用折合質(zhì)量法計算混合氣體分子碰撞頻率

1、用折合質(zhì)量法計算混合氣體分子碰撞頻率摘要:在查找文獻(xiàn)1的過程中，我發(fā)現(xiàn)了對于氣體分子碰撞頻率的一種巧妙的計算方法折合質(zhì)量法，我嘗試著將它推廣到了兩種分子的情況。關(guān)鍵詞：分子碰撞頻率，折合質(zhì)量法分子碰撞的兩種模型著名物理學(xué)家麥克斯韋和波爾茲曼在十九世紀(jì)后半期對分子的相互碰撞進(jìn)行了研究，提出了兩個模型，一個是彈性鋼球模型，一個是力心點模型1。接下來將采用的是前者，其假設(shè)每個分子都是小球，相互做彈性碰撞，在碰撞時球的大小和形狀都不改變；并且球面是光滑的，在碰撞的一剎那，接觸面沒有摩擦。折合質(zhì)量法折合質(zhì)量法適用于兩體運動，可以描述為：當(dāng)兩個質(zhì)量分別為m,m2的物體之間僅有連線方向的力Fr作用時，在一個

2、物體看來，另一個物體可以等效為在力Fr的作用下質(zhì)量為mmI!=m1+m2（1）的物體的運動。雖然大量氣體分子的碰撞不是兩體運動，但是由于氣體分子非常小且碰撞十分劇烈，所以可以假設(shè)每一次碰撞僅有兩個分子發(fā)生碰撞，折合質(zhì)量法可以適用。下面將進(jìn)行詳細(xì)描述。折合質(zhì)量法推導(dǎo)一種分子情況下的碰撞頻率為了簡化分析，先考慮一個分子A的運動，在這個分子看來，其它分子以折合質(zhì)量進(jìn)行著碰撞，碰撞使它們達(dá)到平衡分布，即麥克斯韋分布。為了計算平均自由程，需要知道分子之間的平均相對速度，而由于單個分子在劇烈碰撞之中不斷地改變著方向，可以假設(shè)平均相對速度即為在A看來所有分子的平均速率，計算將驗證這個假設(shè)的合理性。為了簡單，

3、先考慮單個分子的平均自由程。熟知的在球坐標(biāo)下的麥克斯韋速度分布為：fv=(m2nkT)3/2七2）使用折合質(zhì)量法時，上式中的m應(yīng)取折合質(zhì)量，在只有一個原子的情況下，折3）10)合質(zhì)量為下式所示：m1m2ml+m2V=vcos0c2dGdt仔細(xì)地考慮一個分子（A）的情況2，在這個分子看來，所有分子以相對速度v向其碰來，v滿足（2）式的麥克斯韋速度分布。假設(shè)碰撞瞬間，兩分子共同法線方向為仏速度u與兀的夾角為在此附近的分子落在立體角dQ中。那么，對于速度為u的分子，在dt時間內(nèi)落到分子A上的分子應(yīng)該位于一個圓柱上，這個圓柱的體積為：其中c為分子直徑。那么，在dt時間內(nèi)落到A分子上的速度位于v-v+d

4、v的分子數(shù)目是d0=nf(v)vccos0dQdtdvo上式中，f（V）表示麥克斯韋速度分布函數(shù)，n0為單位體積內(nèi)一的分子數(shù)，分子的分布是均勻的。由此可以很容易地得到，單位時間內(nèi)落到A分子上的分子數(shù)目為4)d0=nf(v)vccos0dQdvA0先對上式中的dQ進(jìn)行積分，dQ=sin0d0d*（申為以法線方向構(gòu)造球坐標(biāo)系后引入的另一個角度），0的取值范圍為0-（否則分子將無法落在A上）,貝惰2Jf（v）vc2cos0dQdv=f（v）vc2dvfcos0dQ=f(v)vc2dv予d*f1sin20d000=兀f(v)vc2dv再次積分即得單位時間內(nèi)的碰撞次數(shù)5)0=nf兀f(v)vc2dv=k

5、nvc200這里的平均速度為平均相對速度，由折合質(zhì)量法可知，其與分子平均速度的關(guān)系為6)8kTmng207)這正是課本4上得到的結(jié)果混合氣體情況下碰撞頻率的計算在混合氣體情況下，分析與上一節(jié)并無不同，只是要注意考慮一個分子與多種分子碰撞的情況。下面考慮兩種分子1和2的情況，即在碰撞頻率上增加一項8)0=0+01,11,2其中第一項是1與1的碰撞頻率，第二項是1與2的碰撞頻率。根據(jù)分子混沌假設(shè)3，這兩種分子的分布是彼此獨立的，都是麥克斯韋分布。上面的方法對這種情況完全適用。具體來說，只需要將(5)式中的折合質(zhì)量進(jìn)行更換就可以了，簡單計算后可以得到：TOC o 1-5 h z HYPERLINK

6、l bookmark19 o Current Document 8kT；8kT(m+m)z、0=2rng2一+兀ng212(9) HYPERLINK l bookmark21 o Current Document 11m2mm11112這與文獻(xiàn)2中第四章的式(19)完全一致，且導(dǎo)出方法更加直觀。實驗數(shù)據(jù)的驗證求碰撞頻率的重要作用是求分子的平均自由程，而求得平均自由程則可以在半定量的基礎(chǔ)上求得分子的輸運系數(shù)，下面對于氮氣在一個大氣壓下面的粘度系數(shù)進(jìn)行實驗與理論的驗證，以求對統(tǒng)計規(guī)律在現(xiàn)實世界中的重要性有更直觀的感受。從網(wǎng)絡(luò)(網(wǎng)址在這)上查得氮氣在一個大氣壓下的粘度系數(shù)隨溫度的變化為：溫度Cc)0102030405060708090黏度(|lPa-s)16.6317.1117.518.0418.4918.9419.3919.8220.2620.68而粘度系數(shù)的公式為5TOC o 1-5 h zn=1p嬴=丄埠33d2兀3計算時取氮分子的有效直徑d=3.8X10-10m,利用MATLAB將實際數(shù)據(jù)與計算結(jié)果進(jìn)行擬合，得到下面的結(jié)果1Dd刑5。刖20304D5D7030901QO圖2，上方是實際數(shù)據(jù)，下方是計算數(shù)據(jù)由此可見，雖然計算結(jié)果與實際結(jié)果仍有不小的偏差，但數(shù)量級相同，偏差大約在105，統(tǒng)計理論在實際中獲得了較好的驗證。參考文獻(xiàn)1曹烈兆