二維圖形變換

1、二維圖形變換1第1頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日4.5 二維圖形變換 一、圖形變換基本概念 1、定義 即對(duì)原圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、縮小或放大等變換操作。 在計(jì)算機(jī)圖形顯示或繪圖輸入過(guò)程中，往往需要對(duì)圖形指定部分的形狀、尺寸大小及顯示方向進(jìn)行修改，以達(dá)到改變整幅圖形的目的，這就需要對(duì)圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、縮小或放大等變換操作。因此，圖形變換是計(jì)算機(jī)繪圖基本技術(shù)之一，利用它可以用一些很簡(jiǎn)單的圖組合成相當(dāng)復(fù)雜的圖，可以把用戶坐標(biāo)系下的圖形變換到設(shè)備坐標(biāo)系下。利用圖形變換還可以實(shí)現(xiàn)二維圖形和三維圖形之間轉(zhuǎn)換，甚至還可以把靜態(tài)圖形變?yōu)閯?dòng)態(tài)圖形，從而實(shí)現(xiàn)景物畫(huà)面的動(dòng)態(tài)顯示，下面主要討

2、論二維圖形變換。 2第2頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日 2、圖形變換分類 圖形變換有兩種形式： 視象變換:圖形不動(dòng)，而坐標(biāo)系變動(dòng)，即變換前與變換后的圖形是針對(duì)不同的坐標(biāo)而言的，也稱之為坐標(biāo)模式 幾何變換:另一種是坐標(biāo)系不動(dòng)，而圖形改變，即變換前與變換后的坐標(biāo)值是針對(duì)同一坐標(biāo)系而言的，也稱之為圖形模式變換， 實(shí)際應(yīng)用中后種圖形變換更具有實(shí)際意義，我們討論的圖形變換主要是屬于后一種變換 3第3頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日二、二維圖形幾何變換的基本原理 1幾何變換 在計(jì)算機(jī)繪圖應(yīng)用中，經(jīng)常要實(shí)現(xiàn)從一個(gè)幾何圖形到另一個(gè)幾何圖形的變換。例如，將圖沿某

3、一方向平移一段距離；將圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度；或?qū)D形放大；反之把圖形縮小等等。這些圖形變換的效果雖然各不相同，本質(zhì)上卻都是依照一定的規(guī)則，將一個(gè)幾何圖形的點(diǎn)都變?yōu)榱硪粋€(gè)幾何圖形的確定的點(diǎn)，這種變換過(guò)程稱為幾何變換。 幾何變換的規(guī)則是可以用函數(shù)來(lái)表示的。由于一個(gè)二維圖形可以分解成點(diǎn)、直線、曲線。把曲線離散化，它可以用一串短直線段來(lái)逼近；而直線段可以是一系列點(diǎn)的集合，因此點(diǎn)是構(gòu)成圖形的基本幾何元素之一。我們先來(lái)討論點(diǎn)的幾何變換的函數(shù)表示。 4第4頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日 二維平面圖形的幾何變換是指在不改變圖形連線次序的情況下，對(duì)一個(gè)平面點(diǎn)集進(jìn)行的線性變換。 二維平面圖

4、形的輪廓線，不論是由直線段組成（多邊形），還是由曲線段組成，都可以用它的輪廓線上順序排列的平面點(diǎn)集來(lái)描述，例如長(zhǎng)方形ABCD，是由四個(gè)角點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）順序連接而成，為了使畫(huà)出的圖形是閉合的，首尾兩點(diǎn)必須連接。5第5頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日 二維平面圖形變換的結(jié)果有兩種，一是使圖形產(chǎn)生位置的改變；另一種是使圖形產(chǎn)生變形，例如把圖形放大。 對(duì)二維圖形進(jìn)行幾何變形有五種基本變換形式，它們是：平移、旋轉(zhuǎn)、比例、對(duì)稱和錯(cuò)切。6第6頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日 2基本幾何變換的解析表示 （

5、l）平移變換 平面上一點(diǎn)P（x，y），如果在X軸方向的平移增量為tx，在Y軸方向平移增量為ty時(shí)，則平移后所得新點(diǎn)P(x，y)坐標(biāo)表達(dá)式為： x = x + tx， y = y + ty 我們把這一變換稱為平移變換。 如果對(duì)一圖形的每個(gè)點(diǎn)都進(jìn)行上述變換，即可得到該圖形的平移變換。實(shí)際上，直線的平移變換，可以通過(guò)對(duì)其定義端點(diǎn)的平移變換來(lái)實(shí)現(xiàn)，對(duì)于其它類型的變換這種處理方法也是可行的。 平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀tytx7第7頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日（2）比例變換 一個(gè)圖形中的坐標(biāo)點(diǎn)（x，y），若在X軸方向有一個(gè)比例系數(shù)Sx，在Y軸方向有一個(gè)比

6、例系數(shù)Sy，則該圖形的新坐標(biāo)點(diǎn)（x，y）的表達(dá)式為 x = xSx y = ySy； 這一變換稱為比例變換。 比例變換不僅改變圖形的位置，而且改變圖形的大小 8第8頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日（3）旋轉(zhuǎn)變換 若圖形中的坐標(biāo)點(diǎn)（x，y）繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 ，則該點(diǎn)變換后的新坐標(biāo)（x，y）與交換前的坐標(biāo)(x，y)的關(guān)系為： x = xcos - ysiny = xsin + ycos 旋轉(zhuǎn)變換只能改變圖形的方位，而圖形的大小和形狀不變， 9第9頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日（4）對(duì)稱變換如果經(jīng)過(guò)變換后所得到的圖形與變換前的圖形關(guān)于X坐

