基本計(jì)數(shù)原理

1、基本計(jì)數(shù)原理一、主要內(nèi)容一般計(jì)數(shù)原理部分的考試，分為兩種，一是排列組合二項(xiàng)式定理單獨(dú)出題，二是在概率中需 要用到排列組合二項(xiàng)式定理。1、基本計(jì)數(shù)原理2、排列和組合3、常用方法二、知識梳理1、基本計(jì)數(shù)原理（1）分類加法計(jì)數(shù)原理從甲地到乙地，可乘坐三類交通工具：可以乘火車，可以坐汽車，還可以乘輪船，假定火車 每日1班，汽車每日3班，輪船每日2班，那么一天中從甲地到乙地有多少種不同的走法？（1+3+2=6 種）做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中，有m 1種不同的方法，在第二類辦法中，有m2種不同的方法，以此類推，在第n類辦法中，有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N = m + m +.

2、+ m 種不同的方法。（2）分步乘法計(jì)數(shù)原理。某中學(xué)的閱覽室有50本不同的科技書，80本不同的文藝書，現(xiàn)在張三同學(xué)想借1本科技書和1本文藝書，共有多少種借法？ （ 50*80=4000）做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有mi種不同的方法，做第二個(gè)步驟有m2m種不同的方法，以此類推，做第n個(gè)步驟有n種不同的方法，那么完成這件事共有m x m x.x m種不同的方法。以上兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問題最基本的理論依據(jù)。他們分別給出了兩種不同方式完 成一件事的方法總數(shù)的不同計(jì)算方法。注意：分類要“不重不漏”，每類的每一種方法都能獨(dú)立完成事件；分步要“步驟完整”，每一步不能完成事件，只有

3、各步依次都完成，才能完成事件。2、排列與組合排列有紅球、白球、黃球各一個(gè)，現(xiàn)從這三個(gè)小球中任取兩個(gè)，分別放入甲、乙盒子里，有多少 種不同的方法？(3*2=6)我們把被取的對象叫做元素。取出的元素按照已知的順序排成一列，我們稱它為該問題的一 個(gè)排列。一般地，從n個(gè)不同元素中任取出m(m n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n 個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。兩個(gè)排列相同，則組成排列的元素相同，并且元素的排列順序也相同。從n個(gè)不同元素中取出m(m n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號Am表示。n根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到公式Am = n(n - 1

4、)(n 2) . . . (n m +1)n這里n,m e N*，并且m n，這個(gè)公式叫做排列數(shù)公式。一般地，n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列，這時(shí)m = n，則有Am = n (n 1) (n 2) 3 2 1，這個(gè)公式是由1到n。我們把正整數(shù)1到n的連 n乘積，叫做n的階乘，用n!表示。所以n個(gè)不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成An = n!n,n!排列數(shù)的公式還有下面的另一種形式：Am =，我們規(guī)定!=1 on (n m)!組合有紅球、黃球、白球各一個(gè)，從這三個(gè)小球中，任意取出兩個(gè)小球，共有多少種不同的取法？(與順序無關(guān)，共3種)一般地，從n個(gè)不同元素中，任意取出

5、m(m n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中 任取m個(gè)元素的一個(gè)組合。從n個(gè)不同元素中，任意取出m(m n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中，任意取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號Cm表示。一般地，從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元素的排列，可以分兩步完成：第一步選取元素從n個(gè)不同元素中，任意m個(gè)元素的組合，有種Cm方法;第二步 排位置 選出的m個(gè)不同元素的全排列，有Am種方法。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得:Am = Cm AmAmCm = n-由Am的計(jì)算公式和n Am可以得出組合數(shù)Cm的計(jì)算公式為:Cm =nn(n - 1)(n - 2).(n - m +1)m!Cmnn!m!(n - m

6、)!通過上面兩個(gè)公式還可以推出：Cn=1（3）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)性質(zhì)1Cm = Cn-m性質(zhì)2Cm = Cm + Cm-13、排列組合的常用方法（1）捆綁法解決相鄰問題；（2）插空法解決不相鄰問題；（3）除序法解決相同元素問題，除序法是除法；（4）排除法解決算多了需要減掉多余的，排除法是減法;（5）特殊元與特殊位優(yōu)先解決，再解決一般；（6）窮舉法。練習(xí)題1、一個(gè)科技小組中有3名女同學(xué)，5名男同學(xué)（1）若從中任選一名同學(xué)參加學(xué)科競賽，共有多少種選派方法？（2）若從中任選一名女同學(xué)和一名男同學(xué)參加學(xué)科競賽，共有多少種選派方法？2、求證：C2 + C2 + C2 +. + C2 = C33、（1）4個(gè)

7、同學(xué)分配到3個(gè)課外小組中，共有幾種分配方法？（2）4個(gè)同學(xué)爭奪3項(xiàng)競賽的冠軍，冠軍的獲得者共有幾種可能情況？4、4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？5、四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有？6、某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有 一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法 有多少種？7、從6名男生和4名女生中，選3名代表，要求至少包含1名女生，則不同的選法有種？8、12個(gè)籃球隊(duì)中有3個(gè)強(qiáng)隊(duì)，將這12個(gè)隊(duì)任意分成3個(gè)組，則3個(gè)強(qiáng)隊(duì)恰好被分在同一 組的概

8、率為？9、7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？10、3個(gè)歌舞，4個(gè)獨(dú)唱，2個(gè)小品排成一份節(jié)目單，3個(gè)歌舞中任意兩個(gè)都不排在一起，共 有多少種排法？11、求三元一次方程x + y + z = 100 （ x, y, z e N+）解的個(gè)數(shù)？12、5名運(yùn)動(dòng)員參加軍事三項(xiàng)賽，射擊、游泳和長跑各設(shè)一名冠軍，則三項(xiàng)冠軍獲得者的結(jié) 果有多少種？13、有3枚一分硬幣，6枚一角硬幣，4張十元硬幣，共組成多少種非零幣值？14、甲乙丙丁參加400米接力比賽，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同跑法？15、某宿舍4個(gè)人互贈(zèng)賀卡，每個(gè)人都拿到不是自己的賀卡情況有多少種？16、8個(gè)人排

9、隊(duì)照相，按如下要求各有多少種不同的排隊(duì)方法：（1）甲乙丙三人必須相鄰，丁戊不相鄰；（2）甲乙兩人必須站中間，丙丁兩人不站兩端；（3）甲不在左端且不在乙右側(cè)的任何位置；（4）8人中，有4個(gè)男生4個(gè)女生，要求同性別不相鄰。17、8個(gè)人中，3個(gè)大人5個(gè)小孩，要求每個(gè)大人右邊相鄰的必是小孩，有幾種方法?18、8人中3名教師，5名學(xué)生（1）3名教師隨意站，5名學(xué)生必須從左至右從高到低，共有幾種方法？（2）甲乙兩人必須相鄰，且甲乙都不與丙相鄰，共有多少種排法？19、用09這十個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)（1）可組成多少個(gè)四位的自然數(shù)？（2）可組成多少個(gè)四位偶數(shù)？（3）可組成多少個(gè)被25整除的四位數(shù)？（4）可組成多少個(gè)從高位開始偶數(shù)位上是偶數(shù)的四位數(shù)？（5）可組成的四位自然數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字之和？（6）比5612大的四位數(shù)有多少個(gè)？（7）將組成的所有四位數(shù)按大小從小到大排隊(duì)，第1010個(gè)數(shù)是哪個(gè)？20、從16