電工基礎（第五版） 課件全套 白乃平 第1-9章 電路的基本概念和基本定律- 磁路與鐵芯線圈+附錄 常用電工儀表簡介

1.1電路和電路模型1.2電流、電壓及其參考方向1.3電功率和電能1.4電阻元件和歐姆定律1.5電壓源和電流源

1.6基爾霍夫定律本章小結

思考題第1章電路的基本概念和基本定律

1.1電路和電路模型

1.1.1電路

電路是電流的流通路徑,它是由一些電氣設備和元器件按一定方式連接而成的。復雜的電路呈網(wǎng)狀,又稱網(wǎng)絡。電路和網(wǎng)絡這兩個術語是通用的。

電路的一種作用是實現(xiàn)電能的傳輸和轉(zhuǎn)換,各類電力系統(tǒng)就是典型實例。圖1.1(a)是一種簡單的實際電路,它由干電池、開關、小燈泡和連接導線等組成。當開關閉合時,電路中有電流通過,小燈泡發(fā)光,干電池向電路提供電能;小燈泡是耗能器件,它把電能轉(zhuǎn)化為熱能和光能;開關和連接導線的作用是把干電池和小燈泡連接起來,構成電流通路。

電路的另一種作用是實現(xiàn)信號的處理,收音機和電視機電路就是這類實例。收音機和電視機中的調(diào)諧電路是用來選擇所需要的信號的。由于收到的信號很弱,因此需要采用放大電路對信號進行放大。調(diào)諧電路和放大電路的作用就是完成對信號的處理。電路中提供電能或信號的器件稱為電源,如圖1.1(a)中的干電池。電路中吸收電能或輸出信號的器件稱為負載,如圖1.1(a)中的小燈泡。在電源和負載之間引導和控制電流的導線和開關等是傳輸控制器件。電路是通過傳輸控制器件將電源和負載連接起來而構成的。電路的基本作用是實現(xiàn)電能傳輸或信號處理功能。1.1.2理想電路元件

組成電路的實際電氣元器件是多種多樣的,其電磁性能的表現(xiàn)往往是相互交織在一起的。在研究時,為了便于分析,常常在一定條件下對實際器件加以理想化,只考慮其中起主要作用的某些電磁現(xiàn)象,而將次要現(xiàn)象忽略,或者將一些電磁現(xiàn)象分別表示。例如圖1.1(a)中,在電流的作用下,小燈泡不但發(fā)熱消耗電能,而且在其周圍還會產(chǎn)生一定的磁場,由于產(chǎn)生的磁場較弱,干電池不但在其正負極間能保持有給定的電壓對外部提供電能,而且其內(nèi)部也有一定的電能損耗;對閉合的開關和導線則只考慮導電性能而忽略其本身的電能損耗。如上所述,在一定的條件下,我們用足以反映其主要電磁性能的一些理想電路元件或它們的組合來模擬實際電路中的器件。理想電路元件是一種理想化的模型,簡稱為電路元件。每一種電路元件只表示一種電磁現(xiàn)象,具有某種確定的電磁性能和精確的數(shù)學定義。我們常見的電路元件是一些所謂的集中參數(shù)元件,元件特性由其端點上的電流和電壓來確切表示。當構成電路的元件及電路本身的尺寸遠小于電路工作時的電磁波的波長時,稱這些元件為集中參數(shù)元件。由集中參數(shù)元件組成的電路稱為集中參數(shù)電路。例如,電阻元件是表示消耗電能的元件;電感元件是表示其周圍空間存在著磁場且可以儲存磁場能量的元件;電容元件是表示其周圍空間存在著電場且可以儲存電場能量的元件等。

上述這些電路元件通過引出端互相連接。具有兩個引出端的元件稱為二端元件;具有兩個以上引出端的元件稱為多端元件。1.1.3電路模型

實際電路可以用一個或若干個理想電路元件經(jīng)理想導體連接起來進行模擬,這便構成了電路模型。圖1.1(b)是圖1.1(a)的電路模型。實際器件和電路的種類繁多,而理想電路元件只有有限的幾種,用理想電路元件建立的電路模型將使電路的研究大大簡化。建立電路模型時應使其外部特性與實際電路的外部特性盡量近似,但兩者的性能并不一定也不可能完全相同。同一實際電路在不同條件下往往要求用不同的電路模型來表示。例如,一個線圈在低頻時可以只考慮其中的磁場和耗能,甚至有時只考慮磁場就可以了,但在高頻時則應考慮電場的影響,而在直流時就只需考慮耗能了。

在電路理論中,我們研究的是由理想元件所構成的電路模型及其一般性質(zhì)。借助于這種理想化的電路模型可分析和研究實際電路———無論它是簡單的還是復雜的,都可以通過理想化的電路模型來充分描述。

思考題

1.什么叫電路模型?建立電路模型時應注意什么問題?

2.電工基礎課程研究的主要對象是什么?

1.2電流、電壓及其參考方向

1.2.1電流及其參考方向

帶電粒子(電子、離子等)的定向運動稱為電流。電流的量值(大小)等于單位時間內(nèi)穿過導體橫截面的電荷量,用符號i表示,即

式中,Δq為極短時間Δt內(nèi)通過導體橫截面的電荷量。電流的實際方向為正電荷的運動方向。當電流的量值和方向都不隨時間變化時,dq/dt為定值,這種電流稱為直流電流,簡稱直流(DC)。直流電流常用英文大寫字母I表示。對于直流,式(1.1)可寫成

式中,q為時間t內(nèi)通過導體橫截面的電荷量。

量值和方向隨著時間周期性變化的電流稱為交流電流,常用英文小寫字母i表示。

在國際單位制中,電流的SI主單位是安[培],符號為A。常用的電流的十進制倍數(shù)和分數(shù)單位有千安(kA)、毫安(mA)、微安(μA)等,它們之間的換算關系是

1A=103mA=106μA在復雜電路的分析中,電路中電流的實際方向很難預先判斷出來;有時,電流的實際方向還會不斷改變。為此,在分析與計算電路時,?？扇我庖?guī)定某一方向作為電流的參考方向或正方向,并用箭頭表示在電路圖上。規(guī)定了參考方向以后,電流就是一個代數(shù)量了,若電流的實際方向與參考方向一致(如圖1.2(a)所示),則電流為正值;若兩者相反(如圖1.2(b)所示),則電流為負值。

這樣,就可以利用電流的參考方向和正、負值來判斷電流的實際方向。應當注意,在未規(guī)定參考方向的情況下,電流的正、負號是沒有意義的。

電流的參考方向除用箭頭在電路圖上表示外,還可用雙下標表示,如對某一電流,用iA

B表示其參考方向為由A指向B(如圖1.2(c)所示),用iBA表示其參考方向為由B指向A(如圖1.2(d)所示)。顯然,兩者相差一個負號,即

iAB=iB

A

1.2.2電壓及其參考方向

當導體中存在電場時,電荷在電場力的作用下運動,電場力對運動電荷做功,運動電荷的電能將減少,電能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量。電路中A、B兩點間的電壓是單位正電荷在電場力的作用下由A點移動到B點所減少的電能,即

