初中數(shù)學(xué)奧數(shù)解題技巧方法歸納

1、第 PAGE15 頁 共 NUMPAGES15 頁初中數(shù)學(xué)奧數(shù)解題技巧方法歸納奧數(shù)的解題技巧倒推法從題目所述的最后結(jié)果出發(fā)，利用條件一步一步向前倒推，直到題目中問題得到解決。正難那么反有些數(shù)學(xué)問題假設(shè)你從條件正面出發(fā)考慮有困難，那么你可以改變考慮的方向，從結(jié)果或問題的反面出發(fā)來考慮問題，使問題得到解決。直觀畫圖法解奧數(shù)題時(shí)，假設(shè)能合理的.、科學(xué)的、巧妙的借助點(diǎn)、線、面、圖、表將奧數(shù)問題直觀形象的展示出來，將抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，可使同學(xué)們?nèi)菀赘闱鍞?shù)量關(guān)系，溝通“”與“未知”的聯(lián)絡(luò)，抓住問題的本質(zhì)，迅速解題。枚舉法奧數(shù)題中常常出現(xiàn)一些數(shù)量關(guān)系非常特殊的題目，用普通的方法很難列式解答，有時(shí)根本列不

2、出相應(yīng)的算式來。我們可以用枚舉法，根據(jù)題目的要求，一一列舉根本符合要求的數(shù)據(jù)，然后從中挑選出符合要求的答案。巧妙轉(zhuǎn)化在解奧數(shù)題時(shí)，經(jīng)常要提醒自己，遇到的新問題能否轉(zhuǎn)化成舊問題解決，化新為舊，透過外表，抓住問題的本質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化成自己熟悉的問題去解答。轉(zhuǎn)化的類型有條件轉(zhuǎn)化、問題轉(zhuǎn)化、關(guān)系轉(zhuǎn)化、圖形轉(zhuǎn)化等。整體把握有些奧數(shù)題，假設(shè)從細(xì)節(jié)上考慮，很繁雜，也沒有必要，假設(shè)能從整體上把握，宏觀上考慮，通過研究問題的整體形式、整體構(gòu)造、局部與整體的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)，“只見森林，不見樹木”，來求得問題的解決。初中奧數(shù)常用的解題方法【配方法】所謂配方，就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多

3、項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用非常非常廣泛，在因式分解、化簡(jiǎn)根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。【因式分解法】因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的根底，它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、換元、待定系數(shù)等等?！緭Q元法】換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用

4、非常廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)局部或改造原來的式子，使它簡(jiǎn)化，使問題易于解決?！九袆e式法與韋達(dá)定理】一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c屬于R，a0)根的判別，=b2-4ac，不僅用來斷定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。韋達(dá)定理除了一元二次方程的一個(gè)根，求另一根;兩個(gè)數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù)等簡(jiǎn)單應(yīng)用外，還可以求根的對(duì)稱函數(shù)，計(jì)論二次方程根的符號(hào)，解對(duì)稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應(yīng)用。【

5、待定系數(shù)法】在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，假設(shè)先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。【構(gòu)造法】在解題時(shí)，我們常常會(huì)采用這樣的方法，通過對(duì)條件和結(jié)論的分析p ，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程(組)、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相浸透，有利于問題的解決?！痉醋C法】反

6、證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否認(rèn)相反的假設(shè)，到達(dá)肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè);(2)歸謬;(3)結(jié)論。反設(shè)是反證法的根底，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否認(rèn)的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一個(gè)/一個(gè)也沒有;至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè);至多有一個(gè)/至少有兩個(gè);唯

7、一/至少有兩個(gè)。歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的形式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否那么推導(dǎo)將成為無之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與條件矛盾;與的公理、定義、定理、公式矛盾;與反設(shè)矛盾;自相矛盾?！久娣e法】平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計(jì)算面積，而且用它來證明平面幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計(jì)算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。用歸納法或分析p 法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點(diǎn)是把和未知各量用面積公式聯(lián)絡(luò)起來，通過運(yùn)算到達(dá)求證的結(jié)果。所以用面積法來解幾何

