《余角與補(bǔ)角》教學(xué)案例與反思之一

1、余角與補(bǔ)角教學(xué)案例與反思之一背景分析：在新課程改革的過(guò)程中，為了更好地學(xué)習(xí)其它地區(qū)和學(xué)校的新課改經(jīng)驗(yàn)，我校與上海曹楊二附中建立了合作關(guān)系，游老師被第一批委派來(lái)我校進(jìn)行教學(xué)交流，她在新課程改革中積累了較豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，這是在她來(lái)校時(shí)間不到一個(gè)月、對(duì)學(xué)生沒(méi)有完全了解的情況下，面向全區(qū)數(shù)學(xué)教師上的一堂教學(xué)展示課。下面是該課的教學(xué)實(shí)錄及筆者的教學(xué)反思。教學(xué)過(guò)程：（一）復(fù)習(xí)回顧、引入課題師：我們以前學(xué)過(guò)可以根據(jù)角的大小將角分成三類(lèi)：銳角、直角和鈍角，請(qǐng)大家回憶：什么叫銳角？什么叫直角？什么叫鈍角？生：大于0度小于90度的角叫銳角，等于90度的角叫直角，大于90度小于180度的角叫鈍角師：（面帶微笑注視學(xué)

2、生）回答得好不好生：齊聲回答“好”，并報(bào)以熱烈的掌聲。（反思：通過(guò)復(fù)習(xí)舊知識(shí)，尋找到新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，學(xué)生自發(fā)的熱烈掌聲，激烈了回答問(wèn)題的學(xué)生，同時(shí)其他學(xué)生的情緒變得興奮，精神更加集中，為新課題的引入做好了心理準(zhǔn)備。）師：這節(jié)課我們來(lái)研究?jī)山侵g有什么樣的關(guān)系，在科學(xué)課中已經(jīng)學(xué)習(xí)了光的反射的性質(zhì)，這是一幅光的反射圖，你知道光的反射有什么性質(zhì)？生1：反射角等于入射角生2：法線(xiàn)與垂直鏡面師：好，下面我們從數(shù)學(xué)的角度來(lái)研究圖中的兩角之間有哪些關(guān)系？我們根據(jù)反射角等于入射角，知道1=2，根據(jù)法線(xiàn)垂直鏡面，知道NOD=NOE=90N你能說(shuō)出3與1、3與AOE之間有什么關(guān)系？生：3加1等于90，3加AOE=

3、180AB師：你是怎么知道的？生：1+3構(gòu)成一個(gè)直角，直角等于90師：好，很好。同樣3加AOE構(gòu)成一個(gè)什么角呢？生：齊答“平角”1234DOE師：3和1、3和AOE的和都是特殊角，我們把它們分別叫做互為余角和互為補(bǔ)角，它們之間的關(guān)系類(lèi)似互為相反數(shù)。（板書(shū)課題和余角、補(bǔ)角的概念）（反思：有指向性的提問(wèn)，使學(xué)生有明確的思考方向，通過(guò)類(lèi)比舊知識(shí)“相反數(shù)”的概念，使學(xué)生了解知識(shí)之間的聯(lián)系。筆者認(rèn)為：如果讓學(xué)生再找出圖中還有哪兩個(gè)角互為余角、互為補(bǔ)角，更有利于學(xué)生理解余角、補(bǔ)角與角的位置無(wú)關(guān)。（二）獨(dú)立思考，發(fā)現(xiàn)新知師：我們已經(jīng)知道了互為余角、互為補(bǔ)角的概念，你能否用數(shù)學(xué)式子將它們之間的關(guān)系表示出來(lái)呢？

4、如果與是互為余角，它們應(yīng)該滿(mǎn)足什么關(guān)系？生：+=90師：如果與是互為余角，并知道的值，你能求出的值嗎？如何求？生：能，=90師：圖1中互為余角的兩個(gè)角有一條公共邊，如果將圖1兩個(gè)角的位置發(fā)生變化得到圖2，這時(shí)它們沒(méi)有公共邊，那么圖2中的兩個(gè)角還能不能叫做互為余角？生：很多都說(shuō)“不能”（反思：游老師強(qiáng)調(diào)圖1中兩個(gè)互余的角有一條公共邊，影響了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的思考和回答）師：（引導(dǎo)）要判斷兩個(gè)角是不是互為余角，應(yīng)該根據(jù)余角的概念，大家再討論一下生：討論師：（引導(dǎo)）我們從圖中可以看出，當(dāng)兩個(gè)角移開(kāi)后，它們的大小有沒(méi)有變化？生：沒(méi)有師：那么它們的和是多少？生：90師：所以它們還是不是互為余角?生：是OOO圖