式中,Δq為由A點移動到B點的電荷量,ΔWAB為移動過程中電荷所減少的電能。電壓的實際方向是使正電荷電能減少的方向,當然也是電場力對正電荷做功的方向。

在國際單位制中,電壓的SI單位是伏[特],符號為V。常用的電壓的十進制倍數(shù)和分數(shù)單位有千伏(kV)、毫伏(mV)、微伏(μV)等。

量值和方向都不隨時間變化的直流電壓用大寫字母U表示。量值和方向隨著時間周期性變化的交流電壓用小寫字母u表示。與電流類似,在電路分析中也要規(guī)定電壓的參考方向,通常用三種方式表示:

(1)采用正(+)、負(-)極性表示,稱為參考極性,如圖1.3(a)所示。這時,從正極性端指向負極性端的方向就是電壓的參考方向。

(2)采用實線箭頭表示,如圖1.3(b)所示。

(3)采用雙下標表示,如uAB表示電壓的參考方向由A指向B。

電壓的參考方向指定之后,電壓就是代數(shù)量。當電壓的實際方向與參考方向一致時,電壓為正值;當電壓的實際方向與參考方向相反時,電壓為負值。

分析電路時,首先應該規(guī)定各電流、電壓的參考方向,然后根據(jù)所規(guī)定的參考方向列寫電路方程。不論電流、電壓是直流還是交流,它們均是根據(jù)參考方向?qū)懗龅?。參考方向可以任意?guī)定,不會影響計算結果,因為參考方向相反時,解出的電流、電壓值也要改變正、負號,最后得到的實際結果仍然相同。任一電路的電流參考方向和電壓參考方向可以分別獨立地規(guī)定。但為了分析方便,常使同一元件的電流參考方向與電壓參考方向一致,即電流從電壓的正極性端流入該元件而從它的負極性端流出。這時,該元件的電壓參考方向與電流參考方向是一致的,稱為關聯(lián)參考方向(如圖1.4所示)。

1.2.3電位

分析電子電路時常用到電位這一物理量。在電路中任選一點作為參考點,則某點的電位就是由該點到參考點的電壓。也就是說,如果參考點為O,則A點的電位為

VA=UAO

至于參考點本身的電位,則是參考點對參考點的電壓,顯然為零,所以參考點又叫零電位點。

如果已知A、B兩點的電位各為VA

、VB,則此兩點間的電壓為

UAB=UA

O+UO

B=UA

OUB

O=VAVB(1.4)即兩點間的電壓等于這兩點的電位的差,所以電壓又叫電位差。

參考點選擇不同,同一點的電位就不同,但電壓與參考點的選擇無關。至于如何選擇參考點,則要視分析計算問題的方便而定。電子電路中需選各有關部分的公共線作為參考點,常用符號“⊥”表示。

思考題

1.為什么要在電路圖上規(guī)定電流的參考方向?請說明參考方向與實際方向的關系。

2.電壓參考方向有哪些表示方法? 1.3電功率和電能

電功率是電路分析中常用到的一個物理量。傳遞轉(zhuǎn)換電能的速率叫電功率,簡稱功率,用p或P表示。習慣上,把發(fā)出或接受電能說成發(fā)出或接受功率。

下面分析任一支路的功率關系。當支路電流、電壓實際方向一致時,因為電流的方向是正電荷運動的方向,而正電荷沿電壓方向移動時能量減少,所以這時該支路接受功率。當支路電流、電壓實際方向相反時,該支路發(fā)出功率。又因所以轉(zhuǎn)換能量的速率,即功率為

p=u·I(1.5)

即任一支路的功率等于其電壓與電流的乘積。

用式(1.5)計算功率時,如果電流、電壓選用關聯(lián)參考方向,則所得的p應看成支路接受的功率,即計算所得功率為正值時,表示支路實際接受功率;計算所得功率為負值時,表示支路實際發(fā)出功率。

同樣,如果電流、電壓選擇非關聯(lián)參考方向,則按式(1.5)所得的p應看成支路發(fā)出的功率,即計算所得功率為正值時,表示支路實際發(fā)出功率;計算所得功率為負值時,表示支路實際接受功率。在直流情況下,式(1.5)可表示為

P=UI

國際單位制(SI)中,電壓的單位為V,電流的單位為A,則功率的單位為瓦[特],簡稱瓦,符號為W,1W=1V·A。常用的功率的十進制倍數(shù)和分數(shù)單位有千瓦(kW)、兆瓦(MW)和毫瓦(mW)等。

根據(jù)式(1.5),從t0

到t時間段內(nèi),電路吸收(消耗)的電能為

直流時,有

W=P(t-t0)

電能的SI主單位是焦[耳],符號為J,它等于功率為1W的用電設備在1s內(nèi)所消耗的電能。在實際生活中還采用千瓦小時(kW·h)作為電能的單位,它等于功率為1kW的用電設備在1h(3600s)內(nèi)所消耗的電能,簡稱為1度電。

1kW·h=103×3600=3.6×106J

能量轉(zhuǎn)換與守恒定律是自然界的基本規(guī)律之一,電路當然遵守這一規(guī)律。一個電路中,每一瞬間,接受電能的各元件功率的總和等于發(fā)出電能的各元件功率的總和;或者說,所有元件接受的功率的代數(shù)和為零。這個結論叫做“電路的功率平衡”。例1.1圖1.5所示為直流電路,U1=4V,U2=-8V,U3=6V,I=4A,求各元件接受或發(fā)出的功率P1、P2

和P3,并求整個電路的功率P。

解元件1的電壓參考方向與電流參考方向相關聯(lián),故

P1=U1I=4×4=16W(接受16W)

元件2和元件3的電壓參考方向與電流參考方向非關聯(lián),故

P2=U2I=(-8)×4=-32W(接受32W)

P3=U3I=6×4=24W(發(fā)出24W)

整個電路的功率P(設接受功率為正,發(fā)出功率為負)為

P=16+32-24=24W

思考題

1.當元件電流、電壓選擇關聯(lián)參考方向時,什么情況下元件接受功率?什么情況下元件發(fā)出功率?

