“放縮法”證明不等式的基本策略

1、PAGE - PAGE 28 -例談“放縮法”證明不等式的基本策略近年來(lái)在高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，而不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，它可以考察學(xué)生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關(guān)系的樸素思想和基本出發(fā)點(diǎn), 有極大的遷移性, 對(duì)它的運(yùn)用往往能體現(xiàn)出創(chuàng)造性?！胺趴s法”它可以和很多知識(shí)內(nèi)容結(jié)合，對(duì)應(yīng)變能力有較高的要求。因?yàn)榉趴s必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察，放縮時(shí)要注意適度，否則就不能同向傳遞。下面結(jié)合一些高考試題，例談“放縮”的基本策略，期望對(duì)讀者能有所幫助。1、添加或舍

2、棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）例1、已知求證：證明： 若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。由于證明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證明的目的。本題在放縮時(shí)就舍去了，從而是使和式得到化簡(jiǎn).2、先放縮再求和（或先求和再放縮）例2、函數(shù)f（x）=，求證：f（1）+f（2）+f（n）n+.證明：由f(n)= =1-得f（1）+f（2）+f（n）.此題不等式左邊不易求和,此時(shí)根據(jù)不等式右邊特征, 先將分子變?yōu)槌?shù)，再對(duì)分母進(jìn)行放縮，從而對(duì)左邊可以進(jìn)行求和. 若分子, 分母如果同時(shí)存在變量時(shí), 要設(shè)法使其中之一變?yōu)?/p>

3、常量，分式的放縮對(duì)于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。3、先放縮，后裂項(xiàng)（或先裂項(xiàng)再放縮）例3、已知an=n ，求證： eq o(,sup5(n),sdo5(k=1) eq f( eq r(k) , eq ao(2,k) ) 3證明： eq o(,sup5(n),sdo5(k=1) = eq o(,sup5(n),sdo5(k=1) 1 eq o(,sup5(n),sdo5(k=2) eq f(1, eq r(k1)k(k1) ) eq o(,sup5(n),sdo5(k=2) eq f(2, eq r(k1)(k1)

4、( eq r(k1) eq r(k1) ) =1 eq o(,sup5(n),sdo5(k=2) ( eq f(1, eq r(k1) ) eq f(1, eq r(k1) ) ) =11 eq f(1, eq r(n1) ) 23本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項(xiàng)，最后又放縮，有的放矢，直達(dá)目標(biāo).4、放大或縮小“因式”；例4、已知數(shù)列滿足求證：證明 本題通過對(duì)因式放大，而得到一個(gè)容易求和的式子，最終得出證明.5、逐項(xiàng)放大或縮小例5、設(shè)求證： 證明： ， 本題利用，對(duì)中每項(xiàng)都進(jìn)行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。6、固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)；例6、求證：證明：此題采用了從第三

5、項(xiàng)開始拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時(shí)，不一定從第一項(xiàng)開始，須根據(jù)具體題型分別對(duì)待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。7、利用基本不等式放縮例7、已知，證明：不等式對(duì)任何正整數(shù)都成立.證明：要證，只要證 .因?yàn)?，故只要證 ，即只要證 .因?yàn)?，所以命題得證.本題通過化簡(jiǎn)整理之后，再利用基本不等式由放大即可.8、先適當(dāng)組合, 排序, 再逐項(xiàng)比較或放縮例8、.已知i，m、n是正整數(shù)，且1imn.(1)證明：niAmiA；(2)證明：(1+m)n(1+n)m證明：(1)對(duì)于1im，且A =m(mi+1)，由于mn，對(duì)于整數(shù)k=1，2，i1，有，所以(2)由二項(xiàng)式定理有：(1+m)n=1+C

6、m+Cm2+Cmn，(1+n)m=1+Cn+Cn2+Cnm，由(1)知miAniA (1imn ，而C=miCinniCim(1mnm0C=n0C=1，mC=nC=mn，m2Cn2C，mmCnmC，mm+1C0，mnC0，1+Cm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm，即(1+m)n(1+n)m成立.以上介紹了用“放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)問題的特征選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ袝r(shí)還需要幾種方法融為一體。在證明過程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮后得不出結(jié)論或得到相反的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時(shí)，如何確定放縮目

7、標(biāo)尤為重要。要想正確確定放縮目標(biāo)，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點(diǎn)。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。希望大家能夠進(jìn)一步的了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調(diào)整手段. 求證證明本題觀察數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律，采用通項(xiàng)放縮的技巧把一般數(shù)列轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列，從而達(dá)到簡(jiǎn)化證題的目的。求證 證明 說明：若本題從第二項(xiàng)起放大，則左邊1+1-2 ,這使的證明失敗.例 1 4 分析 淺談?dòng)梅趴s法證明不等式的方法與技巧放縮法：為放寬或縮小不等式的范圍的方法。常用在多項(xiàng)式中“舍掉一些