5、1圖2圖3O師：如果我們將兩個(gè)角的一部分重疊，得到圖3，它們還是互為余角嗎？生：大部分都回答“不是”老師要求學(xué)生討論后，學(xué)生若有所悟、積極要求發(fā)言生1：我認(rèn)為不是，因?yàn)閮蓚€(gè)角拼在一起后，從圖形上看起來(lái)不是一個(gè)直角，比90少生2：我反對(duì)他的觀點(diǎn)，因?yàn)樗鼈兗悠饋?lái)的和還是90師：好，圖3將兩個(gè)角拼成一個(gè)角后，有一部分重疊，拼成的角的度數(shù)并不等于原來(lái)兩個(gè)角的和，計(jì)算兩個(gè)角的和時(shí)，應(yīng)考慮只能將它們的一條邊重疊師：展示兩個(gè)角互為補(bǔ)角的圖形變化情況生：討論回答，意見(jiàn)基本統(tǒng)一師：互為余角和互為補(bǔ)角只反映了兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，并沒(méi)有限制它們的位置，為了讓大家更加理解概念，我們利用幾何畫(huà)板來(lái)進(jìn)一步研究。師：（演示余

6、角、補(bǔ)角的變化情況）你們發(fā)現(xiàn)了什么？生：兩個(gè)角的度數(shù)發(fā)生了變化，但它們的和不變（反思：從特殊情況下1、2的余角、補(bǔ)角的計(jì)算過(guò)渡一般情況下的余角、補(bǔ)角的計(jì)算，是數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常用到的重要思想方法，游老師通過(guò)圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，并利用幾何畫(huà)板，使數(shù)學(xué)圖形動(dòng)起來(lái)，提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性，使學(xué)生對(duì)余角、補(bǔ)角概念的理解更生動(dòng)、更形象、更深刻，滲透了幾何語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言有機(jī)結(jié)合的思想，使知識(shí)的學(xué)習(xí)由靜態(tài)變成了動(dòng)態(tài)。）（三）基礎(chǔ)練習(xí)、初步應(yīng)用：展示課件內(nèi)容：1、判斷：1）一個(gè)銳角與一個(gè)鈍角一定互為補(bǔ)角2）若A+B+C=180，則這三個(gè)角互為補(bǔ)角2、填空：1）20的余角是_，補(bǔ)角是_2）的余角是_，補(bǔ)角是

7、_3、討論：互為補(bǔ)角的兩個(gè)角可以都是銳角嗎？可以都是直角嗎？可以都是鈍角嗎？生：（動(dòng)手操作、討論，然后在教師的指導(dǎo)下逐個(gè)解答）生1：銳角與鈍角不一定互為補(bǔ)角，因?yàn)榻嵌炔恢溃玮g角為170，銳角為20，它們的和就不是180。生2：這三個(gè)角不是互為補(bǔ)角，因?yàn)榛檠a(bǔ)角說(shuō)的是兩個(gè)角之間的關(guān)系生3：20的余角等于70，20的補(bǔ)角等于160師：引導(dǎo)學(xué)生歸納：一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90生4：的余角是90，補(bǔ)角是180生5：因?yàn)殇J角都小于90，兩個(gè)銳角的和小于180，所以互補(bǔ)的兩個(gè)角不能都是銳角生6：因?yàn)閮蓚€(gè)直角的和等于180，所以互補(bǔ)的兩個(gè)角可以都是直角，但兩個(gè)170的鈍角的和大于180，所以互補(bǔ)的兩

8、個(gè)角不能都是鈍角）（反思：計(jì)算題從特殊角的計(jì)算過(guò)渡到一般角的計(jì)算，判斷題和討論題針對(duì)學(xué)生對(duì)概念理解的偏差，習(xí)題的設(shè)計(jì)有梯度，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，加深了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解和掌握。（四）動(dòng)手操作，探究新知1師：（展示一個(gè)三角尺教具，如圖）你能從三角尺中找到兩個(gè)互余的角嗎？2生1：利用實(shí)物指出如圖1和2互為余角師：（略感意外）我的三角尺多出了一條線(xiàn)，這兩個(gè)角的和等于90，所以它們互為余角，他很有創(chuàng)意。還有其他互余的角嗎？生2：因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和等于180，三角尺的一個(gè)角是直角，所以另外兩個(gè)銳角的和等）于90，它們互為余角，同樣，只要是直角三角形，它的兩個(gè)銳角都是互余的。師：好，她從我這個(gè)特殊的三角尺

9、想到了任意的直角三角形兩個(gè)銳角都互余，很好。（反思：利用學(xué)生天天使用的三角尺動(dòng)手操作，使學(xué)生體會(huì)到生活中處處都有數(shù)學(xué)。在操作過(guò)程中，由于教師用的三角尺比一般的三角尺中多出了一條線(xiàn)段，學(xué)生在回答問(wèn)題時(shí)，出現(xiàn)了教師預(yù)料之外的答案，游老師利用自己的經(jīng)驗(yàn)和應(yīng)變能力，作了較好的處理。師：（投影右圖）你能在圖1中畫(huà)出2的一個(gè)余角、在圖2中畫(huà)出2的一個(gè)補(bǔ)角嗎？看誰(shuí)畫(huà)得快又好1生：操作，完成畫(huà)圖師：（投影展示學(xué)生作業(yè)：圖3、圖4）圖3中2的兩個(gè)余角之間有什么關(guān)系？為什么？生：因?yàn)?=902，3=902，所以1=3師：上面結(jié)論反映了余角的一個(gè)性質(zhì)，你能總結(jié)出來(lái)嗎？22圖111圖2生：因?yàn)?、3都有是2的余角并且