2.有兩個電源,一個發(fā)出的電能為1000kW·h,另一個發(fā)出的電能為500kW·h。是否可認為前一個電源的功率大,后一個電源的功率小? 1.4電阻元件和歐姆定律

電路是由元件連接而成的,研究電路時首先要了解各種電路元件的特性。表示電路元件特性的數(shù)學關系稱為元件約束。

如果一個元件通過電流時總是消耗能量,那么其電壓的方向總是與電流的方向一致。電阻元件就是按此而定義的,用來反映能量的消耗。電阻元件是一個二端元件,它的電流和電壓的方向總是一致的,電流和電壓的大小成代數(shù)關系。

電流和電壓的大小成正比的電阻元件叫線性電阻元件。元件的電流與電壓的關系曲線叫做元件的伏安特性曲線。線性電阻元件的伏安特性為通過坐標原點的直線,這個關系稱為歐姆定律。在電流和電壓的關聯(lián)參考方向下,線性電阻元件的伏安特性曲線如圖1.6所示,圖1.6線性電阻的伏安特性曲線歐姆定律的表達式為

u=Ir (1.7)

式中,R是元件的電阻,它是一個反映電路中電能消耗的電路參數(shù),是一個正實常數(shù)。式(1.7)中電壓用V表示,電流用A表示時,電阻的單位是歐[姆],符號為Ω。電阻的十進制倍數(shù)單位有千歐(kΩ)、兆歐(MΩ)等。

電流和電壓的大小不成正比的電阻元件叫非線性電阻元件,本書只討論線性電阻電路。

令G=1/R,則式(1.7)變?yōu)?/p>

i=Gu(1.8)

式中,G稱為電阻元件的電導,單位是西[門子],符號為S。如果線性電阻元件的電流和電壓的參考方向不關聯(lián),則歐姆定律的表達式為

u=Ri(1.9)

或i=Gu(1.10)

在電流和電壓的關聯(lián)參考方向下,任何瞬時線性電阻元件接受的電功率為

由于電阻R和電導G都是正實數(shù),因此功率p恒為非負值。既然功率p不能為負值,這就說明任何時刻電阻元件不可能發(fā)出電能,它所接受的全部電能都轉(zhuǎn)換成其他形式的能。所以線性電阻元件是耗能元件。如果電阻元件把接受的電能轉(zhuǎn)換成熱能,則從t0

到t時間內(nèi),電阻元件的熱[量]Q,也就是這段時間內(nèi)接受的電能W為

若電流不隨時間變化,即電阻通過直流電流時,上式化為

式中,T=t-t0是電流通過電阻的總時間。以上兩式稱為焦耳定律。實際上,所有電阻器、電燈、電爐等器件,它們的伏安特性曲線在一定程度上都是非線性的。但在一定的條件下,這些器件的伏安特性近似為一直線,用線性電阻元件作為它們的電路模型可以得到令人滿意的結果。

線性電阻元件有兩種特殊情況值得注意:一種情況是電阻值R為無限大,電壓為任何有限值時,其電流總是零,這時把它稱為“開路”;另一種情況是電阻為零,電流為任何有限值時,其電壓總是零,這時把它稱為“短路”例1.2有220V、100W燈泡一個,其燈絲電阻是多少?每天用5h,一個月(按30天計算)消耗的電能是多少度?

解：燈泡燈絲電阻為

一個月消耗的電能為

思考題

1.線性電阻元件的伏安關系是怎樣的?

2.線性電阻元件接受功率的計算公式有哪些?

1.5電壓源和電流源

電壓源和電流源是兩種有源元件。電阻元件是一種無源元件。

電壓源是一個理想二端元件,其圖形符號如圖1.7(a)所示,us為電壓源的電壓,“+”、“-”為電壓的參考極性。電壓us是某種給定的時間函數(shù),與通過電壓源的電流無關。因此電壓源具有以下兩個特點:

(1)電壓源對外提供的電壓u(t)是某種確定的時間函數(shù),不會因所接的外電路不同而改變,即u(t)=us(t)。(2)通過電壓源的電流i(t)隨外接電路不同而不同。

常見的電壓源有直流電壓源和正弦交流電壓源。直流電壓源的電壓us

是常數(shù),即us=Us(Us

是常數(shù))。圖1.7(b)為直流電壓源電壓的波形曲線。正弦交流電壓源的電壓

us(t)為

圖1.8是直流電壓源的伏安特性,它是一條與電流軸平行且縱坐標為Us的直線,表明其端電壓恒等于Us,與電流大小無關。當電流為零,即電壓源開路時,其端電壓仍為Us。

如果一個電壓源的電壓us=0,則此電壓源的伏安特性為與電流軸重合的直線,它相當于短路。電壓為零的電壓源相當于短路。由圖1.7(a)知,電壓源發(fā)出的功率為

p=u

si

p>0時,電壓源實際上是發(fā)出功率,電流實際方向是從電壓源的低電位端流向高電位端;p<0時,電壓源實際上是接受功率,電流的實際方向是從電壓源的高電位端流向低電位端,電壓源是作為負載出現(xiàn)的。電壓源中電流可以從0變化到∞。

實際電壓源其端電壓會隨電流的變化而變化。當電池接上負載電阻時,其端電壓會降低,這是電池有內(nèi)阻的緣故。

電流源也是一個理想二端元件,圖形符號如圖1.9(a)所示,is是電流源的電流,電流源旁邊的箭頭表示電流is的參考方向。電流is是某種給定的時間函數(shù),與其端電壓u無關。因此電流源有以下兩個特點:

(1)電流源向外電路提供的電流i(t)是某種確定的時間函數(shù),不會因外電路不同而改變,即i(t)=is,is是電流源的電流。

(2)電流源的端電壓u(t)隨外接的電路不同而不同。如果電流源的電流is=Is(Is是常數(shù)),則為直流電流源。它的伏安特性是一條與電壓軸平行且橫坐標為Is的直線，,如圖1.9(b)所示,表明其輸出電流恒等于Is,與端電壓無關。當電壓為零,亦即電源短路時,它發(fā)出的電流仍為Is。

如果一個電流源的電流is=0,則此電流源的伏安特性為與電壓軸重合的直線,它相當于開路。電流為零的電流源相當于開路。

由圖1.9(a)知,電流源發(fā)出的功率為

p=uis

p>0,電流源實際是發(fā)出功率;p<0,電流源實際是接受功率,此時,電流源是作為負載出現(xiàn)的。電流源的端電壓可從0變化到∞。

恒流源電子設備和光電池器件的特性都接近電流源。

電壓源和電流源,其源電壓和源電流都是給定的時間函數(shù),不受外電路的影響,故稱為獨立源。在電子電路的模型中還常常遇到另一種電源,它們的源電壓和源電流不是獨立的,而是受電路中另一處的電壓或電流控制,稱為受控源或非獨立源。

思考題

1.直流電壓源的電流是怎樣變化的?

