數(shù)字信號第二章第2章2ok

1、2.3周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式 周期序列不滿足絕對可和條件，其FT不能用定義式直接計算。由于是周期性的，可展成離散傅里葉級數(shù)，引入奇異函數(shù)()后，其FT可以用公式表示出來。周期為N的周期序列記為2.3.1周期序列的離散傅立葉級數(shù)（DFS）1、周期序列任何一個周期序列 都可看成是長度為N的有限長序列 的周期延拓。 的主值序列是的周期延拓是 主值區(qū)間：中從n=0到n=N-1的第一個周期主值序列: 主值區(qū)上的序列2、周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）連續(xù)周期信號 傅里葉級數(shù)FS Fn為非周期離散，基頻 ，諧波頻率為 離散周期信號 離散傅里葉級數(shù)DFS 基頻 ，基頻序列為 K次諧波頻

2、率為 ，K次諧波序列為: (2.3.1) 因為 l取整數(shù)即是周期為N的周期函數(shù)，所以離散傅里葉級數(shù)中只有N個獨立的諧波成分，展成傅里葉級數(shù)時，只能取k=0N-1的N個獨立的諧波分量。注：連續(xù)傅里葉級數(shù)有無窮多個諧波分量。求系數(shù)ak：上式兩邊乘以，并對n在一個周期N中求和，即式中(2.3.2) 因為可見是周期為N的周期函數(shù)。所以系數(shù)是以N為周期的周期序列:(2.3.3) 令 , 并將(2.3.3)式代入， 得到： (2.3.4)系數(shù)，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。是以N為周期的周期序列,稱為 的離散傅里葉級數(shù)即(2.3.5)離散傅里葉級數(shù)變換對(DFS)： (2

3、.3.7) 用 代替(2.3.1)式中的ak,得到(2.3.6) 記 則離散傅里葉級數(shù)變換對： 說明：將周期序列分解成N次諧波，第k個諧波頻率為：幅度為 。一個周期序列可以用其DFS系數(shù)表示其頻譜分布規(guī)律?！纠?.3.1】設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列，周期為8，求DFS。解：按照（2.3.6）式, 有其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。 圖2.3.1例2.3.1圖 頻域周期離散時域周期離散周期為N=8四種傅里葉變換非周期連續(xù)連續(xù)非周期非周期離散連續(xù)周期000 tT10離散非周期周期連續(xù)離散周期周期離散DFSDTFTFTFS

4、四種傅立葉變換非周期連續(xù)周期離散1. 連續(xù)非周期 連續(xù)非周期() FT2. 連續(xù)周期 離散非周期 () FS3. 離散非周期 連續(xù)周期（ ） DTFT4. 離散周期 離散周期 DFS 時域頻域2.3.2周期序列的傅里葉變換表示式（2.3.8） 1.復(fù)指數(shù)序列的傅里葉變換表示式連續(xù)信號：對于時域離散信號， 2/0為有理數(shù)，暫時假定其FT的形式與（2.3.8）式一樣，即是在0處的單位沖激函數(shù)，其強度為2，即為因：r取整數(shù)因此的FT為上式表示復(fù)指數(shù)序列的FT是在0+2r處的單位沖激函數(shù)，強度為2，如圖2.3.2所示。（2.3.9） 圖2.3.2 的FT 驗證：上述假定如果成立，則要求按照（2.2.4

5、）式的逆變換必須存在，且唯一等于 。按照逆變換定義式右邊：觀察圖2.3.2，在區(qū)間，只包括一個單位沖激函數(shù)(0)，等式右邊為，因此得到下式：證明了前面的假設(shè)即式（2.3.9）是 的DTFT。頻域周期延拓時域采樣2.一般周期序列 的傅里葉變換類似于復(fù)指數(shù)序列的傅里葉變換，其FT可寫為：周期序列展成DFS：第k次諧波分量為：因此 的DTFT如下式：式中，k=0, 1, 2, , N1。如果讓k在區(qū)間變化，上式可簡化成：一般周期序列的傅里葉變換（2.3.10）說明：、()表示單位沖激函數(shù)，而(n)表示單位脈沖序列。3、周期為 。2、周期序列的頻譜是由一系列沖激函數(shù)構(gòu)成，沖激函數(shù)位于序列的基頻和各次諧

6、波處，強度為傅里葉系數(shù) 的 倍?！纠?.3.2】求例2.3.1中周期序列的FT。其幅頻特性如圖2.3.3所示。解：由例2.3.1已知代入得注：1、同一個周期信號，其DFS和FT分別取模的形狀相同，不同的是FT用單位沖激函數(shù)表示。2、周期序列的頻譜分布用DFS或FT表示都可以，但畫圖時應(yīng)注意單位沖激函數(shù)的畫法。圖2.3.3周期為8周期為3.周期余(正)弦序列的傅里葉變換為有理數(shù)，求其DTFT。上式表明：cos0n的FT是在=0處的單位沖激函數(shù)，強度為，且以2為周期進行延拓，如圖2.3.4所示。 圖2.3.4cos0n的FT 周期正弦序列的傅里葉變換：為有理數(shù)。5.一些特殊序列的DTFT（1）全1

7、序列的DTFT已知令則說明：全1序列的FT是以=0為中心，間隔為2 的整數(shù)倍的一系列單位沖激函數(shù)，強度為2，周期為2。 （2）周期為N的單位抽樣序列串的傅里葉變換注：可把全1序列看做周期為N=1的單位抽樣序列串將N=1代入，得：（3）階躍序列的傅里葉變換令對上式進行FT，得到: 對上式進行FT，得到: 又注意：若信號有直流分量，差分運算會丟失直流信息，所以不能直接用差分運算來計算。不能用上述方法計算。表2.3.2基本序列的傅里葉變換 2.4時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關(guān)系1、連續(xù)信號、理想采樣信號、時域離散信號連續(xù)信號：理想采樣信號：時域離散信號：三者之間的關(guān)系：2、連續(xù)

8、信號、理想采樣信號、時域離散信號FT間的關(guān)系理想采樣信號和連續(xù)信號FT間的關(guān)系： X(e j)與Xa(j)之間、數(shù)字頻率與模擬頻率(f)之間有什么關(guān)系？令所以理想采樣信號和連續(xù)信號FT間的關(guān)系：令離散信號和模擬信號FT間的關(guān)系：周期延拓時域離散信號和連續(xù)信號FT間的關(guān)系：若使用歸一化頻率，則刻度相同。結(jié)論：1、時域離散信號的頻譜也是模擬信號的頻譜周期性延拓，周期為。2、計算模擬信號的FT可以用計算相應(yīng)的時域離散信號的FT得到： 首先按照采樣定理，以模擬信號最高頻率的兩倍以上頻率對模擬信號進行采樣得到時域離散信號，再通過計算機對該時域離散信號進行FT，得到它的頻譜函數(shù)，最后乘以采樣間隔Ts便得到模擬信號的FT，注意頻率軸上的關(guān)系式為=T。按照數(shù)字頻率和模擬頻率之間的關(guān)系，在一些文獻中經(jīng)常使用歸一化頻率f=f/Fs或=/s, =/2, 因為f、和都是無量綱量，刻度是一樣的，將f、f、的定標值對應(yīng)關(guān)系用圖2.4.1表示。圖2.4.1模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標關(guān)系若不滿足采樣定理，則會在=附近，或f=Fs/2附近引起頻域混疊。例 2.4.1設(shè)xa(t)=cos(2f0t)， f0=50 Hz。以采樣頻率fs=200 Hz對