shù)解：因為eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，所以eq o(OB,sup6()表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)16i.所以點B所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為16i.2變問法若本例條件不變，求對角線AC，BO的交點M對應(yīng)的復(fù)數(shù)解：由題意知，點M為OB的中點，則eq o(OM,sup6()eq f(1,2)eq o(OB,sup6()，由互動探究1中知點B的坐標(biāo)為(1，6)，得點M的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，3)，所以點M對應(yīng)的復(fù)數(shù)為eq f(1,2)3i.e

7、q avs4al()復(fù)數(shù)加、減法幾何意義的應(yīng)用技巧(1)復(fù)數(shù)的加減運算可以轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)或向量運算(2)復(fù)數(shù)的加減運算轉(zhuǎn)化為向量運算時，同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則 1在復(fù)平面內(nèi)，eq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為12i，23i，則eq o(BC,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A15i B15iC34i D34i解析：選A.因為eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()，所以eq o(BC,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)為23i(12i)15i.2在復(fù)平面內(nèi)，A，B，C，三點分別對應(yīng)復(fù)數(shù)1，2i，12i.(1)求eq

8、 o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()，eq o(BC,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)判斷ABC的形狀解：(1)A，B，C三點分別對應(yīng)復(fù)數(shù)1，2i，12i.所以eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()，eq o(OC,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1，2i，12i(O為坐標(biāo)原點)，所以eq o(OA,sup6()(1，0)，eq o(OB,sup6()(2，1)，eq o(OC,sup6()(1，2)所以eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()(1，1)，eq o(AC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o

9、(OA,sup6()(2，2)，eq o(BC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6() (3，1)即eq o(AB,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1i，eq o(AC,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)為22i，eq o(BC,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i.(2)因為|eq o(AB,sup6()|eq r(11)eq r(2)，|eq o(AC,sup6()|eq r(（2）222)eq r(8)，|eq o(BC,sup6()|eq r(（3）21)eq r(10)，因為|eq o(AB,sup6()|2|eq o(AC,sup6()|210|eq o(BC,sup6()|2.

10、且|eq o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|，所以ABC是以角A為直角的直角三角形1(63i)(3i1)(22i)的結(jié)果為()A53iB35iC78i D72i解析：選C.(63i)(3i1)(22i)(612)(332)i78i.2已知復(fù)數(shù)z1(a22)3ai，z2a(a22)i，若z1z2是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為_解析：由z1z2a22a(a23a2)i是純虛數(shù)，得eq blc(avs4alco1(a22a0，,a23a20)a2.答案：23已知復(fù)數(shù)z12i，z212i.(1)求z1z2；(2)在復(fù)平面內(nèi)作出復(fù)數(shù)z1z2所對應(yīng)的向量解：(1)由復(fù)數(shù)減法的運算法則得z1z

11、2(2i)(12i)1i.(2)在復(fù)平面內(nèi)作復(fù)數(shù)z1z2所對應(yīng)的向量，如圖中eq o(OZ,sup6().A基礎(chǔ)達標(biāo)1已知復(fù)數(shù)z113i，z23i(i為虛數(shù)單位)，在復(fù)平面內(nèi)，z1z2對應(yīng)的點在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選B.因為z113i，z23i，所以z1z222i，故z1z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(2，2)在第二象限2若z12i，z23ai(aR)，且在復(fù)平面內(nèi)z1z2所對應(yīng)的點在實軸上，則a的值為()A3 B2C1 D1解析：選D.z1z22i3ai(23)(1a)i5(1a)i.因為在復(fù)平面內(nèi)z1z2所對應(yīng)的點在實軸上，所以1a0，所以a1.3在平行四邊形ABC

12、D中，若A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1i和43i，則該平行四邊形的對角線AC的長度為()A.eq r(5) B5C2eq r(5) D10解析：選B.依題意，eq o(AC,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(43i)(1i)34i，因此AC的長度為|34i|5.4復(fù)數(shù)z1a4i，z23bi(a，bR)，若它們的和z1z2為實數(shù)，差z1z2為純虛數(shù)，則a，b的值為()Aa3，b4 Ba3，b4Ca3，b4 Da3，b4解析：選A.因為z1z2(a3)(4b)i為實數(shù)，所以4b0，b4.因為z1z2(a4i)(3bi)(a3)(4b)i為純虛數(shù)，所以a3且b4.故a3，b4.5設(shè)f(z)|z|，z134i，z2