2.直流電流源的端電壓怎樣確定?舉例說明。

1.6基爾霍夫定律

基爾霍夫定律是集中參數(shù)電路的基本定律,它包括電流定律和電壓定律。為了便于討論,先介紹幾個名詞。

(1)支路:電路中流過同一電流的一個分支稱為一條支路。如圖1.11中有6條支路,即aed,cfd,agc,ab,bc,bd。

(2)節(jié)點:三條或三條以上支路的連接點稱為節(jié)點。如圖1.11中就有4個節(jié)點,即a,b,c,d。

(3)回路:由若干支路組成的閉合路徑,其中每個節(jié)點只經(jīng)過一次,這條閉合路徑稱為回路。如圖1.11中就有7個回路,即abdea,bcfdb,abcga,abdfcga,agcbdea,abcfdea,agcfdea。(4)網(wǎng)孔:網(wǎng)孔是回路的一種。將電路畫在同一個平面上,在回路內(nèi)部不另含有支路的回路稱為網(wǎng)孔。如圖1.11中就有3個網(wǎng)孔,即abdea,bcfdb,abcga。

1.6.1基爾霍夫電流定律(KCL)

在集中參數(shù)電路中,任何時刻,流出(或流入)一個節(jié)點的所有支路電流的代數(shù)和恒等于零,這就是基爾霍夫電流定律,簡寫為KCL。

對圖1.11中的節(jié)點a,應用KCL則有

i1+i3+i4=0 (1.14)

寫出一般式子,為

∑i=0 (1.15)

把式(1.14)改寫成

i1=i3+i4

上式表明:在集中參數(shù)電路中,任何時刻流入一個節(jié)點的電流之和等于流出該節(jié)點的電流之和。在式(1.15)中,流出節(jié)點的電流前取“+”號,流入節(jié)點的電流前取“-”號,而電流是流出節(jié)點還是流入節(jié)點均按電流的參考方向來判定。

KCL原是適用于節(jié)點的,也可以把它推廣運用于電路的任一假設的封閉面。例如圖1.11所示封閉面S所包圍的電路,有三條支路與電路的其余部分連接,其電流為i1、i6、i2,則

i6+i2=i1

因為對一個封閉面來說,電流仍然是連續(xù)的,所以通過該封閉面的電流的代數(shù)和也等于零,也就是說,流出封閉面的電流等于流入封閉面的電流。基爾霍夫電流定律也是電荷守恒定律的體現(xiàn)。KCL給電路中的支路電流加上了線性約束。以圖1.11中節(jié)點a為例,若已知i1=-5A,i3=3A,則按式(1.14)就有i4=-8A,i4

不能取其他數(shù)值,也就是說,式(1.14)為這三個電流施加了一個約束關系。

1.6.2基爾霍夫電壓定律(KVL)

在集中參數(shù)電路中,任何時刻,沿著任一個回路繞行一周,所有支路電壓的代數(shù)和恒等于零,這就是基爾霍夫電壓定律,簡寫為KVL,用數(shù)學表達式表示為

∑u=0 (1.16)

在寫出式(1.16)時,先要任意規(guī)定回路繞行的方向,凡支路電壓的參考方向與回路繞行方向一致者,此電壓前面取“+”號,支路電壓的參考方向與回路繞行方向相反者,則電壓前面取“-”號?；芈返睦@行方向可用箭頭表示,也可用閉合節(jié)點序列來表示。

在圖1.11中,對回路abcga應用KVL,有

uab+ub

c+ucg+ug

a=0

如果一個閉合節(jié)點序列不構成回路,例如圖1.11中的節(jié)點序列acga,在節(jié)點ac之間沒有支路,但節(jié)點ac之間有開路電壓uac,KVL同樣適用于這樣的閉合節(jié)點序列,即有

uac+ucg+uga=0

(1.17)

所以,在集中參數(shù)電路中,任何時刻,沿任何閉合節(jié)點序列,全部電壓之代數(shù)和恒等于零。這是KVL的另一種形式。

將式(1.17)改寫為

uac=ucguga=uag+ugc

由此可見,電路中任意兩點間的電壓是與計算路徑無關的,是單值的。所以,基爾霍夫電壓定律實質(zhì)是兩點間電壓與計算路徑無關這一性質(zhì)的具體表現(xiàn)。KVL為電路中支路電壓施加了線性約束。

KCL規(guī)定了電路中任一節(jié)點處電流必須服從的約束關系,而KVL規(guī)定了電路中任一回路電壓必須服從的約束關系。這兩個定律僅與元件的相互連接有關,而與元件的性質(zhì)無關,所以,這種約束稱為互連約束或“拓撲”約束。不論元件是線性的還是非線性的,電流、電壓是直流的還是交流的,只要是集中參數(shù)電路,KCL和KVL總是成立的。例1.4試計算圖1.12所示電路中各元件的功率。解：為計算功率,先計算電流、電壓。

元件1與元件2串聯(lián),

idb=iba=10A,元件1發(fā)出功率:

P1=10×10=100W

元件2接受功率:

P2=10×2=20W

思考題

1.在圖1.13中,每條線段表示一個二端元件,試求各電路中的未知電流i2.應用KVL列出圖1.14中網(wǎng)孔的支路電壓方程。

本章小結

1.電路及電路模型

1)電路

若干個電氣設備或部件按照一定方式組合起來所構成的電流的流通路徑叫做電路或網(wǎng)絡。電路一般由電源、負載、傳輸控制器件組成。

2)電路模型

電路理論分析的對象是實際電路的電路模型,是由理想電路元件構成的。電路理論及其分析方法,就是從實際電路中建立電路模型,通過數(shù)學手段對電路模型進行分析,從中得出有用的結論,再回到物理實際中去。2.電流、電壓及功率

1)電流

電流的大小為

規(guī)定正電荷的運動方向為電流的實際方向。

2)電壓

電壓的大小為

正電荷沿電壓方向移動時能量減少。

3)參考方向

它是人為選定的決定電流、電壓值為正數(shù)的參考標準。電路理論中的電流、電壓都是對應于所選參考方向而言的代數(shù)量。

4)功率

任一支路的功率為

p=ui

選擇電流、電壓為關聯(lián)參考方向時,所得的p看成是支路接受的功率;選擇電流、電壓為非關聯(lián)參考方向時,則看成是支路發(fā)出的功率。整個電路的功率平衡。3.基爾霍夫定律

基爾霍夫電流定律(KCL)為

∑i=0

基爾霍夫電壓定律(KVL)為

∑u=0

它們適用于任何集中參數(shù)電路的任一瞬間。4.三種電路元件

1)電阻元件

選擇關聯(lián)參考方向下,線性電阻元件的元件約束為

u=iR

2)電壓源

電壓是確定的時間函數(shù),電流由其外電路決定。

3)電流源

電流是確定的時間函數(shù),電壓由其外電路決定。第2章

直流電阻電路的分析計算2.1電阻的串聯(lián)和并聯(lián)2.2電阻的星形連接與三角形連接的等效變換2.3兩種實際電源模型的等效變換

2.4支路電流法2.5網(wǎng)孔法

2.6節(jié)點電壓法2.7疊加定理2.8戴維南定理*2.9含受控源電路的分析

2.1電阻的串聯(lián)和并聯(lián)

2.1.1等效網(wǎng)絡的定義

電路分析中,如果研究的是整個電路中的一部分,可以把這一部分作為一個整體看待當這個整體只有兩個端鈕與其外部相連時,就叫做二端網(wǎng)絡。二端網(wǎng)絡的一般符號如圖2.1所示。二端網(wǎng)絡的端鈕電流、端鈕間的電壓分別叫端口電流、端口電壓。圖2.1中標出了二端網(wǎng)絡的端口電流i和端口電壓u,電流電壓的參考方向是關聯(lián)的,ui應看成它接受的功率。一個二端網(wǎng)絡的端口電壓、電流關系和另一個二端網(wǎng)絡的端口電壓、電流關系相同,這兩個網(wǎng)絡叫做等效網(wǎng)絡。等效網(wǎng)絡的結構雖然不同,但對任何外電路,它們的作用完全相同。也就是說,等效網(wǎng)絡互換,它們的外部特性不變。