8、正（負(fù)）項(xiàng)”而使不等式各項(xiàng)之和變?。ù螅?，或“在分式中放大或縮小分式的分子分母”，或“在乘積式中用較大（較?。┮蚴酱妗钡刃Х?，而達(dá)到其證題目的。所謂放縮的技巧：即欲證，欲尋找一個(gè)（或多個(gè)）中間變量C，使，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“縮”。常用的放縮技巧還有：（1）若（2）（3）若則（4）（5）（6）或（7）等等。用放縮法證明下列各題。例1 求證：證明：因?yàn)樗宰筮呉驗(yàn)?9100（放大）所以例2 （2000年海南理11）若求證：證明：因?yàn)樗砸驗(yàn)橐驗(yàn)椋ǚ糯螅?，所以又所以是增函?shù)，所以，所以例3 （2001年云南理1）求證：證明：（因?yàn)椋┯忠驗(yàn)椋ǚ糯螅?，所以所以? 已知求證：證明：因?yàn)槔?/p>

9、5 求證：證明：因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)椋ǚ糯螅┧岳? （2000年湖南省會(huì)考）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是證明：因?yàn)樵瘮?shù)配方得又因?yàn)樗裕s?。?，所以函數(shù)y的最小值是。當(dāng)所以（放大），所以函數(shù)y的最大值是例7 求證：證明：因?yàn)椋ǚ帜赣欣砘┧栽坏仁匠闪?。? （2002年貴州省理21）若求證：證明：因?yàn)槎运酝砜勺C（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）。例9 已知a、b、c分別是一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，求證：證明：不妨設(shè)據(jù)三角形三邊關(guān)系定理有：便得所以原不等式成立。例10 （1999年湖南省理16）求證：證明：因?yàn)橛炙栽坏仁匠闪ⅰ＠?1 求證：證明：因?yàn)樽筮呑C畢。例12 求證證明：因?yàn)?/p>

10、所以左邊注：1、放縮法的理論依據(jù)，是不等式的傳遞性，即若則。2、使用放縮法時(shí)，“放”、“縮”都不要過頭。3、放縮法是一種技巧性較強(qiáng)的不等變形，一般用于兩邊差別較大的不等式。常用的有“添舍放縮”和“分式放縮”，都是用于不等式證明中局部放縮。用放縮法證明不等式的方法與技巧放縮法：為放寬或縮小不等式的范圍的方法。常用在多項(xiàng)式中“舍掉一些正（負(fù)）項(xiàng)”而使不等式各項(xiàng)之和變?。ù螅?，或“在分式中放大或縮小分式的分子分母”，或“在乘積式中用較大（較?。┮蚴酱妗钡刃Х?，而達(dá)到其證題目的。一常用公式1 23( 4()5（待學(xué)） 6 （待學(xué)）二放縮技巧所謂放縮的技巧：即欲證，欲尋找一個(gè)（或多個(gè)）中間變量，使，由

11、到叫做“放”，由到叫做“縮”.常用的放縮技巧（1）若（2） ，（3）（4）（5）若，則（6）（7）（因?yàn)椋?） 或（8）等等。三常見題型（一）先求和再放縮: 1設(shè)，求證：2設(shè)（），數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：（二）先放縮再求和:3證明不等式：4設(shè)（1）求證：當(dāng)時(shí)，；（2）試探究：當(dāng)時(shí)，是否有？說明理由.5設(shè)，求證：（1） （2）6設(shè)， 求證（1） （2）7 設(shè)， 求證: 8 蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖. 其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以表示第個(gè)圖的蜂巢總數(shù).（1）試給出的值，并求的表

12、達(dá)式（不要求證明）；（2）證明：.9（10廣州）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意的N，都有為常數(shù)，且（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足 ，N，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）在滿足（2）的條件下，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和10（010深圳）在單調(diào)遞增數(shù)列中，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，（1）分別計(jì)算，和，的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（將用表示）；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：，2證： .3證明：2 4解：（1）當(dāng)時(shí)， 又當(dāng)時(shí)，.（2） 當(dāng)時(shí),要只需 即需，顯然這在時(shí)成立 而,當(dāng)時(shí) 顯然 即當(dāng)時(shí)也成立綜上所述：當(dāng)時(shí)，有. 5證法一： .10分證法二：，下同證法一. 10分證法三：（利用對(duì)偶式）設(shè)，則

13、.又，也即，所以，也即，又因?yàn)椋?即 10分證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)時(shí), ,命題成立; 假設(shè)時(shí),命題成立,即, 則當(dāng)時(shí), 即即故當(dāng)時(shí)，命題成立.綜上可知，對(duì)一切非零自然數(shù)，不等式成立. 10分 由于，所以，從而.也即14分6 證明：（法一） 12分 （法二）（1）當(dāng)，顯然成立 5分 （2）假設(shè)時(shí)， 7分即當(dāng)時(shí)，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。12分6 證明：（法一） 12分 （法二）（1）當(dāng)，顯然成立 5分 （2）假設(shè)時(shí)， 7分即當(dāng)時(shí)，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。12分7證明: 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí). 故 綜上，原不等式成立 8解： 由于因此，當(dāng)時(shí)，有所以.又，所以. （注：直接給出結(jié)果也給分）當(dāng)時(shí)，. 所以. 9（1）證明：當(dāng)時(shí)，解得 當(dāng)時(shí)， 即為常數(shù)，且， 數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列 （2）解：由（1）得， ， ，即 是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列 ，即（N）（3）證明：由（2）知，則所以 ， 當(dāng)時(shí)， 所以 10解：（1）由已知，得，. （2）（證法1），；，.猜想,， 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明之當(dāng)時(shí)，猜想成立；假設(shè)時(shí)，猜想成立，即,，那么,.時(shí)，猜想也成立由，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對(duì)任意的，猜想成立 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （注：通項(xiàng)公式也可以寫