信號與線性系統(tǒng)（第四版）吳大正 2章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析

1、第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 卷積積分2.4 卷積積分的性質(zhì) 2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 描述線性非時變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)微分方程。對于電系統(tǒng)，列寫數(shù)學(xué)模型的基本依據(jù)有如下兩方面。 元件約束VAR 在電流、電壓取關(guān)聯(lián)參考方向條件下： (1)電阻R，uR(t)=RiR(t)； (2)電感L， (3)電容C， (4)互感(同、異名端連接)、理想變壓器等原、副邊電壓、電流關(guān)系等。n階常系數(shù)微分方程的求解法 the solution method for constant-coefficient difference equatio

2、n of Nth-order 全響應(yīng)=齊次方程通解+非齊次方程通解（自由響應(yīng)）（受迫響應(yīng)） 全響應(yīng)= 零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng) （解齊次方程）（疊加積分法） 卷積，杜阿美爾積分 時域分析法（經(jīng)典法） 變換域法（第五章拉普拉斯變換法）微分方程求解自由（固有響應(yīng)）：由系統(tǒng)特性決定=齊次解強(qiáng)迫響應(yīng)：由激勵決定=特解一、微分方程的經(jīng)典解 單輸入、單輸出線性非時變的激勵為f(t)，其全響應(yīng)為y(t)， 式中an-1，a1，a0和bm，bm-1，b1，b0均為常數(shù)。該方程的全解由齊次解和特解組成。齊次方程的解即為齊次解，用yh(t)表示。非齊次方程的特解用yp(t)表示。即有 y(t)=yh(t)+yp(t

3、) 1.齊次解 齊次解滿足齊次微分方程 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 由高等數(shù)學(xué)經(jīng)典理論知，該齊次微分方程的特征方程為 n+a n-1 n-1+a1 +a0=0 (1)特征根均為單根。如果幾個特征根都互不相同(即無重根)，則微分方程的齊次解 (2)特征根有重根。若是特征方程的重根，即有1=2=3=， (3)特征根有一對單復(fù)根。即 1,2=ajb，則微分方程的齊次解 yh(t)=c1eatcos(bt)+c2eatsin(bt ) (4)特征根有一對m重復(fù)根。即共有m重1,2=ajb的復(fù)根，則微分方程的齊次解 例2-1求微分方程y(t)+2

4、y(t)+y(t)=f(t)的齊次解。 解 由特征方程2+2+1=0解得二重根1=2=-1，因此該方程的齊次解 yh(t)=c1e-t+c2te-t 2.特解 特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關(guān)。表21列出了幾種類型的激勵函數(shù)f(t)及其所對應(yīng)的特征解yp(t)。選定特解后，將它代入到原微分方程，求出其待定系數(shù)Pi，就可得出特解。 表21 例2-2若輸入激勵f(t)=e-t，試求微分方程y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)的特解。將特解yp(t)代入微分方程，有 解:查表21，因為f(t)=e-t，= -1與一個特征根1= -1相同，因此該方程的特解 3.完全解 完全解是齊次解與特解之和

5、，如果微分方程的特征根全為單根，則微分方程的全解為 當(dāng)特征根中1為重根，而其余(n-)個根均為單根時，方程的全解為將給定的初始條件分別代入到上式及其各階導(dǎo)數(shù)，求得待定系數(shù) 例2-3 描述某線性非時變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)，已知系統(tǒng)的初始條件是y(0)=y(0)=0，輸入激勵f(t)=e-t(t)，試求全響應(yīng)y(t)。解： 該方程的齊次解和特解分別是 由初始條件y(0)=y(0)=0，有2+3+2=0 =-1，-2 yh(t)=c1e-t+c2e-2t yp(t)=d1te-t+ d2e-t yp(t)=te-t 因此，完全解是 y(t)=c1e-t+c2

