專(zhuān)題 基本不等式及其應(yīng)用

1、專(zhuān)題 基本不等式及其應(yīng)用第1頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日第2頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日2.若對(duì)任意x0， a恒成立，則a的取值范圍是 .解析：因?yàn)閤0，所以 x+ 2 (當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))，所以有 ，即 的最大值為 ，故a .第3頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日第4頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日第5頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日第6頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日例1：(1)已知x ，求函數(shù)y= 4x-2+ 的最大值(2)已知x0，

2、y0，且 + =1，求x+y的最小值(3)求y= 的最小值第7頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日分析：創(chuàng)造應(yīng)用基本不等式的條件，合理拆添項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧，而拆與湊的前提在于使等號(hào)成立的條件；求條件極值的問(wèn)題，基本思想是借助條件化二元函數(shù)為一元函數(shù)，代入法是最基本的方法，代換過(guò)程中要密切注意字母隱含的取值范圍；函數(shù)y=bx+ (a0，b0，為常數(shù))的單調(diào)性與極值(或值域)要了解，并能在解題時(shí)靈活運(yùn)用，特別是當(dāng)問(wèn)題不能滿(mǎn)足均值不等式的條件之一“取等”時(shí)第8頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日解析：(1)因?yàn)閤 ，所以5-4x0，所以 當(dāng)且僅當(dāng)5

3、-4x= ，即x=1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x=1時(shí)，ymax=1.第9頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日(2)因?yàn)閤0，y0， + =1，所以x+y=(x+y)( + )= + +106+10=16.當(dāng)且僅當(dāng) = 時(shí)，上式等號(hào)成立，又 + =1，所以x=4，y=12時(shí)，(x+y)min=16.第10頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日(3) = 此時(shí)，不能使用基本不等式，等號(hào)取不到利用“對(duì)勾”函數(shù)的單調(diào)性解決，即當(dāng)x=0時(shí)，得其最小值為 .第11頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日【點(diǎn)評(píng)】(1)用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，關(guān)鍵在于將

4、函數(shù)變形為兩項(xiàng)和或積，然后這兩項(xiàng)的積或和或平方和為定值，然后用基本不等式求出最值；(2)在條件最值中，一種方法是消元轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，另一種方法是將要求最值的表達(dá)式變形，然后用基本不等式使要求最值的表達(dá)式放縮為一個(gè)定值；(3)不管哪種題，哪種方法，求最值時(shí)要驗(yàn)證等號(hào)是否成立第12頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日變式1.(1)若-4x1，則 的最大值為_(kāi)；(2)若a，b，c0，且a2+ab+ac+bc=4， 則2a+b+c的最小值為_(kāi)(3)已知0 x ，則f(x)=sinx+ 的最小值為_(kāi)第13頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日解析：(1) = = (

5、x-1)+ = - -(x-1)+ 因?yàn)?4x1，所以-(x-1)0， 0.從而-(x-1)+ 2，第14頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日所以- -(x-1)+ -1，當(dāng)且僅當(dāng)-(x-1)= ，即x=2(舍)或x=0時(shí)取等號(hào)即( )max=-1.第15頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日(2)由a2+ab+ac+bc=4，分解因式得(a+b)(a+c)=4，所以2a+b+c=(a+b)+(a+c)2 =2 =4.(3)因?yàn)? x ，則00，b0，所以1=a+b2 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 時(shí)等號(hào)成立，即0ab .設(shè)ab=t，則t(0， 第21頁(yè)，共42頁(yè)，

6、2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日令f (t)=t+ ，則問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)t(0， 時(shí)，求f (t)的最小值因?yàn)閒 (t)=1- 0，b0，所以1=a+b2 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 時(shí)等號(hào)成立)，所以0ab ，所以0anbn (nN*)第23頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日設(shè)anbn=t，則t(0， 令f(t)=t+ .問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)t(0， 時(shí)，求f(t)的最小值因?yàn)閒 (t)=1- 0，即函數(shù)y= +6x+504在15，+)上是增函數(shù)所以當(dāng)x=15時(shí)，y取最小值，最小值為 +615+504=634(元)第32頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日變式

7、3.甲、乙兩地相距s千米，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過(guò)c千米/小時(shí)，已知汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本(單位：元)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/小時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米/小時(shí))的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車(chē)應(yīng)以多大速度行駛?第33頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日解析：(1)建模：依題意知，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為 ，全程運(yùn)輸成本為y=(a+bv2)=sb(v+ )，v(0，c第34頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日(

8、2)依題意，有s，b，a，v都是正數(shù)因此y=sb(v+ )2s ；若 c，則當(dāng)且僅當(dāng)v= v= 時(shí)，y取到最小值若 c，則y在(0，c上單調(diào)遞減，所以當(dāng)v=c時(shí)，y取到最小值綜上所述，為了使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng) c時(shí)，行駛速度應(yīng)該為v= ；當(dāng) c時(shí)，行駛速度應(yīng)該為v=c.第35頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日1基本不等式成立的條件是“一正、二定、三相等”，“一正”是指各項(xiàng)均為正數(shù)；“二定”就是若積為定值則和有最小值，若和為定值則積有最大值；“三相等”就是必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，這也是最容易出錯(cuò)的地方若等號(hào)不在給定的區(qū)間內(nèi)，通常利用函數(shù)的單調(diào)性求最值第36頁(yè)，共42頁(yè)，2

9、022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎(chǔ)，利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，將分式不等式、絕對(duì)值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類(lèi)、換元、數(shù)形結(jié)合是解不等式的常用方法方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化和相互變用 第37頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日3在不等式的證明過(guò)程中，常根據(jù)不等號(hào)的方向，結(jié)合基本不等式進(jìn)行適度的放縮，以期得到需要證明的不等式第38頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日第39頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)11分，星期日第40頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20