8、題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的的關(guān)系，只需要計(jì)算，有時(shí)可以不添置補(bǔ)助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。【幾何變換法】在數(shù)學(xué)問題的研究中，常常運(yùn)用變換法，把復(fù)雜性問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單性的問題而得到解決。所謂變換是一個(gè)集合的任一元素到同一集合的元素的一個(gè)一一映射。中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習(xí)題，可以借助幾何變換法，化繁為簡(jiǎn)，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點(diǎn)浸透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運(yùn)動(dòng)中的研究結(jié)合起來，有利于對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。幾何變換包括：(1)平移;(2)旋轉(zhuǎn);(3)對(duì)稱?！究陀^性題的解題方法】選擇題是給出條件和結(jié)論，要

9、求根據(jù)一定的關(guān)系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構(gòu)思精巧，形式靈敏，可以比較全面地考察學(xué)生的根底知識(shí)和根本技能，從而增大了試卷的容量和知識(shí)覆蓋面。填空題是標(biāo)準(zhǔn)化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考察目的明確，知識(shí)復(fù)蓋面廣，評(píng)卷準(zhǔn)確迅速，有利于考察學(xué)生的分析p 判斷才能和計(jì)算才能等優(yōu)點(diǎn)，不同的是填空題未給出答案，可以防止學(xué)生猜估答案的情況。奧數(shù)十一種解題技巧1對(duì)照法如何正確地理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念?小學(xué)數(shù)學(xué)常用的方法就是對(duì)照法。根據(jù)數(shù)學(xué)題意，對(duì)照概念、性質(zhì)、定律、法那么、公式、名詞、術(shù)語的含義和本質(zhì)，依靠對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、記憶、辨識(shí)、再現(xiàn)、遷移來解題的方法叫做對(duì)照法。這個(gè)方法的思維意義就在于

10、，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的正確理解、結(jié)實(shí)記憶、準(zhǔn)確辨識(shí)。例1：三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是18，那么這三個(gè)自然數(shù)從小到大分別是多少?對(duì)照自然數(shù)的概念和連續(xù)自然數(shù)的性質(zhì)可以知道：三個(gè)連續(xù)自然數(shù)和的平均數(shù)就是這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的中間那個(gè)數(shù)。例2：判斷題：能被2除盡的數(shù)一定是偶數(shù)。這里要對(duì)照“除盡”和“偶數(shù)”這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念。只有這兩個(gè)概念全理解了，才能做出正確判斷。2公式法運(yùn)用定律、公式、規(guī)那么、法那么來解決問題的方法。它表達(dá)的是由一般到特殊的演繹思維。公式法簡(jiǎn)便、有效，也是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須學(xué)會(huì)和掌握的一種方法。但一定要讓學(xué)生對(duì)公式、定律、規(guī)那么、法那么有一個(gè)正確而深化的理解，并能準(zhǔn)確運(yùn)用。例3：計(jì)算5937+

11、1259+595937+1259+59=59(37+12+1)運(yùn)用乘法分配律=5950運(yùn)用加法計(jì)算法那么=(60-1)50運(yùn)用數(shù)的組成規(guī)那么=6050-150運(yùn)用乘法分配律=3000-50運(yùn)用乘法計(jì)算法那么=2950運(yùn)用減法計(jì)算法那么3比較法通過比照數(shù)學(xué)條件及問題的異同點(diǎn)，研究產(chǎn)生異同點(diǎn)的原因，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，叫比較法。比較法要注意：(1)找一樣點(diǎn)必找相異點(diǎn)，找相異點(diǎn)必找一樣點(diǎn)，不可或缺，也就是說，比較要完好。(2)找聯(lián)絡(luò)與區(qū)別，這是比較的本質(zhì)。(3)必須在同一種關(guān)系下(同一種標(biāo)準(zhǔn))進(jìn)展比較，這是“比較”的根本條件。(4)要抓住主要內(nèi)容進(jìn)展比較，盡量少用“窮舉法”進(jìn)展比較，那樣會(huì)使重點(diǎn)