13、2i，則f(z1z2)()A.eq r(10) B5eq r(5)C.eq r(2) D5eq r(2)解析：選D.因為z1z255i，所以f(z1z2)f(55i)|55i|5eq r(2).6已知復(fù)數(shù)z滿足z(12i)5i，則z_解析：z(5i)(12i)43i.答案：43i7已知復(fù)數(shù)z12ai，z2ai(aR)，且復(fù)數(shù)z1z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則a的取值范圍是_解析：因為復(fù)數(shù)z1z22aiai(2a)(a1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，所以eq blc(avs4alco1(2a0，,a10，)解得a2.答案：(2，)8若復(fù)數(shù)z113i，z22ai，且z1z2b8i，z

14、2z13ci，則實數(shù)a_，b_，c_解析：z1z2(12)(3a)i1(3a)ib8i，z2z1(21)(a3)i3(a3)i3ci，所以eq blc(avs4alco1(b1，,3a8，,a3c，)解得eq blc(avs4alco1(b1，,a5，,c2.)答案：5129計算：(1)(2i)(65i)(43i)(1i)；(2)(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0162 017i)(2 0172 018i)解：(1)法一：原式(2i)(64)(53)i(1i)(2i)(22i)(1i)i(1i)1.法二：原式(2i)(65i)(43i)(1i)(2641)(1531)i1.(2)

15、法一：原式(12)(34)(2 0152 016)2 017(23)(45)(2 0162 017)2 018i(1 0082 017)(1 0082 018)i1 0091 010i.法二：因為(12i)(23i)1i，(34i)(45i)1i，(2 0152 016i)(2 0162 017i)1i，所以原式(1i)1 0082 0172 018i1 0091 010i.10已知復(fù)數(shù)z11ai，z22a3i，z3a2i(aR)(1)當(dāng)a為何值時，復(fù)數(shù)z1z2z3是實數(shù)？(2)當(dāng)a為何值時，復(fù)數(shù)z1z2z3是純虛數(shù)？解：由題意，知z1z2z3(1ai)(2a3i)(a2i)12aa2(a4)

16、i.(1)若復(fù)數(shù)z1z2z3是實數(shù)，則a40，即a4.(2)若復(fù)數(shù)z1z2z3是純虛數(shù)，則eq blc(avs4alco1(12aa20,a40)，即a1.B能力提升11已知復(fù)數(shù)z1cos i，z2sin i，則|z1z2|的最大值為()A.eq r(3) B.eq r(5)C6 D.eq r(6)解析：選D.由題意，得|z1z2|(cos sin )2i|eq r(（cos sin ）24)eq r(52sin cos )eq r(5sin 2) eq r(6)，故|z1z2|的最大值為eq r(6).12若復(fù)數(shù)z滿足條件|z(22i)|1，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點所在的圖形的形狀為_解析：設(shè)

17、zxyi(x，yR)，則|z(22i)|xyi22i|(x2)(y2)i|1，所以(x2)2(y2)21.所以在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點在一個圓上答案：圓13已知復(fù)數(shù)z112i，z21i，z334i，它們在復(fù)平面上所對應(yīng)的點分別為A，B，C，若eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(，R)，則的值是_解析：由題意得eq o(OC,sup6()(3，4)，eq o(OA,sup6()(1，2)，eq o(OB,sup6()(1，1)由eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，得(3，4)(1，2)(1，1)(，2

18、)，所以eq blc(avs4alco1(3，,24，)解得eq blc(avs4alco1(1，,2，)所以1.答案：114已知復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形ABCD中，點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i，向量eq o(BA,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i，向量eq o(BC,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i，求：(1)點C，D對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)平行四邊形ABCD的面積解：(1)因為向量eq o(BA,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i，向量eq o(BC,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i，所以向量eq o(AC,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3i)(12i)23i.又因為eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AC,sup6()，所以點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2i)(23i)42i.因為eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，所以向量eq o(AD,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i，即eq o(AD,sup6()(3，1)設(shè)D(x，y)，則eq o(AD,sup6()(x2，y1)