7、標(biāo)軸是對(duì)稱的，則稱此變換為關(guān)于X軸的對(duì)稱變換。經(jīng)過(guò)這一變換后的坐標(biāo)點(diǎn)（x，y）與變換前的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)（x，y）的關(guān)系為：x = x， y = -y 與此類似，若變換前后的圖形關(guān)于Y軸對(duì)稱，則稱為關(guān)于Y軸的對(duì)稱變換。這一變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系： x = -x，y = y當(dāng)圖形對(duì)X軸和Y軸都進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，即得相對(duì)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱變換。這一變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系為： x = -x，y = -y對(duì)稱變換只改變圖形方位，不改變其形狀和大小。 10第10頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日11第11頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日（5）錯(cuò)切變換如果變換前坐

8、標(biāo)點(diǎn)（x，y）與變換后對(duì)應(yīng)的新坐標(biāo)點(diǎn)（x，y）的關(guān)系為： x = x + cy，y = y我們稱這一變換為沿X軸的錯(cuò)切變換，式中c為錯(cuò)切系數(shù)與此類似，若變換前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系為： x = x， y = y + bx 則稱此變換為沿Y軸的錯(cuò)切變換，其中b為錯(cuò)切系數(shù)。錯(cuò)切變換不僅改變圖形的形狀，而且改變圖形的方位，但圖形中的平行關(guān)系不變， 12第12頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日一般把上述變換統(tǒng)稱為基本的圖形變換，絕大部分復(fù)雜的圖形變換都可以通過(guò)這些基本交換的適當(dāng)組合來(lái)實(shí)現(xiàn)。 13第13頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日二、幾何變換的矩陣表示形式

9、1. 變換矩陣任何一個(gè)復(fù)雜圖形都是由任意多個(gè)有序點(diǎn)集連線而成。在解析幾何學(xué)中。在二維空間內(nèi)，平面上的點(diǎn)可以用一行兩列矩陣x y或兩行一列矩陣來(lái)表示。由此，一個(gè)由n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)組成的復(fù)雜圖形可以用n2階矩陣表示： 這種圖形的表示法稱為二維圖形的矩陣表示法。14第14頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日由此可知，圖形的變換可用矩陣運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)。具體說(shuō)就是由構(gòu)成圖形的點(diǎn)集的矩陣與T= 矩陣乘法運(yùn)算，即我們稱T= 為二維圖形變換矩陣，其中點(diǎn)集中任意一點(diǎn)（x，y）變換后坐標(biāo)為： 15第15頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日 這是我們熟悉的關(guān)于直角坐標(biāo)變換因子。由上式

10、可知，變換矩陣 中各元素決定著圖形各種不同變換。 16第16頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日2二維基本變換的矩陣表示（1）比例變換 若令變換矩陣 則寫(xiě)成矩陣形式為： 若取a=3 d=1 對(duì)點(diǎn)（2，3）做變換,則 可以看出，a1， d=1，變換后圖形沿X方向放大， 顯然，當(dāng)0a1時(shí)，則使圖形沿Y方向放大17第17頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日a1， d=1，變換后圖形沿X方向放大 當(dāng)a=1，d1時(shí)，則使圖形沿Y方向放大 18第18頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日若取a=1，d=0，圖形沿Y方向壓縮成線段，如下圖所示當(dāng)a=1

11、，d=1變換后圖形沒(méi)有變化，稱這種變換矩陣為恒等矩陣。 19第19頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日若取a=d=1.5對(duì)下圖中（a）矩陣1 2 3 4做變換，則各點(diǎn)在X，Y兩個(gè)方向產(chǎn)生相等的比例變換，即變換后圖形和變換前圖形相似，相似中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。 若ad時(shí)，使圖形在X和Y兩個(gè)方向產(chǎn)生不相等比例變換。下圖(b)是a=2,d=1.5時(shí)對(duì) (a)中矩陣1234變換結(jié)果。 圖 (c)是取a=2,d=0.5對(duì)矩陣1234變換結(jié)果，變換后圖形在X方向放大，在Y方向縮小。 20第20頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日（2）對(duì)稱變換 令變換矩陣T 中a = -1

12、,d = 1,即 使圖形對(duì)Y軸對(duì)稱例如：如下圖所示 21第21頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日當(dāng)a=1，d=1時(shí)，圖形對(duì)X軸對(duì)稱即當(dāng) 時(shí)，圖形對(duì)+45度線對(duì)稱 當(dāng) 時(shí)，圖形45度線對(duì)稱 圖形對(duì)+45度線對(duì)稱圖形對(duì)-45度線對(duì)稱22第22頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日（3）錯(cuò)切變換 當(dāng)變換矩陣中的a=d=1，b與c中一個(gè)為零，另一個(gè)為正 數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，即 ，它對(duì)圖形的作用是使圖 形產(chǎn)生沿一個(gè)坐標(biāo)方向錯(cuò)切。 由此可見(jiàn)，點(diǎn)的X坐標(biāo)不變。y = kx+y，即在原來(lái)坐標(biāo)上加上kx，即沿+Y方向移動(dòng)kx值。點(diǎn)（0，0）則是不移動(dòng)的。K是一個(gè)常數(shù)，所以tg=k