一個內(nèi)部沒有獨立源的電阻性二端網(wǎng)絡,總可以與一個電阻元件等效。這個電阻元件的電阻值等于該網(wǎng)絡關聯(lián)參考方向下端口電壓與端口電流的比值,叫做該網(wǎng)絡的等效電阻或輸入電阻,用Ri表示。Ri也叫總電阻。

同樣,還有三端,…,n端網(wǎng)絡。兩個n端網(wǎng)絡,如果對應各端鈕的電壓、電流關系相同,則它們也是等效的。進行網(wǎng)絡的等效變換,是分析計算電路的一個重要手段。用結構較簡單的網(wǎng)絡等效代替結構較復雜的網(wǎng)絡,將簡化電路的分析計算。

2.1.2電阻的串聯(lián)

在電路中,把幾個電阻元件依次一個一個首尾連接起來,中間沒有分支,在電源的作用下流過各電阻的是同一電流。這種連接方式叫做電阻的串聯(lián)。圖2.2(a)表示三個電阻串聯(lián)后由一個直流電源供電的電路。以U代表總電壓,I代表電流,R1、R2、R3

代表各電阻,U1、U2、U3

代表各電阻的電壓,按KVL有

U=U1+U2+U3=(R1+R2+R3)I

上式表明,圖2.2(b)所示的電阻值為R1+R2+R3

的一個電阻元件的電路,與圖2.2(a)所示二端網(wǎng)絡有相同的端口電壓、電流關系,即串聯(lián)電阻的等效電阻等于各電阻的和,即 Ri=R1+R2+R3 (2.1)

電阻串聯(lián)時,各電阻上的電壓為(2.2)即串聯(lián)的每個電阻的電壓與總電壓的比等于該電阻與等效電阻的比。串聯(lián)的每個電阻的功率也與它們的電阻值成正比。

例2.1如2.3所示,用一個滿刻度偏轉(zhuǎn)電流為50μA,電阻

Rg為2kΩ的表頭制成100V量程的直流電壓表,應串聯(lián)多大的附加電阻Rf?

解：滿刻度時表頭電壓為2.1.3電阻的并聯(lián)

在電路中,把幾個電阻元件的首尾兩端分別連接在兩個節(jié)點上,在電源的作用下,它們兩端的電壓都相同,這種連接方式叫做電阻的并聯(lián)。

圖2.4(a)表示三個電阻并聯(lián)后由一個直流電源供電的電路。以I代表總電流,U代表電阻上的電壓,G1、G2、G3代表各電阻的電導,I1、I2、I3代表各電阻中的電流。按KCL有

I=I1+I2+I3=(G1+G2+G3)U

可見,并聯(lián)電阻的等效電導等于各電導的和(如圖2.4(b)所示),即

Gi=G1+G2+G3 (2.3)

并聯(lián)電阻的電壓相等,各電阻的電流與總電流的關系為(2.4)即并聯(lián)的每個電阻的電流與總電流的比等于其電導與等效電導的比。我們常會遇到兩個電阻并聯(lián)的情況。兩個電阻R1、R2并聯(lián),由

得等效電阻為

如果總電流為I,兩個電阻的電流各為

并聯(lián)的每個電阻的功率與它們的電導成正比

(2.5)例2.2如圖2.5所示,用一個滿刻度偏轉(zhuǎn)電流為50μA,電阻Rg為2kΩ的表頭制成量程為50mA的直流電流表,應并聯(lián)多大的分流電阻R2?

解：由題意已知,I1=50μA,R1=Rg=2000Ω,I=50mA,代入式(2.5)得

2.1.4電阻的串、并聯(lián)

電阻的串聯(lián)和并聯(lián)相結合的連接方式,稱為電阻的串、并聯(lián)或混聯(lián)。只有一個電源作用的電阻串、并聯(lián)電路,可用電阻串、并聯(lián)化簡的辦法,化簡成一個等效電阻和電源組成的單回路,這種電路又稱簡單電路。反之,不能用串、并聯(lián)等效變換化簡為單回路的電路則稱為復雜電路。簡單電路的計算步驟是:首先將電阻逐步化簡成一個總的等效電阻,算出總電流(或總電壓),然后用分壓、分流的辦法逐步計算出化簡前原電路中各電阻的電流和電壓,再計算出功率。下面通過例題說明計算的過程。例2.3進行電工實驗時,常用滑線變阻器接成分壓器電路來調(diào)節(jié)負載電阻上電壓的高低。圖2.6中R1和R2是滑線變阻器,RL是負載電阻。已知滑線變阻器額定值是100Ω、3A,端鈕a、b上輸入電壓U1=220V,RL=50Ω。試問:

(1)當R2=50Ω時,輸出電壓U2是多少?

(2)當R2=75Ω時,輸出電壓U2是多少?滑線變阻器能否安全工作?

(2)當R2=75Ω時,計算方法同上,可得因I1=4A,大于滑線變阻器額定電流3A,R1段電阻有被燒壞的危險。

求解簡單電路,關鍵是判斷哪些電阻串聯(lián),哪些電阻并聯(lián)。一般情況下,通過觀察可以進行判斷。當電阻串、并聯(lián)的關系不易看出時,可以在不改變元件間連接關系的條件下將電路畫成比較容易判斷串、并聯(lián)的形式。這時無電阻的導線最好縮成一點,并且盡量避免相互交叉。重畫時可以先標出各節(jié)點代號,再將各元件連在相應的節(jié)點間,下面用一個例子來說明。例2.4求圖2.7(a)所示電路中a、b兩點間的等效電阻Rab。

解(1)先將無電阻導線d、d'縮成一點,用d表示,則得圖2.7(b)。

(2)并聯(lián)化簡,將圖2.7(b)變?yōu)閳D2.7(c)。

(3)由圖2.7(c)求得a、b兩點間的等效電阻為

2.2電阻的星形連接與三角形連接的等效變換

三個電阻元件首尾相連,連成一個三角形,就叫做三角形連接,簡稱△形連接,如圖2.9(a)所示。三個電阻元件的一端連接在一起,另一端分別連接到電路的三個節(jié)點,這種連接方式叫做星形連接,簡稱Y形連接,如圖2.9(b)所示。在電路分析中,常利用Y形網(wǎng)絡與△形網(wǎng)絡的等效變換來簡化電路的計算。根據(jù)等效網(wǎng)絡的定義,在圖2.9所示的△形網(wǎng)絡與Y形網(wǎng)絡中,若電壓U12、U23、U31和電流I1、I2、I3都分別相等,則兩個網(wǎng)絡對外是等效的。據(jù)此,可導出Y形連接電阻R1、R2、R3與△形連接電阻R12、R23、R31之間的等效關系。

