人工智能-4不確定性推理

1、1人工智能Artificial Intelligence主講：鮑軍鵬 博士西安交通大學(xué)電信學(xué)院計(jì)算機(jī)系電子郵箱：dr.baojp版本：2.02010年1月14.5 模糊推理 4.5.1 模糊理論確定性概念可用普通集合表示。設(shè)A是論域U上的一個(gè)集合，對(duì)于任意uU，令則稱CA(u)為集合A的特征函數(shù)。特征函數(shù)CA(u)在u=u0處的取值CA(u0)稱為u0對(duì)A的隸屬度。集合A與其特征函數(shù)可以認(rèn)為是等價(jià)的。A=u|CA(u)=12模糊集用模糊集表示模糊性概念。模糊集的思路：把特征函數(shù)的取值范圍從0,1推廣到0,1上。定義4.4 設(shè)U是論域，A是把任意uU映射為0,1上某個(gè)值的函數(shù)，即A :U0,1或

2、者uA(u)則稱A為定義在U上的一個(gè)隸屬函數(shù)，由A(u)(uU)所構(gòu)成的集合A稱為U上的一個(gè)模糊集，A(u)稱為對(duì)A的隸屬度。3模糊集的例子例. 論域U=1,2,3,4,5，用模糊集表示“大”和“小”。設(shè)A、B分別表示“大”與“小”的模糊集，A ，B分別為相應(yīng)的隸屬函數(shù)。A=0,0,0.1,0.6,1B=1,0.5,0.01,0,0其中：A(1)=0,A(2)=0 ,A(3)=0.1 ,A(4)=0.6 ,A(5)=1B(1)=1,B(2)=0.5 ,B(3)=0.01 ,B(4)=0,B(5)=04模糊集的表示方法（1）若論域離散且有限，則模糊集A可表示為：A=A(u1),A(u2),A(u

3、n)也可寫為：A=A(u1)/u1+A(u2)/u2+A(un)/un或者：A=A(u1)/u1,A(u2)/u2,A(un)/unA=(A(u1),u1),(A(u2),u2),(A(un),un)隸屬度為0的元素可以不寫。例如：A=1/u1+0.7/u2+0/u3+0.4/u4 =1/u1+0.7/u2+0.4/u45模糊集的表示方法（2）若論域是連續(xù)的，則模糊集可用實(shí)函數(shù)表示。例如：以年齡為論域U=0,100， “年輕”和“年老”這兩個(gè)概念可表示為：6模糊集的表示方法（3）無論論域U有限還是無限，離散還是連續(xù)，扎德用如下記號(hào)作為模糊集A的一般表示形式:U上的全體模糊集，記為：F(U)=A

4、|A:U0,17模糊集的運(yùn)算模糊集上的運(yùn)算主要有：包含、交、并、補(bǔ)等等。1. 包含運(yùn)算定義4.5 設(shè)A，BF(U)，若對(duì)任意uU，都有B(u)A(u)成立，則稱A包含B，記為 。2. 交、并、補(bǔ)運(yùn)算定義4.6 設(shè)A，BF(U)，以下為扎德算子8模糊集運(yùn)算舉例例. 設(shè)U=u1,u2,u3，A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3則：AB=(0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3 =0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3AB=(0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3 =0.6/u1+0.8

5、/u2+0.7/u3A=(1-0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3=0.7/u1+0.2/u2+0.4/u39模糊集運(yùn)算舉例例. A表示“年老”的模糊集，B表示“年輕”的模糊集。則：10模糊關(guān)系定義4.7 Ai是Ui(i=1,2,n)上的模糊集，則稱為A1,A2,An的笛卡兒乘積，它是U1U2Un上的一個(gè)模糊集。定義4.8 在U1U2Un上一個(gè)n元模糊關(guān)系R是指以U1U2Un為論域的一個(gè)模糊集，記為11模糊關(guān)系一般地說，當(dāng)U和V都是有限論域時(shí)，其模糊關(guān)系R可用一個(gè)模糊矩陣表示。U=u1,u2,umV=v1,v2,vn則UV上的模糊關(guān)系為12模糊關(guān)系舉例例. U=張三，李四