13、x/x=k，即平行X軸的線段對(duì)X軸傾斜角度。=45度時(shí)，k=1。23第23頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日例如： 由下圖可見(jiàn)，圖形沿+Y方向錯(cuò)切，這是對(duì)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)而言。當(dāng) 時(shí)，它使第一象限內(nèi)圖形沿+X方向錯(cuò)切 第一像限內(nèi)圖形沿+Y方向錯(cuò)切第一像限內(nèi)圖形沿+X方向錯(cuò)切24第24頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日（4）旋轉(zhuǎn)變換 旋轉(zhuǎn)變換是指坐標(biāo)軸不動(dòng)，點(diǎn)或圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，以逆時(shí)針?lè)较蛉≌?。如下圖所示，其變換矩陣則 25第25頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日逆時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)=90度時(shí)，變換矩陣順時(shí)針旋轉(zhuǎn)= -90度時(shí)， =

14、180度時(shí)， 下圖是矩陣旋轉(zhuǎn)30度的情況，其坐標(biāo)變換如下： 26第26頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日三、二維圖形齊次坐標(biāo)矩陣變換1、 齊次坐標(biāo)與平移變換前面四種變換都可以通過(guò)變換矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)，那么它是否適合于平移變換呢？若實(shí)現(xiàn)平移變換，變換前后的坐標(biāo)必須滿足下面的關(guān)系：這里tx，ty是平移量，應(yīng)為常數(shù)，但是應(yīng)用上述的變換矩陣對(duì)點(diǎn)進(jìn)行變換： 27第27頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日而這里的cy，bx均非常量，因此用原來(lái)的22的變換矩陣是無(wú)法實(shí)現(xiàn)平移變換的，我們把22矩陣擴(kuò)充為32矩陣，即令：但這樣又帶來(lái)新的問(wèn)題，二維圖形的點(diǎn)集矩陣是n2階的，而變

15、換矩陣是32階的，根據(jù)矩陣乘法規(guī)則，它們是無(wú)法相乘的。為此，我們把點(diǎn)向量也作擴(kuò)充，將 擴(kuò)展為 ,即把點(diǎn)集矩陣擴(kuò)充為n3階矩陣。這樣，點(diǎn)集矩陣與變換矩陣即可以進(jìn)行乘法運(yùn)算： 28第28頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日對(duì)點(diǎn)進(jìn)行平移變換：對(duì)點(diǎn)進(jìn)行平移變換：這里L(fēng)，m分別為x，y方向的平移量。 為使二維變換矩陣具有更多的功能，可將32變換矩陣進(jìn)一步擴(kuò)充成33階矩陣，即：則平移變換矩陣為： 29第29頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日對(duì)點(diǎn)進(jìn)行平移變換： 30第30頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日例：設(shè)l = 20，m = 20，對(duì)下圖

16、中的字母T做平移變換得：31第31頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日如上討論，在平移變換中，我們將 擴(kuò)充為 ， 實(shí)際上是由二維向量變?yōu)槿S向量，但 可以看作是z = 1平面上的點(diǎn)，也就是說(shuō)，經(jīng)此擴(kuò)充后，圖形落在了z = 1的平面上，它對(duì)圖形的形狀沒(méi)有影響。 這種用三維向量表示二維向量的方法叫做齊次坐標(biāo)法。進(jìn)一步推廣，用n+1維向量表示n維向量的方法稱之為齊次坐標(biāo)法。 32第32頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日2二維圖形齊次坐標(biāo)矩陣變換對(duì)于前面介紹基本變換可用二維圖形齊次坐標(biāo)變換矩陣一般表達(dá)式這33矩陣中各元素功能一共可分成四塊，即 這個(gè)22子矩陣可

17、以實(shí)現(xiàn)圖形的比例、對(duì)稱、 錯(cuò)切、旋轉(zhuǎn)等基本變換； 可以實(shí)現(xiàn)圖形平移變換； 可以實(shí)現(xiàn)圖形透視變換； 可以實(shí)現(xiàn)圖形全比例變換。33第33頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日例如，用矩陣 對(duì)圖形進(jìn)行變換： 當(dāng)s1時(shí)，圖形產(chǎn)生整體比例縮小。當(dāng)s=1時(shí)，圖形大小不變。由此表明，齊次坐標(biāo)的應(yīng)用，擴(kuò)大了變換矩陣功能，只要對(duì)矩陣中有關(guān)元素賦以不同的 值，即可達(dá)到預(yù)期變換目的。34第34頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日35第35頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日對(duì)稱變換36第36頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日四、組合變換

