高中數(shù)學(xué)必修二 6.4.1 平面幾何中的向量方法 教學(xué)設(shè)計(jì)新

1、【新教材】6.4.1 平面幾何中的向量方法教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版）向量概念有明確的幾何背景：有向線段，可以說向量概念是從幾何背景中抽象而來的，正因?yàn)槿绱?，運(yùn)用向量可以解決一些幾何問題，例如利用向量解決平面內(nèi)兩條直線平行、垂直位置關(guān)系的判定等問題。課程目標(biāo)1.通過應(yīng)用舉例，讓學(xué)生會用平面向量知識解決幾何問題的兩種方法-向量法和坐標(biāo)法；2.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)向量在解決幾何和物理問題中的工具作用，增強(qiáng)學(xué)生的積極主動的探究意識，培養(yǎng)創(chuàng)新精神. 數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.邏輯推理：從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，得出結(jié)論；2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：坐標(biāo)運(yùn)算證明幾何問題；3.數(shù)據(jù)分析：根據(jù)已知信息選取合適方法證明或求解；

2、4.數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決，體現(xiàn)了事物之間是可以相互轉(zhuǎn)化的.重點(diǎn)：體會向量在解決平面幾何問題中的作用；難點(diǎn)：如何將幾何問題化歸為向量問題.教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。情景導(dǎo)入提問：（1）若O為重心,則+= .（2）水渠橫斷面是四邊形,=,且|=|,則這個四邊形為等腰梯形.類比幾何元素之間的關(guān)系,你會想到向量運(yùn)算之間都有什么關(guān)系?要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本38-39頁，思考并完成以下問題1、利用向量可以解決哪些常見的幾何問題？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，

3、以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1.向量在幾何中的應(yīng)用(1)平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由 向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積 表示出來(2)用向量解決平面幾何問題的“三部曲”建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面 幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題 ；通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系四、典例分析、舉一反三題型 向量在幾何中的應(yīng)用例1 證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和已知：平行四邊形ABCD求證：【答案】見解析【解析】證明：不妨設(shè)a，b，則a+b，a-b，|

4、a|2，|b|2得 ( a+b)( a+b) = aa+ ab+ba+bb= |a|2+2ab+|b|2 同理|a|2-2ab+|b|2 +得 2(|a|2+|b|2)=2()所以，平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和例2如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AFDE.【答案】見解析【解析】證明法一：設(shè)eq o(AD,sup17()a，eq o(AB,sup17()b，則|a|b|，ab0，又eq o(DE,sup17()eq o(DA,sup17()eq o(AE,sup17()aeq f(1,2)b，eq o(AF,sup17()eq o(AB,sup

5、17()eq o(BF,sup17()beq f(1,2)a，所以eq o(AF,sup17()eq o(DE,sup17()eq blc(rc)(avs4alco1(bf(1,2)a)eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)b)eq f(1,2)a2eq f(3,4)abeq f(1,2)b2eq f(1,2)|a|2eq f(1,2)|b|20.故eq o(AF,sup17()eq o(DE,sup17()，即AFDE.法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為2，則A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(2,1)，eq o(AF,sup17()(2,1)，eq

6、 o(DE,sup17()(1，2)因?yàn)閑q o(AF,sup17()eq o(DE,sup17()(2,1)(1，2)220，所以eq o(AF,sup17()eq o(DE,sup17()，即AFDE.解題技巧（用向量解決平面解析幾何的步驟）(1)向量的線性運(yùn)算法的四個步驟選取基底；用基底表示相關(guān)向量；利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找相應(yīng)關(guān)系；把幾何問題向量化(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個步驟建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；把相關(guān)向量坐標(biāo)化；用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找相應(yīng)關(guān)系；把幾何問題向量化跟蹤訓(xùn)練1如圖，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的中心，E，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，且eq f(CE,ED)eq f(AF,F

7、B)eq f(1,2).求證：點(diǎn)E，O，F(xiàn)在同一直線上【答案】見解析【解析】證明：設(shè)eq o(AB,sup17()m，eq o(AD,sup17()n，由eq f(CE,ED)eq f(AF,FB)eq f(1,2)，知E，F(xiàn)分別是CD，AB的三等分點(diǎn)，eq o(FO,sup17()eq o(FA,sup17()eq o(AO,sup17()eq f(1,3)eq o(BA,sup17()eq f(1,2)eq o(AC,sup17()eq f(1,3)meq f(1,2)(mn)eq f(1,6)meq f(1,2)n，eq o(OE,sup17()eq o(OC,sup17()eq o(C

8、E,sup17()eq f(1,2)eq o(AC,sup17()eq f(1,3)eq o(CD,sup17()eq f(1,2)(mn)eq f(1,3)meq f(1,6)meq f(1,2)n.eq o(FO,sup17()eq o(OE,sup17().又O為eq o(FO,sup17()和eq o(OE,sup17()的公共點(diǎn)，故點(diǎn)E，O，F(xiàn)在同一直線上2、在直角梯形ABCD中，ABCD，CDADAB90，CDDAeq f(1,2)AB，求證：ACBC.【答案】見解析【解析】證法一：CDADAB90，ABCD，CDDAeq f(1,2)AB，故可設(shè)eq o(AD,sup16()e1

9、，eq o(DC,sup16()e2，|e1|e2|，則eq o(AB,sup16()2e2.eq o(AC,sup16()eq o(AD,sup16()eq o(DC,sup16()e1e2，eq o(BC,sup16()eq o(AC,sup16()eq o(AB,sup16()(e1e2)2e2e1e2.而eq o(AC,sup16()eq o(BC,sup16()(e1e2)(e1e2)eeq oal(2,1)eeq oal(2,2)|e1|2|e2|20，eq o(AC,sup16()eq o(BC,sup16()，即ACBC.證法二：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)CD1，則A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)eq o(BC,sup16()(1,1)，eq o(AC,sup16()(1,1)eq o(BC,sup16()eq o(AC,sup16()(1,1)(1,1)110.ACBC.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧六、板書設(shè)計(jì)6.4.1 平面幾何中的向量方法1、向量在幾何中