6、，王五V=籃球，排球，足球，乒乓球UV上的一個(gè)模糊關(guān)系R13籃球排球足球乒乓球張三0.70.50.40.1李四00.600.5王五0.50.30.80模糊關(guān)系的合成定義4.9 設(shè)R1與R2分別是UV與VW上的兩個(gè)模糊關(guān)系，則R1與R2的合成是指從U到W的一個(gè)模糊關(guān)系，記為R1R2其隸屬函數(shù)為14模糊關(guān)系合成舉例例.設(shè)論域U=V=a, b, c，論域W=x, y。R1是UV上的模糊關(guān)系，R2是VW上的模糊關(guān)系。求R1與R2的合成。解：R1與R2的合成是： 合成法則類似于矩陣乘法。15模糊語言值模糊語言值大、很大、有些大、小、不太小基本概念擴(kuò)充法16模糊概念擴(kuò)充法舉例例. 設(shè)U=1,2,10，已知

7、：大=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8+1/9+1/10小=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5解：不大也不小=不大不小=0.2/2+0.4/3+0.6/4+0.6/5+0.4/6+0.2/7很大=大2(u)= 0.22/4+0.42/5+0.62/6+0.82/7+12/8+12/9+12/10=0.04/4+0.16/5+0.36/6+0.64/7+1/8+1/9+1/10有點(diǎn)大=大0.5(u)= 0.20.5/4+0.40.5/5+0.60.5/6+0.80.5/7+10.5/8+10.5/9+10.5/10= 0.45/4+0.63/5+0.77

8、/6+0.89/7+1/8+1/9+1/1017模糊邏輯對(duì)多值邏輯的擴(kuò)展模糊邏輯運(yùn)算18模糊命題含有模糊概念、模糊數(shù)據(jù)或帶有確信程度的語句稱為模糊命題。它的一般表示形式為：xis A或者xisA(CF)例如：張三是（is）年輕的模糊語言值是指表示大小、長短、高矮、輕重、快慢、多少等程度的一些詞匯。使用模糊語言值更符合人們表述問題的習(xí)慣。而其模糊集形式只是內(nèi)部表示。19模糊知識(shí)模糊產(chǎn)生式規(guī)則的一般形式是：IFETHENH(CF,)其中，E是用模糊命題表示的模糊條件；H是用模糊命題表示的模糊結(jié)論；CF是該產(chǎn)生式規(guī)則所表示的知識(shí)的可信度因子，它既可以是一個(gè)確定的數(shù)，也可以是一個(gè)模糊數(shù)或模糊語言值。是

9、閾值，用以指出知識(shí)什么時(shí)候可被應(yīng)用。CF和的值由領(lǐng)域?qū)＜以诮o出知識(shí)的時(shí)候同時(shí)給出。例如：IFx1 is A1 AND x2 is A2 THEN y is B (CF,)推理中所用的證據(jù)也用模糊命題表示，一般形式為xisA或者xisA(CF)20模糊匹配不確定性匹配X is AX is A 模糊集的匹配度（0,1）貼近度 21匹配度舉例例. 設(shè)論域U=甲, 乙, 丙, 丁, 戊，其上的兩個(gè)模糊集分別為：A=0.1/甲+0.6/乙+1/丙+1/丁+0.3/戊B=0.2/甲+0.8/乙+0.9/丙+1/丁+0.4/戊求二者的匹配度。解：用貼近度方法求二者匹配度。即A和B兩個(gè)模糊集之間的匹配度為0.

10、9。22語義距離如果論域U上兩個(gè)模糊集A和B的語義距離為d(A,B)，則其匹配度為1-d(A,B)。 曼哈頓距離（Manhattan Distance）或者海明距離（Hamming Distance） 歐幾里德距離（Euclidean Distance） 明可夫斯基距離（Minkowski Distance） 23語義距離舉例例. 設(shè)論域U=甲, 乙, 丙, 丁, 戊，其上的兩個(gè)模糊集分別為：A=0.1/甲+0.6/乙+1/丙+1/丁+0.3/戊B=0.2/甲+0.8/乙+0.9/丙+1/丁+0.4/戊求二者的匹配度。解：方法一：用海明距離求二者匹配度。 所以A和B兩個(gè)模糊集之間的匹配度為1-

11、0.1=0.9。 24其它相似度方法 最大最小法 算術(shù)平均法 幾何平均法 25復(fù)合條件的模糊匹配 第一步 分別計(jì)算各個(gè)子條件與其對(duì)應(yīng)證據(jù)的匹配度match(Ai,Ai)，其中Ai和Ai分別表示一個(gè)子條件和其對(duì)應(yīng)證據(jù)。第二步 選擇一種方法綜合各個(gè)單一證據(jù)的匹配度，求出整個(gè)前提條件E與組合證據(jù)E之間總的匹配度。 取極小法相乘法第三步 檢查總匹配度是否滿足閾值條件。如果滿足就可匹配；否則為不匹配。 26模糊推理的基本模式自然演繹有三種基本模式：假言推理、拒取式推理和假言三段論推理。模糊推理也有以上三種基本模式。1. 模糊假言推理設(shè)AF(U),BF(V)，并有AF(U)，BF(V)。知識(shí)：IF x i