18、 上述的五種二維圖形幾何變換是二維圖形幾何變換中的最基本的幾何變換，在進(jìn)行這些基本的幾何變換時(shí)，我們給定了一些特定的約束條件，如:旋轉(zhuǎn)變換是指繞坐標(biāo)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，比例變換是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的放大或縮小等等，因而是幾何變換中的一些簡(jiǎn)單情形。實(shí)際中的二維圖形作幾何變換時(shí)要復(fù)雜得多，往往是多種基本的幾何變換復(fù)合而成的，因此我們把由若干個(gè)基本的幾何變換復(fù)合而成為一個(gè)幾何變換的過(guò)程稱為組合變換也稱為幾何變換的級(jí)聯(lián)。37第37頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日1繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換平面圖形繞任意點(diǎn)p（xp，yp）旋轉(zhuǎn)角，需要通過(guò)以下幾個(gè)步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)：（1）將旋轉(zhuǎn)中心平移到原點(diǎn)，變換矩陣為：YXp

19、（xp，yp）38第38頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日（2） 將圖形繞坐標(biāo)系原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角 ，變換矩陣為：YX（3） 將旋轉(zhuǎn)中心平移回到原來(lái)位置，變換矩陣為：YX39第39頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日因此，繞任意點(diǎn)p的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為： 顯然，當(dāng)xp=0，yp=0時(shí)，即為對(duì)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。40第40頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日2對(duì)任意點(diǎn)做比例變換 設(shè)任意一點(diǎn)p（xp， yp） ，作比例變換需通過(guò)以下步驟來(lái)完成： （1）將P點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)，變換矩陣為：YX41第41頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星

20、期日（2）作關(guān)于原點(diǎn)的比例變換，變換矩陣為：（3）對(duì)原點(diǎn)作反平移變換，移到原來(lái)的位置：YXYX42第42頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日對(duì)任意點(diǎn)P作比例變換，其變換矩陣為 43第43頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日3對(duì)任意直線對(duì)稱變換如下圖所示，設(shè)任意直線的方程為：Ax+By+C=0，直線在X軸和Y軸上的截矩分別C/A和C/B，直線與X軸的夾角為，=arctg(A/B)。YX-C/B-C/A44第44頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日對(duì)任意直線的對(duì)稱變換由以下幾個(gè)步驟來(lái)完成：（1）平移直線，使其通過(guò)原點(diǎn)（可以沿X向和Y向平移

21、，這里沿X向?qū)⒅本€平移到原點(diǎn)），變換矩陣為：YX45第45頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日（2）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使直線與某坐標(biāo)軸重合（這里以與X軸重合為例），變換矩陣如下：YX46第46頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日（3）對(duì)坐標(biāo)軸對(duì)稱變換（這里是對(duì)X軸），其變換矩陣為： YX47第47頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日（4）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使直線回到原來(lái)與X軸成角的位置，變換矩陣為：YX48第48頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日（5）平移直線，使其回到原來(lái)的位置，變換矩陣為：X49第49頁(yè)，共92頁(yè)，202

22、2年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日通過(guò)以上五個(gè)步驟，即可實(shí)現(xiàn)圖形對(duì)任意直線的對(duì)稱變換，其組合變換矩陣如下： 50第50頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日綜合上述，復(fù)雜變換是通過(guò)基本變換組合而成的，由于矩陣乘法不適用于交換律，即，因此，組合變換順序不能顛倒，順序不同，則變換結(jié)果不同。51第51頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日例43 各頂點(diǎn)坐標(biāo)A（3，0），B（4，2），C（6，0）使其繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)90度，再向X方向平移2，Y方向平移1。 因=90O 則變換矩陣： 52第52頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日如果先進(jìn)行平移變換，再進(jìn)

23、行旋轉(zhuǎn)變換，則矩陣為：由于變換順序不同，其結(jié)果也不同。 53第53頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日例44 設(shè)有一三角形ABC，其三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（2，4），B（2，2），C（5，2），求對(duì)于直線2x+3y+3=0的對(duì)稱變換后其中 = arcty(-A/B)=arcty(2/3)3304154第54頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日變換后的如下圖所示。 55第55頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日4.6 二維圖像裁剪一、概述1、定義 為了描述圖形對(duì)象，我們必須存儲(chǔ)它的全部信息，但有時(shí)為了達(dá)到分區(qū)描述或重點(diǎn)描述某一部分的目的，往往

24、將要描述的部分置于一個(gè)窗口之內(nèi)，而將窗口之外部“剪掉”，這個(gè)處理過(guò)程叫做裁剪。 裁剪實(shí)質(zhì)上是從數(shù)據(jù)集合中抽取信息的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程是通過(guò)一定計(jì)算方法實(shí)現(xiàn)的。裁剪就是將指定窗口作為圖形邊界，從一幅大的畫(huà)面中抽取所需的具體信息，以顯示某一局部畫(huà)面或視圖。第四章 二維圖形生成和變換技術(shù) 4.1 基本繪圖元素 4.2 直線段的生成 4.3 曲線的生成 4.4 區(qū)域填充 4.5 二維圖形變換 4.6 二維圖像剪裁 56第56頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日 在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到一些大而復(fù)雜的圖形，如集成電路布線圖、建筑結(jié)構(gòu)圖、地形地貌圖等。由于顯示屏幕的尺寸及其分辨率限制，這樣