12、不突出。(5)因?yàn)閿?shù)學(xué)的嚴(yán)密性，決定了比較必需要精細(xì)，往往一個(gè)字，一個(gè)符號(hào)就決定了比較結(jié)論的對(duì)或錯(cuò)。例4：填空：0.75的最高位是( )，這個(gè)數(shù)小數(shù)局部的最高位是( 非常位的數(shù)4與十位上的數(shù)4相比，它們的( )一樣，( )不同，前者比后者小了( )。這道題的意圖就是要對(duì)“一個(gè)數(shù)的最高位和小數(shù)局部的最高位的區(qū)別”，還有“數(shù)位和數(shù)值”的區(qū)別等。例5：六年級(jí)同學(xué)種一批樹，假設(shè)每人種5棵，那么剩下75棵樹沒有種;假設(shè)每人種7棵，那么缺少15棵樹苗。六年級(jí)有多少學(xué)生?這是兩種方案的比較。一樣點(diǎn)是：六年級(jí)人數(shù)不變;相異點(diǎn)是：兩種方案中的條件不一樣。找聯(lián)絡(luò)：每人種樹棵數(shù)變化了，種樹的總棵數(shù)也發(fā)生了變化。找解

13、決思路(方法)：每人多種7-5=2(棵)，那么，全班就多種了75+15=90(棵)，全班人數(shù)為902=45(人)。4分類法根據(jù)事物的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)將事物區(qū)分為不同種類的方法，叫做分類法。分類是以比較為根底的。根據(jù)事物之間的共同點(diǎn)將它們合為較大的類，又根據(jù)差異點(diǎn)將較大的類再分為較小的類。分類即要注意大類與小類之間的不同層次，又要做到大類之中的各小類不重復(fù)、不遺漏、不穿插。例6：自然數(shù)按約數(shù)的個(gè)數(shù)來分，可分成幾類?答：可分為三類。(1)只有一個(gè)約數(shù)的數(shù)，它是一個(gè)單位數(shù)，只有一個(gè)數(shù)1;(2)有兩個(gè)約數(shù)的，也叫質(zhì)數(shù)，有無數(shù)個(gè);(3)有三個(gè)約數(shù)的，也叫合數(shù)，也有無數(shù)個(gè)。5分析p 法把整體分解為局部，把復(fù)

14、雜的事物分解為各個(gè)局部或要素，并對(duì)這些局部或要素進(jìn)展研究、推導(dǎo)的一種思維方法叫做分析p 法。根據(jù)：總體都是由局部構(gòu)成的。思路：為了更好地研究和解決總體，先把整體的各局部或要素割裂開來，再分別對(duì)照要求，從而理順解決問題的思路。也就是從求解的問題出發(fā)，正確選擇所需要的兩個(gè)條件，依次推導(dǎo)，一直到問題得到解決為止，這種解題形式是“由果溯因”。分析p 法也叫逆推法。常用“枝形圖”進(jìn)展圖解思路。例7：玩具廠方案每天消費(fèi)200件玩具，已經(jīng)消費(fèi)了6天，共消費(fèi)1260件。問平均每天超過方案多少件?思路：要求平均每天超過方案多少件，必須知道：方案每天消費(fèi)多少件和實(shí)際每天消費(fèi)多少件。方案每天消費(fèi)多少件，實(shí)際每天消費(fèi)

15、多少件，題中沒有告訴， 還得求出來。要?jiǎng)?wù)實(shí)際每天消費(fèi)多少件玩具，必須知道：實(shí)際消費(fèi)多少天，和實(shí)際消費(fèi)多少件，這兩個(gè)條件題中都。6綜合法把對(duì)象的各個(gè)局部或各個(gè)方面或各個(gè)要素聯(lián)結(jié)起來，并組合成一個(gè)有機(jī)的整體來研究、推導(dǎo)和一種思維方法叫做綜合法。用綜合法解數(shù)學(xué)題時(shí)，通常把各個(gè)題知看作是局部(或要素)，經(jīng)過對(duì)各局部(或要素)互相之間內(nèi)在聯(lián)絡(luò)一層層分析p ，逐步推導(dǎo)到題目要求，所以，綜合法的解題形式是執(zhí)因?qū)Ч?，也叫順推法。這種方法適用于條件較少，數(shù)量關(guān)系比較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題。例8：兩個(gè)質(zhì)數(shù)，它們的差是小于30的合數(shù)，它們的和即是11的倍數(shù)又是小于50的偶數(shù)。寫出適宜上面條件的各組數(shù)。思路：11的倍數(shù)同時(shí)小于