12、s A THEN y is B證據(jù)：x is A-結(jié)論：y is B對(duì)于復(fù)合條件有：知識(shí)：IF x1 is A1 AND x2 is A2 ANDAND xn is An THEN y is B證據(jù)： x1 is A1 x2 is A2 xn is An-結(jié)論：y is B27模糊推理的基本模式2. 模糊拒取式推理知識(shí)：IF x is A THEN y is B證據(jù)：y is B-結(jié)論：x is A3. 模糊三段論推理IF x is A THEN y is BIF y is B THEN z is C-IF x is A THEN z is C28模糊推理的方法推理方法有多種，例如扎德等人的合

13、成推理規(guī)則，P.Magrez和P.Smets提出的計(jì)算模型等。扎德法的基本思想是：首先由知識(shí)IF x is A THEN y is B求出A與B之間的模糊關(guān)系R；然后在通過R與相應(yīng)證據(jù)的合成求出模糊結(jié)論。這種方法又稱為基于模糊關(guān)系的合成模型。294.5.2 簡單模糊推理知識(shí)中只含有簡單條件且不帶可信度因子的模糊推理稱為簡單模糊推理。按照扎德等人提出的合成推理規(guī)則，對(duì)于知識(shí)：IF x is A THEN y is B首先構(gòu)造出A與B之間的模糊關(guān)系R，然后通過R與證據(jù)的合成求出結(jié)論。如果已知證據(jù)是x is A且A與A可以模糊匹配，則通過下述合成運(yùn)算求取B：B=AR如果已知證據(jù)是y is B且B與B

14、可以模糊匹配，則通過下述合成運(yùn)算求出A：A=RB30構(gòu)造模糊關(guān)系R的方法1. 扎德方法扎德提出了兩種方法：一種稱為條件命題的極大極小規(guī)則；另一種稱為條件命題的算術(shù)規(guī)則，由它們獲得的模糊關(guān)系分別記為Rm和Ra。設(shè)AF(U),BF(V)，其表示分別為且用，分別表示模糊集的笛卡兒乘積、并、交、補(bǔ)及有界和運(yùn)算，則扎德把Rm和Ra分別定義為：31對(duì)于模糊假言推理，若已知證據(jù)為x is A則：Bm=ARmBa=ARa對(duì)于模糊拒取式推理，若已知證據(jù)為y is B則：Am=RmBAa=RaB32扎德法推理舉例(1)例. 設(shè)論域U=V=金, 木, 水, 火, 土，其上的兩個(gè)模糊集分別為：A=1/金+0.7/木+

15、0.3/土B=0.1/水+1/火+0.2/土又已知模糊知識(shí)IFxisATHENyisB和證據(jù)x is A，其中A的模糊集為：A=0.8/金+1/木+0.4/土請(qǐng)進(jìn)行模糊推理，求出模糊結(jié)論。解：則由模糊知識(shí)可分別得到Rm與Ra：Rm(i,j)=(A(ui)B(vj)(1-A(ui)，Ra(i,j)=1(1-A(ui)+B(vj)33扎德法推理舉例(2)然后由Rm和Ra及證據(jù)“x is A”可分別得到Bm和Ba：由Rm方法推出的模糊結(jié)論是0.4/金, 0.4/木, 0.4/水, 0.8/火, 0.4/土，由Ra方法推出的模糊結(jié)論是0.4/金, 0.4/木, 0.4/水, 1/火, 0.5/土。34

16、麥姆德尼方法麥姆德尼提出了一個(gè)稱為條件命題的最小運(yùn)算規(guī)則來構(gòu)造模糊關(guān)系，記為Rc，其定義為：例. 仍以上例中的數(shù)據(jù)和知識(shí)為例。但是已知證據(jù)為y is B，其中B的模糊集為：B=0.1/金+0.9/木+0.4/水+1/火+0.3/土請(qǐng)進(jìn)行模糊推理，求出模糊結(jié)論。 35麥姆德尼方法舉例解：由模糊知識(shí)可得到Rc： 所以最終推出的模糊結(jié)論就是1/金, 0.7/木, 0.3/土。 36米祖莫托方法米祖莫托等人根據(jù)多值邏輯中計(jì)算T(AB)的定義，提出了一組構(gòu)造模糊關(guān)系的方法，分別記為Rs,Rg,Rsg,Rgs,Rgg,Rss等等。其定義分別為：37米祖莫托方法舉例Rs和Rg的求法如下：對(duì)于上例給出的數(shù)據(jù)，