25、復(fù)雜的圖形往往不能全部顯示出來(lái)，即使將它們采用比例變換后全部顯示在同一屏幕上，也只能表現(xiàn)一個(gè)大致輪廓，并且圖形擁擠不清。因此對(duì)復(fù)雜圖形，一般只能顯示它的局部?jī)?nèi)容，我們?cè)谘芯磕硰?fù)雜圖形時(shí)，往往對(duì)某特定畫(huà)面感興趣，在這種情況下，我們將這一特定區(qū)域放大后顯示出來(lái)，而把周?chē)?huà)面部分全部擦除，這樣可清晰地觀察其細(xì)節(jié)部分 57第57頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日我們假定裁剪是針對(duì)用戶坐標(biāo)中窗口邊界進(jìn)行的，裁剪完成后，再把窗口內(nèi)圖形映射到視區(qū)。所以裁剪的目的是顯示可見(jiàn)點(diǎn)和可見(jiàn)部分，刪除視區(qū)外的部分。例如，下圖（a）定義了一個(gè)矩形窗口ABCD，窗口內(nèi)會(huì)有EFG的一部分，而直線段EG、

26、FG都有一部分在窗口外。然后將落在窗口內(nèi)這部分圖形傳送到視圖區(qū)內(nèi)顯示，如圖（b）所示。此時(shí)，窗口外那部分被裁剪掉。58第58頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日二、 窗口區(qū)和視圖區(qū)用戶域：在進(jìn)行圖形設(shè)計(jì)時(shí)，圖形輸出程序中的圖形都 是在用戶坐標(biāo)系中定義的。此坐標(biāo)系擁有的區(qū) 域在理論上是無(wú)限的，在使用時(shí)我們可以把它 當(dāng)作是一個(gè)有限的矩形區(qū)，即用戶域。窗口區(qū)：用戶可以在用戶域中指定任意區(qū)域輸出到屏幕 上，這個(gè)指定區(qū)域稱為窗口區(qū)，簡(jiǎn)稱窗口（Window） 如圖所示的矩形 ABCD 就是我們定義的一個(gè)窗口。我們可用該矩形的左下角和右上角兩點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)定義其大小和位置。因此，定義窗口的目的

27、就是選取用戶所定義的圖形中需要觀察的那一部分圖形。窗口區(qū)，用左下角和右上角來(lái)定義59第59頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日視圖區(qū)：簡(jiǎn)稱視圖（Viewport），是在屏幕上定義的一個(gè)小于或等于屏幕區(qū)域一個(gè)矩形塊。同樣也是用該矩形左下角和右上角兩點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)定義大小和位置。視圖區(qū)可用來(lái)顯示某一窗口內(nèi)圖形。所以人們利用窗口來(lái)選擇需要觀察那一部分圖形，而利用視圖區(qū)來(lái)指定這一部分圖形在屏幕上顯示位置。下圖表示窗口與視圖關(guān)系。 屏幕視圖區(qū)窗口區(qū)60第60頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日 在交互式圖形設(shè)計(jì)中，通常把一個(gè)屏幕分為幾個(gè)視圖區(qū)，每個(gè)視圖區(qū)都有各自用途，如

28、圖所示，視圖區(qū)1為用戶圖形區(qū)，視圖區(qū)2為命令區(qū)，視圖區(qū)3是信息區(qū)。同時(shí)用戶圖形區(qū)還可分為各個(gè)子區(qū)，以滿足用戶顯示多層窗口的需要。 由于窗口和視圖是在不同坐標(biāo)系中定義的，因此，在把窗口中圖形信息送到視圖區(qū)之前，必須進(jìn)行坐標(biāo)變換，即把用戶坐標(biāo)系的坐標(biāo)值轉(zhuǎn)化為設(shè)備（屏幕）坐標(biāo)系的坐標(biāo)值，這個(gè)變換稱窗口視圖變換。61第61頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日如圖所示，設(shè)在用戶坐標(biāo)系下定義的窗口為：左下角點(diǎn)坐標(biāo)（Wxl，Wyb），右上角點(diǎn)坐標(biāo)（Wxr，Wyt）；在設(shè)備坐標(biāo)系中定義的視區(qū)為：左下角點(diǎn)坐標(biāo)（Vxl，Vyb），右上角點(diǎn)坐標(biāo)（Vxr ，Vyt）。62第62頁(yè)，共92頁(yè)，202

29、2年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日由圖可知：由（4-24）式得窗口中一點(diǎn)P(xW,yW)變換到視區(qū)中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)V(xV,yV)二者之間的關(guān)系為：設(shè): 63第63頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日則（4.25）式可寫(xiě)成：寫(xiě)成矩陣形式：64第64頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日由此可見(jiàn)窗口視圖變換是比例變換和平移變換的組合變換。先進(jìn)行平移變換將窗口左下角坐標(biāo)移到用戶坐標(biāo)原點(diǎn)，接著進(jìn)行比例變換，使窗口中各點(diǎn)比例變換到設(shè)備坐標(biāo)系（屏幕）中，最后再作平移交換，使原點(diǎn)移到視圖左下角。通過(guò)窗口視圖變換，我們就實(shí)現(xiàn)了將用戶坐標(biāo)系中窗口區(qū)中任意一點(diǎn)轉(zhuǎn)換成設(shè)備坐標(biāo)系中