應用KVL于圖2.9(a)中的回路1231,有

由KCL有

代入上式,得

經(jīng)過整理后,得

同理可求得(2.6a）

(2.6b）(2.6c)對于圖2.9(b)有

比較式(2.6)和式(2.7)可知:若滿足等效條件,兩組方程式I1、I2、I3前面的系數(shù)必須相等,即(2.7)

(2.8)式(2.8)就是從已知的△形連接電阻變換為等效Y形連接電阻的計算公式。解方程組(2.8),可得

式(2.9)就是從已知的Y形連接電阻變換為等效△形連接電阻的計算公式。若△形(或Y形)連接的三個電阻相等,則變換后的Y形(或△形)連接的三個電阻也相等。(2.9)設△形三個電阻R12=R23=R31=R△,則等效Y形的三個電阻為

反之

(2.10）

(2.11)

例2.5圖2.10(a)所示電路中,已知Us=225V,R0=1Ω,R1=40Ω,R2=36Ω,R3=50Ω,R4=55Ω,R5=10Ω,試求各電阻的電流。解將△形連接的R1、R3、R5等效變換為Y形連接的Ra、Rc、Rd,如圖2.10(b)所示,代入式(2.8)求得

圖2.10(b)是電阻混聯(lián)網(wǎng)絡,串聯(lián)的Rc、R2的等效電阻

Rc2=40Ω,串聯(lián)的Rd、R4的等效電阻Rd4=60Ω,二者并聯(lián)的等效電阻為Ra與Rob串聯(lián),a、b間橋式電阻的等效電阻為

Ri=20+24=44Ω

橋式電阻的端口電流為

R2、R4的電流分別為

為了求得R1、R3、R5的電流,從圖2.10(b)求得

回到圖2.10(a)所示電路,得

思考題

求圖2.11所示網(wǎng)絡的等效電阻Rab

并由KCL得2.3兩種實際電源模型的等效變換

一個實際的直流電源在給電阻負載供電時,其端電壓隨負載電流的增大而下降。在一定范圍內(nèi)端電壓、電流的關系近似于直線,這是由于實際直流電源內(nèi)阻引起的內(nèi)阻壓降造成的。

圖2.12(a)是直流電壓源和電阻串聯(lián)的組合,其端電壓

U和電流I的參考方向如圖中所示。U和I都隨外電路改變而變化,其外特性方程為

U=Us-RI

(2.12)

圖2.12(b)是按式(2.12)畫出的伏安特性曲線,它是一條直線。只要適當選擇R值,電壓源Us和電阻R的串聯(lián)組合就可作為實際直流電源的電路模型。

圖2.13(a)是電流源和電導的并聯(lián)組合,其端電壓和電流的參考方向如圖中所示,其外特性為

I=Is-GU (2.13)

圖2.13(b)是按式(2.13)畫出的伏安特性曲線,它也是一條直線。只要適當選擇G值,電流源和電導并聯(lián)的組合也可以作為實際直流電源的電路模型。

比較式(2.12)和式(2.13),只要滿足(2.14)則式(2.12)和式(2.13)所表示的方程完全相同,它們在IU平面上將表示同一直線,所以圖2.12(a)和圖2.13(a)所示電路對外完全等效。在這里要注意,Us和Is參考方向的相互關系:Is的參考方向由Us的負極指向其正極。一般情況下,這兩種等效模型內(nèi)部的功率情況并不相同,但是對外部來說,它們吸收或供出的功率總是一樣的。

順便指出,沒有串聯(lián)電阻的電壓源和沒有并聯(lián)電阻的電流源之間沒有等效的關系。

例2.6求圖2.14(a)所示的電路中R支路的電流。已知Us1=10V,Us2=6V,R1=1Ω,R2=3Ω,R=6Ω。

解先把每個電壓源電阻串聯(lián)支路變換為電流源電阻并聯(lián)支路。網(wǎng)絡變換如圖2.14(b)所示,其中

圖2.14(b)中兩個并聯(lián)電流源可以用一個電流源代替,其

Is=Is1+Is2=10+2=12A

并聯(lián)R1、R2的等效電阻為

網(wǎng)絡簡化如圖2.14(c)所示。

對于圖2.14(c)電路,可按分流關系求得R的電流I為

思考題

用一個等效電源替代圖2.15中各有源二端網(wǎng)絡。

2.4支路電流法

電阻電路的等效變換法，此法適用于一定結構形式的電路,不便于對電路進行一般性探討。

分析電路的一般方法是選擇一些電路變量,根據(jù)KCL和KVL以及元件特性方程,列寫出電路變量的方程,從方程中解出電路變量,這類方法稱為網(wǎng)絡方程法。本節(jié)主要介紹網(wǎng)絡方程法中的一種———支路電流法。

支路電流法以每個支路的電流為求解的未知量。設電路有b條支路,則有b個未知電流可選為變量。因而支路電流法須列出b個獨立方程,然后解出未知的支路電流。

以圖2.16所示的電路為例來說明支路電流法的應用。在電路中支路數(shù)b=3,節(jié)點數(shù)n=2,以支路電流I1、

I2、I3為變量,共要列出三個獨立方程。列方程前指定各支路電流的參考方向如圖2.16所示。首先,根據(jù)電流的參考方向,對節(jié)點a列寫KCL方程:I1-I2+I3=0(2.15)對節(jié)點b列寫KCL方程:I1+I2I3=0(2.16)式(2.15)即為式(2.16),兩個方程中只有一個是獨立的。這一結果可以推廣到一般電路:節(jié)點數(shù)為n的電路中,按KCL列出的節(jié)點電流方程只有n-1個是獨立的。并將n-1個節(jié)點稱為一組獨立節(jié)點。這是因為每個支路連到兩個節(jié)點,每個支路電流在n個節(jié)點電流方程中各出現(xiàn)兩次;又因為同一支路電流對這個支路所連的一個節(jié)點取正號,對所連的另一個節(jié)點必定取負號,所以n個節(jié)點電流方程相加所得必定

是個“0=0”的恒等式。至于哪個節(jié)點不獨立,則是任選的。

其次,選擇回路,應用KVL列出其余b-(n-1)個方程。每次列出的KVL方程與已經(jīng)列寫過的KVL方程必須是互相獨立的。通常,可取網(wǎng)孔來列KVL方程。圖2.16中有兩個網(wǎng)孔,按順時針方向繞行,對左面的網(wǎng)孔列寫KVL方程:

按順時針方向繞行,對右面的網(wǎng)孔列寫KVL方程:

網(wǎng)孔的數(shù)目恰好等于b-(n-1)=3-(2-1)=2。因為每個網(wǎng)孔都包含一條互不相同的支路,所以每個網(wǎng)孔都是一個獨立回路,可以列出一個獨立的KVL方程。

應用KCL和KVL一共可列出(n-1)+[b-(n-1)]=b個獨立方程,它們都是以支路電流為變量的方程,因而可以解出b個支路電流。

(2.17)

(2.18)綜上所述,支路電流法分析計算電路的一般步驟如下:

(1)在電路圖中選定各支路(b個)電流的參考方向,設出各支路電流。

(2)對獨立節(jié)點列出n-1個KCL方程。

(3)通常取網(wǎng)孔列寫KVL方程,設定各網(wǎng)孔繞行方向,列出b-(n-1)個KVL方程。

(4)聯(lián)立求解上述b個獨立方程,便得出待求的各支路電流。用支路法時,可把電流源與電阻并聯(lián)組合變換為電壓源與電阻串聯(lián)組合,以簡化計算。例2.7圖2.16所示電路中,Us1=130V、R1=1Ω為直流發(fā)電機的模型,電阻負載R3=24Ω,Us2=117V、R2=0.6Ω為蓄電池組的模型。試求各支路電流和各元件的功率。解以支路電流為變量,應用KCL、KVL列出式(2.15)、式(2.17)和式(2.18),并將已知數(shù)據(jù)代入,即得

解得I1=10A,I2=-5A,I3=5A。

I2為負值,表明它的實際方向與所選參考方向相反,這個電池組在充電時是負載。

1300=585+100+15+600,功率平衡,表明計算正確。

Us1發(fā)出的功率為Us2發(fā)出的功率為即Us2接受功率585W。各電阻接受的功率為

2.5網(wǎng)孔法

上節(jié)介紹了支路電流法。對于具有b條支路和n個節(jié)點的電路,要列n-1個節(jié)點電流方程和(bn+1)個網(wǎng)孔電壓方程,聯(lián)立求解,方程較多,求解較麻煩。為了減少方程數(shù)目,可采用網(wǎng)孔電流為電路的變量來列寫方程,這種方法稱為網(wǎng)孔法(網(wǎng)孔法僅適用于平面電路)。下面通過圖2.18所示的電路加以說明。

圖2.18中共有三個支路,兩個網(wǎng)孔。設想在每個網(wǎng)孔中,都有一個電流沿網(wǎng)孔邊界環(huán)流,其參考方向如圖所示,這樣一個在網(wǎng)孔內(nèi)環(huán)行的假想電流叫做網(wǎng)孔電流。從中可以看出,各網(wǎng)孔電流與各支路電流之間的關系為

即所有支路電流都可以用網(wǎng)孔電流線性表示。

由于每一個網(wǎng)孔電流在流經(jīng)電路的某一節(jié)點時,流入該節(jié)點之后,又同時從該節(jié)點流出,因此各網(wǎng)孔電流都能自動滿足KCL,就不必對各獨立節(jié)點另列KCL方程,所以省去了(n-1)個方程。這樣,只要列出KVL方程就可以了,使方程數(shù)目減少為b-(n-1)個。電路的變量———網(wǎng)孔電流也是b-(n-1)個。原則上講,用網(wǎng)孔法列寫KVL方程與用支路電流法列寫KVL方程是一樣的,但這時,是用網(wǎng)孔電流來表示各電阻上的電壓降的。有些電阻中會有幾個網(wǎng)孔電流同時流過,列寫方程時應該把各網(wǎng)孔電流引起的電壓降都計算進去。通常,選取網(wǎng)孔的繞行方向與網(wǎng)孔電流的參考方向一致。于是,對于圖2.18所示電路,有

經(jīng)過整理后,得

(2.19)這就是以網(wǎng)孔電流為未知量時列寫的KVL方程,稱為網(wǎng)孔方程。方程組(2.19)可以進一步寫成

上式就是當電路具有兩個網(wǎng)孔時網(wǎng)孔方程的一般形式,其中:R11=R1+R2,R22=R2+R3分別是網(wǎng)孔1與網(wǎng)孔2的電阻之和,稱為各網(wǎng)孔的自電阻。因為選取自電阻的電壓與電流為關聯(lián)參考方向,所以自電阻都取正號。

(2.20)R12=R21=R2是網(wǎng)孔1與網(wǎng)孔2公共支路的電阻,稱為相鄰網(wǎng)孔的互電阻?；ル娮杩梢允钦?也可以是負號。當流過互電阻的兩個相鄰網(wǎng)孔電流的參考方向一致時,互電阻取正號,反之取負號。本例中,由于各網(wǎng)孔電流的參考方向都選取為順時針方向,即流過各互電阻的兩個相鄰網(wǎng)孔電流的參考方向都相反,因而它們都取負號。

Us11=Us1Us2,Us2=Us2Us3分別是各網(wǎng)孔中電壓源電壓的代數(shù)和,稱為網(wǎng)孔電源電壓。凡參考方向與網(wǎng)孔繞行方向一致的電源電壓取負號,反之取正號,這是因為將電源電壓移到等式右邊要變號的緣故。式(2.20)也可以推廣到具有m個網(wǎng)孔的平面電路,其網(wǎng)孔方程的規(guī)范形式為

如果電路中含有電流源與電阻并聯(lián)組合,先把它們等效變換成電壓源與電阻的串聯(lián)組合,再列寫網(wǎng)孔方程。如果電路中含有電流源,且沒有與其并聯(lián)的電阻,這時可根據(jù)電路的結構形式采用下面兩種方法處理:(2.21)一種方法是,當電流源支路僅屬一個網(wǎng)孔時,選擇該網(wǎng)孔電流等于電流源的電流,這樣可減少一個網(wǎng)孔方程,其余網(wǎng)孔方程仍按一般方法列寫;

另一種方法是,在建立網(wǎng)孔方程時,可將電流源的電壓作為一個未知量,每引入這樣一個未知量,同時應增加一個網(wǎng)孔電流與該電流源電流之間的約束關系,從而列出一個補充方程。這樣一來,獨立方程數(shù)與未知量仍然相等,可解出各未知量。例2.8用網(wǎng)孔法求圖2.19所示電路的各支路電流。

解：(1)選擇各網(wǎng)孔電流的參考方向,如圖2.19所示。計算各網(wǎng)孔的自電阻和相關網(wǎng)孔的互電阻及每一網(wǎng)孔的電源電壓。

(2)按式(2.21)列網(wǎng)孔方程組：

(3)求解網(wǎng)孔方程組可得

(4)任選各支路電流的參考方向,如圖所示。由網(wǎng)孔電流求得各支路電流分別為

例2.9用網(wǎng)孔法求圖2.20所示電路各支路電流及電流源的電壓。

解：(1)選取各網(wǎng)孔電流的參考方向及電流源電壓的參考方向,如圖2.20所示。(2)列網(wǎng)孔方程組:

補充方程

(4)選取各支路電流的參考方向如圖所示,各支路電流分別為

(3)解方程組,得2.6節(jié)點電壓法

節(jié)點電壓法是以電路的節(jié)點電壓為未知量來分析電路的一種方法,它不僅適用于平面電路,同時也適用于非平面電路。鑒于這一優(yōu)點,在計算機輔助電路分析中,一般也采用節(jié)點電壓法求解電路。