17、有Bs=ARs=0,0,0,1,0=1/火 Bg=ARg=0,0,0.1,1,0.2=0.1/水, 1/火, 0.2/土 38各種模糊關(guān)系的性能分析(1)比較模糊關(guān)系性能所依據(jù)的基本原則：原則1：知識(shí)：IF x is A THEN y is B證據(jù)：x is A-結(jié)論：y is B原則2：知識(shí)：IF x is A THEN y is B證據(jù)：x is very A-結(jié)論：y is very By is B39各種模糊關(guān)系的性能分析(2)原則3：知識(shí)：IF x is A THEN y is B證據(jù)：x is more or less A-結(jié)論：y is more or less By is B原

18、則4：知識(shí)：IF x is A THEN y is B證據(jù)：x is not A-結(jié)論：y is unknowny is not B以上原則是針對(duì)模糊假言推理的。40各種模糊關(guān)系的性能分析(3)原則5：知識(shí)：IF x is A THEN y is B證據(jù)：y is not B-結(jié)論：x is not A原則6：知識(shí)：IF x is A THEN y is B證據(jù)：y is not very B-結(jié)論：x is not very A41各種模糊關(guān)系的性能分析(4)原則7：知識(shí)：IF x is A THEN y is B證據(jù)：y is not more or less B-結(jié)論：x is not

19、more or less A原則8：知識(shí)：IF x is A THEN y is B證據(jù)：y is B-結(jié)論：x is unknownx is A42模糊關(guān)系評(píng)測實(shí)例例. 設(shè)U=V=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5B=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8+1/9+1/10已知模糊規(guī)則：IFx is ATHENy is B求已知下列證據(jù)時(shí)的推理結(jié)果。(1) x is very A(2) X is not A(3) Y is B(4) Y is very B43根據(jù)基本概念擴(kuò)充法，由A可得：very A=1,0.6

20、4,0.36,0.16,0.04,0,0,0,0,0more or less A=1,0.89,0.77,0.63,0.45,0,0,0,0,0not A=0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1,1,1,1not very A=0,0.36,0.64,0.84,0.96,1,1,1,1,1not more or less A=0,0.11,0.23,0.37,0.55,1,1,1,1,144由B可得：very B=0,0,0,0.04,0.16,0.36,0.64,1,1,1more or less B=0,0,0,0.45,0.63,0.77,0.89,1,1,1not B=1,1,1,

21、0.8,0.6,0.4,0.2,0,0,0not very B=1,1,1,0.96,0.84,0.64,0.36,0,0,0not more or less B=1,1,1,0.55,0.37,0.23,0.11,0,0,045474849各種模糊關(guān)系符合推理原則情況一覽表50原則ABRm Ra Rc Rs Rg Rsg Rgg Rgs Rss Rb R R R* R# R1234AVery AVery Amore or less AMore or less ANot ANot ABVery BBMore or less BBUnknownNot B v v v v v v v v v v

22、v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v 5678Not ANot very ANot more or less AUnknownANot BNot very BNot more or less BBB v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v 4.5.3 模糊三段論推理模糊三段論推理R1: IF x is A THEN y is BR2: IF y is B THEN z is C-R3: IF x is A THEN z is C如果R3能夠從R1和R2推導(dǎo)出來，則稱該模糊三段論成立。其中A

23、、B、C分別是論域U、V、W上的模糊集。設(shè)R(A,B),R(B,C)與R(A,C)分別是從上述模糊知識(shí)中得到的模糊關(guān)系，它們分別定義在UV,VW,UW上，當(dāng)模糊三段論成立時(shí)，應(yīng)有：R(A,B)R(BC)=R(A,C)成立，反之亦然。51滿足模糊三段論的模糊關(guān)系在前面討論的15種模糊關(guān)系中，有一些能滿足模糊三段論，有一些不能滿足。設(shè)U=V=W=1,2,3,4,5A=1/1+0.6/2+0.2/3B=0.3/3+0.7/4+1/5C=0.09/3+0.49/4+1/5對(duì)Rm由R1，R2，R3分別得到：5253顯然，Rm(A,B)Rm(B,C)Rm(A,C)。這說明Rm不滿足模糊三段論。54顯然，R