16、50的偶數(shù)有22和44。兩個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)，而和是偶數(shù)，顯然這兩個(gè)質(zhì)數(shù)中沒有2。和是22的兩個(gè)質(zhì)數(shù)有：3和19，5和17。它們的差都是小于30的合數(shù)嗎?和是44的兩個(gè)質(zhì)數(shù)有：3和41，7和37，13和31。它們的差是小于30的合數(shù)嗎?這就是綜合法的思路。7方程法用字母表示未知數(shù)，并根據(jù)等量關(guān)系列出含有字母的表達(dá)式(等式)。列方程是一個(gè)抽象概括的過程，解方程是一個(gè)演繹推導(dǎo)的過程。方程法最大的特點(diǎn)是把未知 數(shù)等同于數(shù)對(duì)待，參與列式、運(yùn)算，抑制了算術(shù)法必須避開求知數(shù)來列式的缺乏。有利于由向未知的轉(zhuǎn)化，從而進(jìn)步理解題的效率和正確率。例9：一個(gè)數(shù)擴(kuò)大3倍后再增加100，然后縮小2倍后再減去36，得50。求這

17、個(gè)數(shù)。例10：一桶油，第一次用去40%，第二次比第一次多用10千克，還剩余6千克。這桶油重多少千克?這兩題用方程解就比較容易。8參數(shù)法用只參與列式、運(yùn)算而不需要解出的字母或數(shù)表示有關(guān)數(shù)量，并根據(jù)題意列出算式的一種方法叫做參數(shù)法。參數(shù)又叫輔助未知數(shù)，也稱中間變量。參數(shù)法是方程法延伸、拓展的產(chǎn)物。例11：汽車爬山，上山時(shí)平均每小時(shí)行15千米，下山時(shí)平均每小時(shí)行駛10千米，問汽車的平均速度是每小時(shí)多少千米?上下山的平均速度不能用上下山的速度和除以2。而應(yīng)該用上下山的路程2。例12：一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)做要4天完成，乙單獨(dú)做要5天完成。兩人合做要多少天完成?其實(shí)，把總工作量看作“1”，這個(gè)“1”就是參數(shù)，

18、假設(shè)把總工作量看作“2、3、4”都可以，只不過看作“1”運(yùn)算最方便。9排除法排除對(duì)立的結(jié)果叫做排除法。排除法的邏輯原理是：任何事物都有其對(duì)立面，在有正確與錯(cuò)誤的多種結(jié)果中，一切錯(cuò)誤的結(jié)果都排除了，剩余的只能是正確的結(jié)果。這種方法也叫淘汰法、挑選法或反證法。這是一種不可缺少的形式思維方法。例13：為什么說除2外，所有質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)?這就要用反證法：比2大的所有自然數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。假設(shè)：比2大的質(zhì)數(shù)有偶數(shù)，那么，這個(gè)偶數(shù)一定能被2整除，也就是說它一定有約數(shù)2。一個(gè)數(shù)的約 數(shù)除了1和它本身外，還有別的約數(shù)(約數(shù)2)，這個(gè)數(shù)一定是合數(shù)而不是質(zhì)數(shù)。這和原來假定是質(zhì)數(shù)對(duì)立(矛盾)。所以，原來假設(shè)錯(cuò)誤。例14：判斷題：(1)同一平面上兩條直線不平行，就一定相交。(錯(cuò))(2)分?jǐn)?shù)的分子和分母同乘以或同除以一個(gè)一樣的數(shù)，分?jǐn)?shù)大小不變。(錯(cuò))10特例法對(duì)于涉及一般性結(jié)論的題目，通過取特殊值或畫特殊圖或定特殊位置等特例來解題的方法叫做特例法。特例法的邏輯原理是：事物的一般性存在于特殊性之中。例15：大圓半徑是小圓半徑的2倍，大圓周長(zhǎng)是小圓周長(zhǎng)的倍，大圓面積是小圓面積的倍。可以取小圓半徑為1，那么大圓半徑就是2。計(jì)算一下，就能得出正確結(jié)果。例16：正方形的面積和邊長(zhǎng)成正比例嗎?假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，面積為s。那么，s：a=a(比值不定)所以，正方形的面積和邊長(zhǎng)不成正比例。11化歸法通