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1、 學(xué)過(guò)數(shù)列極限概念后，自然會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)3 數(shù)列極限存在的條件 一、單調(diào)有界定理 下面就極限存在性問(wèn)題, 介紹兩個(gè)重要定理.二、柯西收斂準(zhǔn)則理論中占有非常重要的地位.極限? 其中, 判斷數(shù)列是否收斂, 這在極限即極限的存在性問(wèn)題; 二是如何計(jì)算數(shù)列的問(wèn)題：一是怎么知道一個(gè)數(shù)列是收斂的?返回一、單調(diào)有界定理定理 2.7 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.證 該命題的幾何意義是十分明顯的. 單調(diào)增，有上界. 由確界定理，存在由上確界的定義，對(duì)于任意的使存在()例1 設(shè)求解這就證明了由此得到有上界 2 ,由極限的不等式性, 知道 , 所以下面再來(lái)證明此數(shù)列有上界.于是由可得例2 下面的敘述錯(cuò)在哪兒？因?yàn)轱@然有從而得

2、出是最基本的, 而教材上的證法技巧性較強(qiáng).由此得*例3證證明:例4證二、柯西收斂準(zhǔn)則定理 2.8 數(shù)列收斂的充要條件是:柯西準(zhǔn)則的充要條件可用另一種形式表達(dá)為：滿足上述條件的數(shù)列稱為柯西列.對(duì)任意均有時(shí), 有證此這里僅給出必要性的證明.由此推得 柯西( Cauchy,A.L. 17891857 ,法國(guó) ) 由于該定理充分性的證明需要進(jìn)一步的知識(shí)，因 由柯西收斂準(zhǔn)則的否定陳述, 可知 發(fā)散.發(fā)散.證明例5證 取使得例6求證證 例7證論上特別有用, 大家將會(huì)逐漸體會(huì)到它的重要性. 2. 試給出 an 不是柯西列的正面陳述.1. 對(duì)于數(shù)列是否收斂的各種判別法加以總結(jié). 復(fù)習(xí)思考題注 柯西收斂準(zhǔn)則的意義在于: 可以根據(jù)數(shù)列通 項(xiàng)本身的特征來(lái)判斷該數(shù)列是否

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