24、g(A,B)Rg(B,C)=Rg(A,C)這說明Rg滿足模糊三段論。各種模糊關(guān)系滿足模糊三段論情況表中，“v”表示滿足，“”表示不滿足。55模糊關(guān)系Rm Ra Rc Rs Rg Rsg Rgg Rgs Rss Rb R R R* R# R模糊三段論 v v v v v v v v4.5.4 多維模糊推理所謂多維模糊推理是指知識(shí)的前提條件是復(fù)合條件的一類推理。其一般模式為：知識(shí)：IF x1 is A1 AND x2 is A2 ANDAND xn is An THEN y is B證據(jù)： x1 is A1 x2 is A2 xn is An-結(jié)論：y is B其中，Ai，AiF(Ui);B,BF

25、(V);Ui及V是論域，i=1,2,n。對(duì)于多維模糊推理，目前主要有三種處理方法。561. 扎德方法該方法的基本思想是：(1)求出A1,A2,An的交集，并記為A。(2)求出A與B之間的模糊關(guān)系R(A,B)，記為R(A1,A2,An,B)。(3)求出證據(jù)中A1,A2,An的交集，并記為A。(4)由A與R(A,B)的合成求出B。57多維模糊推理舉例例. 設(shè)U=V=W=1,2,3,4,5A1=1,0.6,0,0,0, A2=0,1,0.5,0,0, B=0,0,1,0.8,0A1=0.8,0.5,0,0,0, A2=0,0.9,0.5,0,0。用Ra關(guān)系推理。解：由已知可得:A1A2=0,0.6,

26、0,0,0， A1A2=0,0.5,0,0,0Ba=(A1A2)Ra(A1,A2,B)=0.4,0.4,0.5,0.5,0.4582. 祖卡莫托(Tsukamoto)方法該方法的基本思想是：首先對(duì)復(fù)合條件中的每一個(gè)簡單條件按簡單條件模糊推理求出相應(yīng)的Bi，即Bi=AiR(Ai,B),i=1,2,n然后再對(duì)各Bi取交，從而得到B，即B=B1B2Bn59例. 對(duì)上例中的數(shù)據(jù)，用Rs關(guān)系推理。可得：Bs1=A1Rs(A1,B)=0,0,0.8,0.5,060Bs2=A2Rs(A2,B)=0,0,0.9,0.5,0最后可得：Bs=Bs1Bs2=0,0,0.8,0.5,0613. 蘇更諾(Sugeno)

27、方法該方法通過遞推計(jì)算求出B，具體為：B1=A1R(A1,B)B2=A2R(A2,B1)B=Bn=AnR(An,Bn-1)62蘇更諾方法舉例對(duì)上例的數(shù)據(jù)，使用Rs關(guān)系可得：634.5.5 多重模糊推理所謂多重模糊推理，一般是指知識(shí)具有如下表示形式的一種推理：IF x is A1THENy is B1ELSEIF x is A2THENy is B2ELSEIF x is AnTHENy is Bn其中，AiF(U),BiF(V),i=1,2,n。這里只討論它的一種簡單形式：IF x is A THENy is BELSEy is C其中AF(U),B,CF(V)。其推理模式為：知識(shí)：IF x

28、is A THEN y is BELSEy is C證據(jù)： x1 is A -結(jié)論：y is D其中A,AF(U);B,C,DF(V)。設(shè)R為UV上A與B及C之間的模糊關(guān)系，則D可通過A與R的合成得到，即D=AR64多重模糊推理中的模糊關(guān)系設(shè)U=V=1,2,3,4,5,6, A=1,0.8,0.5,0.3,0.1,0, B=0,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8, C=1,0.9,0.8,0.6,0.4,0.2654.5.6 帶有可信度因子的模糊推理帶有可信度因子的模糊推理可以把模糊性和隨機(jī)性結(jié)合起來，使之既能表示和處理模糊性，又能表示和處理隨機(jī)性。在這種模糊推理中，由隨機(jī)性引起的不確定性用可信度因子CF表示，由模糊性引起的不確定性用模糊集表示。對(duì)于帶有可信度因子的簡單模糊推理，推理模式為：知識(shí)：IF x is A THEN y is BCF1證據(jù)：x is A CF2-結(jié)論：y is B CF對(duì)于帶有可信度因子的多維模糊推理，推理模式為：知識(shí)：IF x1 is A1 AND x2 is A2 ANDAND xn is An THEN y is B CF1證據(jù)： x1 is A1 CF2 x2 is A2 CF3 xn is An CFn+1-結(jié)論： y is B CF其中A,AF(U);Ai,AiF(Ui),