30、屏幕視圖區(qū)中一點(diǎn)變換，從而就可以把實(shí)際物體圖形顯示在顯示器上，但要注意：為了使經(jīng)過(guò)窗口視圖變換后的圖形在視圖區(qū)中輸出時(shí)不產(chǎn)生失真現(xiàn)象，在定義窗口和視圖時(shí)，必須保證使窗口和視圖區(qū)高度和寬度之間比例相同。 65第65頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日三、直線段裁剪 1、點(diǎn)的剪裁 裁剪的過(guò)程就是對(duì)窗口內(nèi)每個(gè)圖形元素都得劃分一下可見(jiàn)部分和不可見(jiàn)部分。裁剪可以在各種不同類型的圖形元素上實(shí)現(xiàn)，如點(diǎn)、向量、直線段、字符以及多邊形等。 裁剪算法中最基本的情況是點(diǎn)的裁剪。判斷某一點(diǎn)P（x，y）是否可見(jiàn)，可以利用下列一對(duì)不等式來(lái)確定該點(diǎn)是否在窗口范圍內(nèi)。如圖所示: Wxl xW Wxr Wy

31、b yW Wyt 滿足上述兩個(gè)不等式的點(diǎn)即在窗口內(nèi)，屬于可見(jiàn)的點(diǎn)，應(yīng)該保留；反之，則該點(diǎn)不可見(jiàn)，應(yīng)予舍棄。 WytWybWxlWxr66第66頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日 2、直線段與窗口關(guān)系 點(diǎn)的裁剪雖然很簡(jiǎn)單，但要把所有的圖形元素轉(zhuǎn)換成點(diǎn)，然后用上述不等式判別是否可見(jiàn)，那是很不現(xiàn)實(shí)的。這樣的裁剪過(guò)程所在時(shí)間就會(huì)過(guò)長(zhǎng)，不經(jīng)濟(jì)。因此，要求一種適合較大的圖形元素，比較有效的裁剪方法。直線段是組成一切其它圖形的基礎(chǔ)。任何圖形（包括曲線、字符和多邊形），一般都能用不同直線段組合形成 對(duì)于任意一條直線段，它相對(duì)于一個(gè)已定義的窗口位置關(guān)系不外乎有四種可能，如圖所示。 直線段完

32、全被排斥在窗口的邊框之外直線段完全被包含在窗口之內(nèi)直線段和窗口的一條邊框相交，使得該直線段被相交點(diǎn)分成兩截，其中的一個(gè)截段落在窗口之內(nèi)，而另一個(gè)截段留在窗口之外直線段貫穿整個(gè)窗口，這樣，直線段就與窗口的兩條邊框相交，使得原直線段被分成三個(gè)截段，其中只能有一個(gè)截段落在窗口內(nèi)，而另外的兩段都處于窗口之外，67第67頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日歸納以上四種情況，可以得出這樣一個(gè)結(jié)論：對(duì)于任意一條直線段，它要么被完全排斥在窗口之外，如上述的情況（1）；要么在窗口內(nèi)留下一個(gè)可見(jiàn)段，并且只能有一個(gè)可見(jiàn)段,如上所述的情況（2）、（3）和（4）。因?yàn)橐粭l直線段可以由它的兩個(gè)端點(diǎn)來(lái)唯

33、一地確定，所以，要確定一條直線段上位于窗口以內(nèi)的可見(jiàn)段，僅需求得它的兩個(gè)可見(jiàn)端點(diǎn)就行了。下面我們介紹幾種直線剪裁法 68第68頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日3編碼裁剪法（1）編碼規(guī)則 這一方法是由庫(kù)恩和薩瑟蘭德（Cohen和Sutherland）提出的，該方法是把包含窗口的平面區(qū)域沿窗口的四條邊線分成九個(gè)區(qū)域. 每個(gè)區(qū)域用一個(gè)四位代碼來(lái)表示，代碼中每一位分別是0或1，是按照窗口邊線來(lái)確定的，下面給出編碼規(guī)則，其中 最右邊的位是第一位，依次第 二、三、四位。 第一位置 l:該端點(diǎn)位于窗口左側(cè) 第二位置 l:該端點(diǎn)位于窗口右側(cè) 第三位置 1:該端點(diǎn)位于窗口下面 第四位置

34、l:該端點(diǎn)位于窗口上面 否則，相應(yīng)位置置0。 69第69頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日 由編碼規(guī)則可知，若線段兩端點(diǎn)編碼均為零，則兩點(diǎn)均在窗口內(nèi)，線段完全可見(jiàn)。因此，要判斷兩端點(diǎn)線段與窗口對(duì)應(yīng)關(guān)系，可用兩個(gè)端點(diǎn)編碼逐位取邏輯“與”，若線段兩端點(diǎn)邏輯“與”不為0，必在窗口外，根據(jù)圖形中直線兩端點(diǎn)p1，p2按其所在區(qū)域賦予相應(yīng)代碼，以C1和C2表示，然后再根據(jù)端點(diǎn)對(duì)直線進(jìn)行可見(jiàn)和不可見(jiàn)判斷（2）算法步驟下面給出直線段裁剪編碼算法步驟：當(dāng)兩端點(diǎn)P1 (x1,y1)和P2 (x2,y2)，在區(qū)域0000中，即滿足點(diǎn)的裁剪不等式。 Wxl (x1,x2) Wxr Wyb (y1