6、e-2t+te-ty(0)=c1+c2=0 y(0)=-c1-2c2+1=0 解得c1=-1，c2=1，所以，全響應(yīng)為 y(t)=(-e-t+e-2t+te-t) (t) y (t)=-c1e-t+-2c2e-2t-te-t+e-t二、 關(guān)于0+與0-系統(tǒng)在 激勵下的響應(yīng)為 ，當(dāng) 在 加入時， 的響應(yīng)時間為 ，那么在求系統(tǒng)響應(yīng) 的待定系數(shù)時必須用時間為 時的邊界條件 初始條件。但有時題目給你的邊界條件是 起始狀態(tài)，這時就必須將 轉(zhuǎn)換成 。 例2-4：微分方程：初始狀態(tài)： 、 ，激勵為 ，求： ， 。只考慮 到 過程。解：設(shè)：等式右端 的最高階導(dǎo)數(shù)依次到 (2)將（1）、（2）代入（3）解：設(shè)：

7、(2)將（1）、（2）代入（3） 三、 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 線性非時變系統(tǒng)的完全響應(yīng)也可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。零輸入響應(yīng)是激勵為零時僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)所引起的響應(yīng)，用yx(t)表示；零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零(即系統(tǒng)的初始儲能為零)時，僅由輸入信號所引起的響應(yīng)，用yf(t)表示。這樣，線性非時變系統(tǒng)的全響應(yīng)將是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和，即 y(t)=yx(t)+yf(t) 在零輸入條件下，等式右端均為零，化為齊次方程。若其特征根全為單根，則其零輸入響應(yīng) 若系統(tǒng)的初始儲能為零，亦即初始狀態(tài)為零 ，這時為非齊次方程。若其特征根均為單根，則其零狀態(tài)響應(yīng)式中cxi為待定常數(shù)。

8、 式中cfi為待定常數(shù)。 系統(tǒng)的完全響應(yīng)即可分解為自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)，也可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，它們的關(guān)系為： 式中 0-到0+ 例2-5：微分方程： ，初始狀態(tài)： 、 ，激勵： 。求： 、 、解：（1）零輸入響應(yīng)特征方程 特征根 （2）零狀態(tài)響應(yīng)特解 特解的形式為： 代入上式得： 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)的初始條件 代入得代入得 （3）完全響應(yīng)2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、沖激響應(yīng) 線性非時變系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時，輸入為單位沖激信號(t)所引起的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，用h(t)表示。亦即，沖激響應(yīng)是激勵為單位沖激信號(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)

9、。 例2-1已知某線性非時變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為解：特征方程 特征根 由于當(dāng) 時， 自由響應(yīng)（齊次解） 強(qiáng)迫響應(yīng)（特解） 完全響應(yīng)（齊次解+特解） 代入 代入得二 階躍響應(yīng) 線性非時變系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時，輸入為單位階躍函數(shù)所引起的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，用g(t)表示。階躍響應(yīng)是激勵為單位階躍函數(shù)t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 例2-2 若描述系統(tǒng)的微分方程為y(t)+3y(t)+2y(t)= 1/2 f(t)+2f(t) 試求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。 解 ： y(t)+3y(t)+2y(t)= 1/2 (t)+2(t)求0+，設(shè)y(t)= A1(t)+ A2 (t) y(t)= A1(t

10、) 代入得 y(t)= 0A1=1/2 A2=1/2 y(0+)=1/2 y(0+)=0 系統(tǒng)的特征根為1=-1，2=-2， t0+時，等式右端等于2(t)，設(shè)特解為P，可得P=1 ，所以 其階躍響應(yīng) g(t)=(c1e-t+c2e-2t+1)(t)所以，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為 2.3 卷積積分 一 信號分解為沖激信號序列 在信號分析與系統(tǒng)分析時，常常需要將信號分解為基本信號的形式。這樣，對信號與系統(tǒng)的分析就變?yōu)閷拘盘柕姆治?，從而將?fù)雜問題簡單化，且可以使信號與系統(tǒng)分析的物理過程更加清晰。信號分解為沖激信號序列就是其中的一個實例。 任意函數(shù)表示為階躍函數(shù)的積分任意函數(shù)表示為沖激函數(shù)的積分.面積=1一、卷積積分integral輸入為 時 零狀態(tài)響應(yīng)輸入為 時 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)卷積積分標(biāo)記為1.定義：任意兩個信號 和 的卷積積分運算如下：當(dāng)系