10、相等，所以得到221同角的余角相等師：（投影說(shuō)理過(guò)程和性質(zhì)）33圖3圖4圖4中2的兩個(gè)補(bǔ)角之間有什么關(guān)系？為什么？生：因?yàn)?=1802，3=1802，所以1=3師：（展示推理過(guò)程）你能發(fā)現(xiàn)補(bǔ)角的什么性質(zhì)嗎？生：同角或等角的補(bǔ)角相等師：引導(dǎo)學(xué)生回顧說(shuō)理過(guò)程，歸納出：同角的補(bǔ)角相等（反思：通過(guò)動(dòng)手操作，使學(xué)生對(duì)概念的理解更明晰，如果能將學(xué)生其它類(lèi)型的作圖展示出來(lái)，指明圖中3只是其中一種情況，并比較兩位同學(xué)的作圖，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)比、討論，歸）納出余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，就更能體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。NAB師：觀察右圖，圖中3和4有什么關(guān)系？AOE和BOD有什么關(guān)系？為什么？由此你能得到什么結(jié)論？用自己的語(yǔ)言概括

11、生：討論生2：因?yàn)?=901,4=902，1=2，所以3=41234DOE師：板書(shū)性質(zhì)“等角的余角相等”的推理格式，你能發(fā)現(xiàn)等角的余角有什么性質(zhì)？生3：等角的余角相等師：哪位同學(xué)說(shuō)一說(shuō)AOE和BOD為什么相等？生1：因?yàn)锳OE=1+NOE，BOD=2+NOD，且1=2，NOE=NOD=90所以AOE=BOD師：能不能從補(bǔ)角這個(gè)關(guān)系去考慮呢？生2：因?yàn)锳OE=1803，BOD=1804，且3=4，所以AOE=BOD師：你能發(fā)現(xiàn)等角的補(bǔ)角有什么性質(zhì)？生3：等角的補(bǔ)角相等師：投影性質(zhì)的推理格式和性質(zhì)，請(qǐng)大家齊讀性質(zhì)生：齊讀（教師板書(shū)性質(zhì)）（反思：讓學(xué)生自己總結(jié)性質(zhì)，可以初步訓(xùn)練學(xué)生有條理表達(dá)能力，幫

12、助學(xué)生初步掌握符號(hào)語(yǔ)言的表達(dá)格式，通過(guò)學(xué)生齊讀調(diào)整學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，使學(xué)生的精力更加集中，教師認(rèn)真整）理板書(shū)內(nèi)容，為學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣樹(shù)立了榜樣。（五）實(shí)際操作，應(yīng)用新知AC師：（展示實(shí)物剪刀）用剪刀剪東西時(shí)，哪對(duì)角同時(shí)變大或變?。可海ɡ脤?shí)物）相對(duì)的兩個(gè)角師：（投影如右?guī)缀螆D形）圖中1和2的大小有什么關(guān)系？1O生：相等師：其實(shí)圖中的1和2不僅有相等的數(shù)量關(guān)系，還有特殊的位置關(guān)系，2這是我們下節(jié)課即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容，請(qǐng)大家課后預(yù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容DB。（反思：“對(duì)頂角”的相關(guān)內(nèi)容屬于本節(jié)課，游老師將它放到下節(jié)課去學(xué)習(xí)，可能是由于已經(jīng)下課而做的變化，教學(xué)中可以先讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)出剪刀對(duì)應(yīng)的幾何圖形，再討論1

13、和2的大小關(guān)系，并獨(dú)立嘗試用幾何語(yǔ)言寫(xiě)出推理過(guò)程，最后歸納出“對(duì)頂角”的概念和性質(zhì)）（六）知識(shí)歸納，形成體系師：（課件展示知識(shí)歸納表格）生：整理筆記師：布置作業(yè)（反思：下課鈴聲過(guò)后，游老師被迫匆忙歸納）教學(xué)反思：1、游老師利用學(xué)生熟悉的光的反射現(xiàn)象引入課題，讓學(xué)生自己歸納出余角、補(bǔ)角的概念，通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)，讓圖形動(dòng)起來(lái)，利用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示，使概念教學(xué)變得生動(dòng)有趣。2、新課改理念中，教師是教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者，教學(xué)時(shí)要為學(xué)生留有思考的時(shí)間與空間，讓學(xué)生充分發(fā)表不同的見(jiàn)解，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。游老師在教學(xué)中，總是微笑著注視學(xué)生，目光中充滿(mǎn)鼓勵(lì)和贊許，經(jīng)常用的一個(gè)詞是“我可不可以這樣說(shuō)”，讓學(xué)生感覺(jué)到自己才是