35、,y2)Wyt則兩端點(diǎn)代碼C1C20 表示均在窗口內(nèi)，應(yīng)全部保留70第70頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日當(dāng)兩個(gè)端點(diǎn)在窗口邊線外的同側(cè)位置，則它們的四位代碼中，有一相同位，同時(shí)為“1”，顯然兩個(gè)端點(diǎn)代碼的邏輯乘不等于零。即C1C2 0。此檢查判斷直線在窗口外，應(yīng)全部舍棄。如果直線兩端點(diǎn)不符合上述兩種情況，不能簡(jiǎn)單地全部保留或全部舍棄直線時(shí)，則需計(jì)算出直線與窗口邊線的交點(diǎn)，將直線分段后繼續(xù)進(jìn)行檢查判斷。這樣可以逐段地舍棄位于窗口外的線段，保留剩在窗口內(nèi)的線段。 71第71頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日 如圖所示，用編碼裁剪算法對(duì) P1P2線段裁剪

36、，可以在C點(diǎn)分割，對(duì)P2C，CP1進(jìn)行判別，舍棄P2C，再分割CP1于D點(diǎn)，對(duì)CD，DP1作判別，舍棄CD，而DP1全部位于窗口內(nèi)，算法即告結(jié)束。 應(yīng)該指出的是，分割線段是從C點(diǎn)還是D點(diǎn)開(kāi)始，這是難以確定的，因此只能隨機(jī)的，但是最后結(jié)果是相同的。72第72頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日（3）交點(diǎn)的求法下面介紹交點(diǎn)的求法。設(shè)直線的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為P1 （x1，y1）和P2 （x2，y2）如圖所示，直線與窗口四條邊線的交點(diǎn)坐標(biāo)，可分別由下列公式確定：（利用相似直角三角形比例關(guān)系）左交點(diǎn):右交點(diǎn):73第73頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日下交點(diǎn)：上交點(diǎn)：

37、 74第74頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日4. 矢量裁剪法(略)75第75頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日5中點(diǎn)分割裁剪法上面介紹兩種方法都要計(jì)算直線段與窗口邊界交點(diǎn)，這不可避免地要進(jìn)行大量乘除運(yùn)算，勢(shì)必會(huì)降低程序執(zhí)行效率。而中點(diǎn)分割裁剪卻只需用到加法和除2運(yùn)算，而除2在計(jì)算機(jī)中可以簡(jiǎn)單地用右移一位來(lái)完成，從而提高算法的效率。（1）基本思想 中點(diǎn)分割算法基本思想是：分別尋找直線段兩個(gè)端點(diǎn)各自對(duì)應(yīng)最遠(yuǎn)的可見(jiàn)點(diǎn)，只要該線段能在窗口內(nèi)留下一個(gè)可見(jiàn)段，那么這個(gè)最遠(yuǎn)的可見(jiàn)點(diǎn)只有兩種選擇：要么是直線段一個(gè)相應(yīng)端點(diǎn)；要么是在不斷中點(diǎn)再分過(guò)程中產(chǎn)生的某個(gè)子段的

38、中點(diǎn)。 76第76頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日?qǐng)D中直線段e說(shuō)明，該線段處于窗口內(nèi)的可見(jiàn)段部分是線段S1S2, S1和S2是可見(jiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)，其中S2是距原線段端點(diǎn)P1最遠(yuǎn)的可見(jiàn)點(diǎn)；同樣，S1是距原線段端點(diǎn)P2最遠(yuǎn)的可見(jiàn)點(diǎn)。 下面，我們以找出直線段P1P2上離P1點(diǎn)最遠(yuǎn)的可見(jiàn)點(diǎn)為例，來(lái)對(duì)中點(diǎn)再分裁減算法加以說(shuō)明。 77第77頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日算法步驟如下：（l）檢驗(yàn)直線段P1P2是否完全被排斥在窗口之外。如果是，過(guò)程結(jié)束且無(wú)輸出線段（如圖中的線段b）；否則繼續(xù)執(zhí)行下一步。 （2）檢驗(yàn)點(diǎn)P2是否可見(jiàn)。如果是，則P2點(diǎn)就是離P1點(diǎn)最遠(yuǎn)

39、的可見(jiàn)點(diǎn)，過(guò)程結(jié)束（圖中的線段a）。如果P2點(diǎn)是不可見(jiàn)的（如圖中的線段c或線段d），那么繼續(xù)執(zhí)行下一步。 78第78頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日（3）分割直線段P1P2于中點(diǎn)Pm（這是為了估計(jì)離P1點(diǎn)最遠(yuǎn)的可見(jiàn)點(diǎn),把它簡(jiǎn)單地取作中點(diǎn)）。如果線段PmP2被完全排斥在窗口之外，那么原估計(jì)還不足（如圖 4.79 中的線段d），便以線段P1Pm作為新的P1P2線段從算法的第一步重新開(kāi)始執(zhí)行。反之，則以線段PmP2為新的線段P1P2（如圖的線段c）從算法的第一步重新開(kāi)始執(zhí)行。 反復(fù)執(zhí)行上述三步，直至找到離P1點(diǎn)最遠(yuǎn)的可見(jiàn)點(diǎn)為止。 分割直線段P1P2于中點(diǎn)Pm線段PmP2被完全

