偏微分方程數(shù)值解期末試題

1、偏微分方程數(shù)值解期末試題偏微分方程數(shù)值解試題(06B)參照答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)一(10分)、設(shè)矩陣A對(duì)稱，定義1( ,) (,)(n ),J ( x) Ax xb x X R2()J ( x0 x).若(0) 0 ,則稱稱xo是J ( x)的駐點(diǎn)(或穩(wěn)固點(diǎn)).矩陣A對(duì)稱(不用正定)，求證x0是J( x)的駐點(diǎn)的充要條件是：x0是方程組 Ax b的解解：設(shè)x0 R n是J (x)的駐點(diǎn)，關(guān)于隨意的x R n ,令2()J ( x0 x) J( x 0 )( Ax0 b, x) ( Ax, x),(3分)(0) 0 ,即對(duì)于任意的x Rn , ( Ax0 b, x) 0，特別取x Ax

2、0 b，則有(Ax0 b, Ax0 b) | Ax0 b |20，獲得 Ax 0 b . (3 分)反之,若x0R n滿足Ax0 b ,則關(guān)于隨意的x, J(x0 x) (1)(0) 1 ( Ax, x) J ( x0 )，所以 x0 是 J (x)的最小值點(diǎn).(4 分)2評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：()的睜開式3分，每問3分，推理邏輯性1分二(10分)、關(guān)于兩點(diǎn)邊值問題:dduLu ( p ) qu fdxdxu(a) 0, u (b)0 x (a,b)此中n C 1 (p Ca x)xm$ p x()Ln0,q C( a 儲(chǔ) H 0 (a b )v H e1 (a, b)，乘方程兩頭，積分應(yīng)用分部積分獲得(

3、3分)b (p du . dva(u,v)a dx dx即變分問題的-Galerkin形式.一11令 J (u)a(u, u) ( f ,u)quv) dx fvdxba(3 b du 22p( ) quf (v) , v H E1(a,b)fu dx,則變分問題的Ritz形式成立與上述兩點(diǎn)邊值問題等價(jià)的變分問題的兩種形式：求泛函極小的Ritz形式和Galerkin形式的變分方程。偏微分方程數(shù)值解期末試題為求 u*H E1 (a, b)，使 J (u* ) min J (u)(4 分)1u H E 1評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：空間描繪與積分步驟3分，變分方程3分，極小函數(shù)及其變分問題4分,三(20分)、關(guān)于邊

4、值問題2ux 2u |x 00 , ( x, y)1,u | x 1 0, u |y 0G (0,1) (0,1)u |y 1 1 x(1 )成立該邊值問題的五點(diǎn)差分格式(五點(diǎn)棱形格式又稱正五點(diǎn)格式)，推導(dǎo)截?cái)嗥畹碾A。(2)取h 1/ 3 ,求邊值問題的數(shù)值解(寫由對(duì)應(yīng)的方程組的矩陣形式，并求解)(3)就h 1/ 5和h 1/ N的一般狀況寫出對(duì)應(yīng)方程組的系數(shù)矩陣(用分塊矩陣表 示)。解：(1)地區(qū)失散x j jh , yk kh，差分格式為21卜 2u jk j 1,k j 卜 1 2u jk j ,k1h2h0(5 分)2應(yīng)用丁 ,睜開獲得，截?cái)嗥顬閔 2 4 u 4u(4)其階為 2

5、 分Tayloy12 x 4 y 4 jk O h , O( h ) (3 )5 / 3 1/ 35 / 31/ 3(4分)未知量為U(u11 , ui2 , 121 , 122 ) T,矩陣形式為AU F，此中1 2/31/ 31 2/3 1/ 3求解獲得解為(3分)21/ 2- 15/21/ 2015/202 A 152/ v15v 52 /15A=4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4L =2.0000-0.5000-0.500001.9365-0.1291-0.516401.9322-0.55211.8516u= 0.66670.33330.66

