8各種積分的聯(lián)系及其在場論中應(yīng)用

1、各種積分的聯(lián)系及其在場論中的應(yīng)用Green 公式、平面線積分的路徑無關(guān)性Stokers 公式與旋度Gauss 公式與散度2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1一、定理(stokes)公式設(shè)為分段光滑的空間有向閉曲線,是以為邊界的分片光滑的有向曲面,的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則, 函數(shù)(Px,y ,z ,()Qx,y ,z ,)y ,z 在) 包含曲面在內(nèi)的一個空間區(qū)域內(nèi)具(R x,有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有公式R QPRQP( )dydz ( zz xd) zdx x y(dxd)yyPdxQdyRdz公式2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2n右手法則是有向曲面 的正向邊界曲線z如圖證明

2、 :( xyn設(shè)與平行于z 軸的直線相交不多于一點(diǎn),并取上側(cè),有向曲線C 為的正y向邊界曲線 在 xoy 的投oDxy區(qū)域Dxy .影.且所Cx2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系3圍思路12 P dzdx P dxdy ( P Pcos cosds )zyzy又cos f ycos代,入上式得P dzdx P dxdy( P P zcos dsf)yyyz2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系4曲線積分二重積分曲面積分P dzdx P dxdy( P fP z) dxdy即yyzyPzP, x )y f yP x,y(fyy P dzdx P dxdyyzxyy,P,f(x,y)d

3、xd,1yDxy2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5根椐公式y(tǒng) f xx,y,(,dxdy),P,(x, y)fycDxy P ddzxddxy PP , x,y (f ,x)2y即zyc平面有向曲線PP z dzddxxdy y (P, x ,y)z,dx空間有向曲線2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系6同理可證QQ x dxddyydz Q(,x ,y)z,dyzRR y dyddzzdx x (R,x ,y)z,dzR Qdydz ( P R d) zdx Q P( Pdx)(dxd)yyzzxxyQdy故Rd有z 結(jié)論成立.2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系7便于

4、形式dzdxdydzdxdy xPdxQdyRdz y Qz RP另一種形式cos coscosPdxQdy dsyRdzxzPQRcos ,其co中s n ,cos2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系8Stokes公式的實(shí)質(zhì):表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.(當(dāng)是xoy面的平面閉區(qū)域時(shí))特殊情形2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系9公式公式二、簡單的應(yīng)用1 計(jì)算曲線z積dx分xdy ydz例,其中 是平面z 1 被三坐標(biāo)面所截成的三角形的整個邊界,它的正向與這個三角形上側(cè)z1的法向量之間符合右手規(guī)則.n按公式,有解xdy dzdx zdxydzy0D

5、xy1dydz dxd1yx2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系10由于的法向量的三個方向余再由對稱性知：弦都為正，3dxddy Dxydydzdzdxy1Dxy如圖Dxyy 3zdxxdydzx2o12013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系11例 2計(jì)算曲線積分z( 2dx2z (2x2 )dy 2(x2 ) y 1,dzz 3截立方體0: 其中是平面xy x20 y 10, 1的表面所得的截痕,z若從ox軸的正向看去,.取逆時(shí)針方向3取為平面xy z 解2的上側(cè)被所圍成的部分.1Gn 1 ,1,1則32013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系12znoyx1 cos11co即sco

6、s ,313x3 y3 I ds2yx2zx 2z22x 2yz4 x(z 3)yz )ds(在x 上y32 43 ds 29 .dx3dyDxy33222013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系13x y 3Dxy2y 12三、物理意義-環(huán)流量與旋度1.環(huán)流量的定義:設(shè)向量場G,P)GGGx ( y,Q (, y ) zz,z,i)x,j(R,G則沿場A中某一封閉的有向曲線C上的曲線積分GG PdxA d sQdyRdzCCG稱為向量場A沿曲線C按所取方向的環(huán)流量.2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14利用stokes公式,有ijkGGG環(huán)流量 Adsds x y Qz RCP2.旋

7、度的定義:ij ykG)A.為向量場的旋度(rot稱向量xz RPQ2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系15ijkG旋度rotAx y Qz RPG(GGkR QP RQ P()zix ) j().yzxy2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系16公式的又一種形式RQzPzRQxP)(cos cos )(d)SyxycosQcosP(cRos)ds其中的的G iicos jcos cosj cosncoscosk法向量為切向量為tk2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系17公式的向量形式GGndS rAot或 t( A ds) dSotAAnt其中( A) rot GrotAnn

8、R QP RQ P( cos)cos)()yzzxxyn G Pcos cosQ cosA Rt2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系18dG s環(huán)流量 rotAAdstStokes公式的物理解釋:向量場A沿有向閉曲線的環(huán)流量等于向量場GA的旋度場通過所張的曲面的通量.(正向與的側(cè)符合右手法則)的2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系19L例 3設(shè)一剛體繞過原點(diǎn) O 的某個軸轉(zhuǎn)動,其角速度G (,)123剛體上每一點(diǎn)處的線速度一個線速場,則向r 量G oOMx , y , 在z 點(diǎn)M 處的線速度M由力學(xué)知道點(diǎn)M 的線速度為解Gij 2yk由此可看出旋度與旋轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系.v r13zx

9、v , 122 ,2 3 t22.觀察旋度ro2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系20四、小結(jié)xcos ycoscosds 公式zPQRdydzdzdx ydxdy xAPdxQdyRdzzPQrot RGGdS nAtds公式成立的條件公式的物理意義2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系21練習(xí)題中dzz,2一、x計(jì)yd算x3xzdyz若2,yz其是 圓 周2y2 2從z ,軸正向看去這圓周是.向針方逆時(shí)計(jì)y算dxzdy 222二、x(x, 其 d中z是 球 面a的x 交線2 和a2 園柱x面2 y 2z22ya 0向 .,z 0,從) x 軸正向看去, 曲線為逆時(shí)針方Gy ) iGcos .y度的)j旋求sin( zx場量A向(z三、2013年4月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系22公式把曲面積r分otA 四、利用n化成ds曲,其中計(jì)算積分值A(chǔ), 及n分別如下:,并分積yz 線xyj 2y,2,xz為上k半個球面的上側(cè)n是 .的Ai1 x2法向量五、A求向量場xz2x(yz)z0323(i)j沿x閉y 曲k線 為圓z