40、排斥在窗口之外,以線段P1Pm作為新的P1P2再取中點(diǎn)線段PmP2沒(méi)有被完全排斥在窗口之外,以線段PmP2作為新的P1P2再取中點(diǎn)79第79頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日這個(gè)過(guò)程確定了距離P1點(diǎn)最遠(yuǎn)的可見(jiàn)點(diǎn)。然后對(duì)調(diào)該線段的兩個(gè)端點(diǎn)，以線段P2P1為新的P1P2線段，重新開(kāi)始實(shí)施該算法過(guò)程，就可以確定出距離P2點(diǎn)最遠(yuǎn)的可見(jiàn)點(diǎn)。這樣，位于窗口內(nèi)可見(jiàn)段的兩個(gè)可見(jiàn)端點(diǎn)就確定了。從這個(gè)算法中我們可以看到，整個(gè)裁剪過(guò)程總是在執(zhí)行第一步或第二步時(shí)結(jié)束。這種結(jié)果表明：被裁剪的線段要么完全處于窗口之外而被排除掉；要么能在窗口內(nèi)得到一個(gè)距對(duì)應(yīng)端點(diǎn)最遠(yuǎn)的可見(jiàn)點(diǎn)，這個(gè)可見(jiàn)點(diǎn)可能是原直線段的

41、一個(gè)端點(diǎn)，也可能是線段在被不斷地中點(diǎn)再分過(guò)程中，最終得到的剛好和窗口邊框相重的那個(gè)中點(diǎn)。這里要注意的是：在判斷中點(diǎn)和窗口邊框相重時(shí)，一般不需要坐標(biāo)值一定相等，也不大可能，只要在精度許可前提下，給出一個(gè)誤差允許范圍。 80第80頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日三、多邊形裁剪1、概述 前面我們討論了直線段剪裁，多邊形裁剪是以線段裁剪為基礎(chǔ)，但又不同于線段的裁剪。多邊形裁剪要比一條線段裁剪復(fù)雜得多。如圖所示，用一個(gè)矩形窗口去裁剪多邊形將會(huì)遇到各種不同情況。 裁剪多邊形要解決兩個(gè)問(wèn)題。其一是一個(gè)完整的封閉多邊形經(jīng)裁剪后一般不再是封閉的，需要用窗口邊界適當(dāng)部分來(lái)封閉它。其二是矩形

42、窗口的四個(gè)角點(diǎn)在裁剪中是否要與其它交點(diǎn)連線。由于這兩個(gè)問(wèn)題使得我們不能簡(jiǎn)單地應(yīng)用直線段裁剪方法。而需要去研究適合多邊形裁剪特點(diǎn)的算法。 81第81頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日一個(gè)完整的多邊形被裁剪成兩個(gè)獨(dú)立的多邊形一個(gè)凹多邊形被裁剪成幾個(gè)小多邊形多邊形G經(jīng)矩形窗口裁剪后出現(xiàn)G1和G2兩個(gè)多邊形82第82頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日2、多邊形剪裁原理 多邊形裁剪方法很多，例如逐邊裁剪法，雙邊裁剪法，分區(qū)編碼裁剪法等，這里僅介紹逐邊裁剪法。 逐邊裁剪法是薩瑟蘭德（I.E.Sutherland）和霍德曼（Hodglhan）在1974年提出的。這

43、種算法采用了分割處理、逐邊裁剪的方法。 算法的依據(jù)是：簡(jiǎn)單地通過(guò)對(duì)單一邊或面的裁剪實(shí)現(xiàn)對(duì)多邊形的裁剪?，F(xiàn)討論窗口為矩形的裁剪，先用窗口的第一條邊界對(duì)要裁剪的多邊形進(jìn)行裁剪，去掉窗口外的圖形，保留窗口內(nèi)的圖形，形成一個(gè)新的多邊形。然后，再用第二條邊界對(duì)這個(gè)新的多邊形進(jìn)行裁剪，再次生成一個(gè)新的多邊形。依次用第三、第四條邊界重復(fù)進(jìn)行裁剪，形成了最后裁剪出來(lái)的多邊形，整個(gè)裁剪過(guò)程結(jié)束83第83頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日（a）裁剪前圖形（b）以AB邊裁剪（c）以BC邊裁剪剪圖形（d）以CD邊裁剪剪圖形（e）以DA邊裁剪先用窗口的第一條邊界對(duì)要裁剪的多邊形進(jìn)行裁剪，去掉窗口外的圖形，保留窗口內(nèi)的圖形再用窗口的第二條邊界對(duì)要裁剪的多邊形進(jìn)行裁剪，去掉窗口外的圖形，保留窗口內(nèi)的圖形84第84頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期日 逐邊裁剪法實(shí)質(zhì)是用窗口四條邊分別對(duì)多邊形一邊進(jìn)行剪取。剪取后結(jié)果是輸出一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)表。由于在剪取過(guò)程中，實(shí)際是多邊形的每一邊與窗口的一邊界進(jìn)行比較，從而確定它們的位置關(guān)系。 假定取多邊形頂點(diǎn)表中的某一點(diǎn)Pi作為一邊的終點(diǎn)，表中位于前