6、670.3333偏微分方程數(shù)值解期末試題B I (3)矩陣為IBI(5分)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：第1問8分，格式4分，截?cái)嗥?.(2) 7 式3分,B的形式2分分，方程4分，解3分.(3)5分，形四(20分)、關(guān)于初邊值問題u2Ua bu, 0 x 1,0 t Ttx 2u(x,0)( x), 0 x 1u(0, t ) u(1,t ) 0,0 t T(1)成立向前差分格式(最簡顯格式)，推導(dǎo)截?cái)嗥畹闹黜?xiàng)，指出偏差階(2)寫出差分格式的矩陣形式(即AU k 1 BU k F的形式)，用矩陣方法剖析格式的穩(wěn)固性(3)成立六點(diǎn)對(duì)稱格式(Crank Nicolson格式)并寫出計(jì)算形式，應(yīng)用 Fourier

7、 方法(分別變量法)剖析格式的穩(wěn)固性。u kj 1 u kj解:(1)地區(qū)失散,格式為應(yīng)用Taylor睜開獲得,誤差主項(xiàng)為O( h2 )(2) A E, B diag r ,1 2r , r ,穩(wěn)固條件為r 1 /2(3)格式為u k 1 u kja 2 k 1k b k 1h 2 x ( u j (1 )u j ) 2 (u j12ka h 2 x u j2 u k一(2 )jt(3(3bu j ,(5分)ah 24 u k24(4) jO( h ),階為12 x分)(4分)分)ku j ) ,(3分)低階項(xiàng)納入O()中，格式是無條件穩(wěn)固的(2分)偏微分方程數(shù)值解期末試題五（10分）、迫近u

8、0的三層差分格式u nj1 u nj 1剖析格式的穩(wěn)固性解：計(jì)算形式為u njr (unj 1unj 1 )此為三層格式,化為兩層格式.令Vnj 1u nj ,則有unj 1u jn 12h(2分）u nj 1 n 1Vjr (unj 1u nj 1 )u njn.(4分）令 unjw1n ei jh,vnjW2nei jh，代入格式,消去公因子w1n 1n 1 W22ir sin h放大矩陣為G2r sin hi1, max|4r 2 sin 2winWZn(2分）2r sin hi1,1，特點(diǎn)方程為I E G|2r sinhi12 |)1,22r sinh4 4r 2 sin 2 h21的

9、充要條件為方程有同樣的復(fù)根或一對(duì)共扼復(fù)根0.考慮到的變化,穩(wěn)固條件為r1(2 分)六（10分）、成立顛簸方程2_u2推與格式穩(wěn)固的必需條件u nj1 2uunj 1解：差分格式為的初值問題的顯格式，推導(dǎo)截?cái)嗥?3分）偏微分方程數(shù)值解期末試題截?cái)嗥顬?-u12 t 4a 2 * _4Ux4nh20(4 h4 )，階為 0( 2 h2 ) (3 分)剖析穩(wěn)固性必需條件七（10分）、關(guān)于二維拋物型方程a(42u )成立 Cranky2分）Nicolson 差分格式，指出截?cái)嗥铍A，剖析格式的穩(wěn)固性。解：差分格式為u njk1Unjka 2 n 1 一 (x Ujk h2n 1 jk(4偏差階為O

10、( h 0 ) (3 分) TOC o 1-5 h z 放大因子為G( , ) j)( i ji j )dx ij，恒穩(wěn)固.(3 分)1 4r sin 2h4r sin 2h22八.用Ritz Galerkin方法求邊值問題u ux20 x 1u(0)0, u(1) 1的第 n 次近似 un ( x)，基函數(shù) i ( x) sin(i x),i 1,2,., n解：（1）界限條件齊次化：令u x , wu u0,則w知足齊次界限條件，且Lw Lu Lu0 x2xw(0) 0, w(1) 0(3分)n第n次近似wn取為wnCii ,此中Ci (ii 11,2,n)知足的RitzGalerkin方程為na( i , j )ci ( x2x, j ) j 1,2,., n (3 分)i 1又a( i ,1cos(i x) cos( j x)dx0. cos(ix ) cos( jx )dx 2 一 sin ix sin jx2由三角函數(shù)的正交性,獲得偏微分方程數(shù)值解期末試題a( i ,i 2 220,而（x2 x,于是獲得最后獲得ix(x 1) sin( j0(x2 x, j )a( j , j)x)