在電路的n個節(jié)點中,任選一個為參考點,把其余(n-1)個節(jié)點對參考點的電壓分別叫做該節(jié)點的節(jié)點電壓。電路中所有支路電壓都可以用節(jié)點電壓來表示。電路中的支路分成兩種:一種是接在獨立節(jié)點和參考節(jié)點之間,它的支路電壓就是節(jié)點電壓;另一種是接在各獨立節(jié)點之間,它的支路電壓則是兩個節(jié)點電壓之差。如能求出各節(jié)點電壓,就能求出各支路電壓及其他待求量。要求(n-1)個節(jié)點電壓,需列(n-1)個獨立方程。用節(jié)點電壓代替支路電壓,已經(jīng)滿足KVL的約束,只需列KCL的約束方程即可,而所能列出的獨立的KCL方程正好是(n-1)個。

以圖2.21所示電路為例,獨立節(jié)點數(shù)為n-1=2。選取各支路電流的參考方向,如圖所示,對節(jié)點1、2分別由KCL列出節(jié)點電流方程:

設以節(jié)點3為參考點,則節(jié)點1、2的節(jié)點電壓分別為U1、U2。

將支路電流用節(jié)點電壓表示為代入兩個節(jié)點電流方程中,經(jīng)移項整理后得式(2.22)就是圖2.21所示電路以節(jié)點電壓U1、U2為未知變量列出的節(jié)點電壓方程,簡稱節(jié)點方程。將式(2.22)寫成

這就是當電路具有三個節(jié)點時電路的節(jié)點方程的一般形式。式(2.23)中左邊的G11=(G1+G3+G4)、G22=(G2+G3+G4)分別是節(jié)點1、節(jié)點2相連接的各支路電導之和,稱為各節(jié)點的自電導。G12=G21=-(G3+G4)是連接在節(jié)點1與節(jié)點2之間的各公共支路的電導之和的負值,稱為兩相鄰節(jié)點的互電導,互電導總是負的。式(2.23)中右邊的Is11=(Is1+Is3)、Is22=(Is2Is3)分別是流入節(jié)點1和節(jié)點2的各電流源電流的代數(shù)和,稱為節(jié)點電源電流,流入節(jié)點的取正號,流出節(jié)點取負號。(2.23)上述關系可推廣到一般電路。對具有n個節(jié)點的電路,其節(jié)點方程的規(guī)范形式為

當電路中含有電壓源和電阻串聯(lián)組合的支路時,先把電壓源和電阻串聯(lián)組合變換成電流源和電阻并聯(lián)組合,然后再依式(2.24)列方程。

(2.24)例2.10試用節(jié)點電壓法求圖2.23所示電路中的各支路電流。

解取節(jié)點0為參考節(jié)點,節(jié)點1、2的節(jié)點電壓分別為U1、U2,按式(2.24)得解之得

U1=6V,U2=12V取各支路電流的參考方向,如圖2.23所示。根據(jù)支路電流與節(jié)點電壓的關系,有例2.11應用彌爾曼定理求圖2.24所示電路中各支路電流。

解：本電路只有一個獨立節(jié)點,設其電壓為U1,由式(2.25)得

設各支路電流I1、I2、I3的參考方向如圖中所示,求得各支路電流分別為

思考題

列出圖2.25所示電路的節(jié)點電壓方程。

2.7疊加定理

疊加定理是線性電路的一個基本定理。疊加定理可表述如下:在線性電路中,當有兩個或兩個以上的獨立電源作用時,則任意支路的電流或電壓都可以認為是電路中各個電源單獨作用而其他電源不作用時,在該支路中產(chǎn)生的各電流分量或電壓分量的代數(shù)和。下面通過圖2.26(a)中R2支路電流I為例說明疊加定理在線性電路中的體現(xiàn)。

圖2.26(a)是一個含有兩個獨立源的線性電路,根據(jù)彌爾曼定理,可得這個電路兩個節(jié)點間的電壓為

R2支路電流為

圖2.26(b)是電壓源Us單獨作用下的情況。此情況下電流源的作用為零,零電流源相當于無限大電阻(即開路)。在Us單獨作用下R2支路電流為

圖2.26(c)是電流源Is單獨作用下的情況。此情況下電壓源的作用為零,零電壓源相當于零電阻(即短路)。在Is單獨作用下R2支路電流為求所有獨立源單獨作用下R2支路電流的代數(shù)和,得

對I'取正號,是因為它的參考方向選擇的與I的參考方向一致;對I″取負號,是因為它的參考方向選擇的與I的參考方向相反。使用疊加定理時,應注意以下幾點:

(1)只能用來計算線性電路的電流和電壓,對非線性電路,疊加定理不適用。

(2)疊加時要注意電流和電壓的參考方向,求其代數(shù)和。(3)化為幾個單獨電源的電路來進行計算時,所謂電壓源不作用,就是在該電壓源處用短路代替,電流源不作用,就是在該電流源處用開路代替。

(4)不能用疊加定理直接來計算功率。

疊加定理在線性電路分析中起重要作用,它是分析線性電路的基礎。線性電路的許多定理可從疊加定理導出。

獨立電源代表外界對電路的作用,我們稱其為激勵。激勵在電路中產(chǎn)生的電流和電壓稱為響應。由線性電路的性質(zhì)得知:當電路中只有一個激勵時,網(wǎng)絡的響應與激勵成正此。這個關系稱為齊次定理。用齊次定理分析梯形電路比較方便。例2.12圖2.27(a)所示橋形電路中,R1=2Ω,R2=1Ω,R3=3Ω,R4=0.5Ω,Us=4.5V,Is=1A。試用疊加定理求電壓源的電流I和電流源的端電壓U。

解：(1)當電壓源單獨作用時,電流源開路,如圖2.27(b)所示,各支路電流分別為電流源支路的端電壓為

(2)當電流源單獨作用時,電壓源短路,如圖2.27(c)所示,各支路電流分別為

電流源的端電壓為

(3)兩個獨立源共同作用時,電壓源的電流為

電流源的端電壓為2.8戴維南定理

戴維南定理是闡明線性有源二端網(wǎng)絡外部性能的一個重要定理。若只需分析計算某一支路的電流或電壓,則應用戴維南定理具有特殊的優(yōu)越性。

戴維南定理指出:含獨立源的線性二端電阻網(wǎng)絡,對其外部而言,都可以用電壓源和電阻串聯(lián)組合等效代替,該電壓源的電壓等于網(wǎng)絡的開路電壓,該電阻等于網(wǎng)絡內(nèi)部所有獨立源作用為零情況下的網(wǎng)絡的等效電阻。

下面我們對戴維南定理給出一般證明。圖2.30(a)所示電路中,a、b兩端的左邊是任一線性有源二端網(wǎng)絡,右邊是一二端元件。設端口處的電壓、電流為U、I。首先,將二端元件用電流為I的電流源代替,如圖2.30(b)所示,網(wǎng)絡端口電壓、電流仍為U、I。其次,應用疊加定理將圖2.30(b)看成是圖2.30(c)和圖2.30(d)所示電路的疊加。圖2.30(c)是有源二端網(wǎng)絡內(nèi)部的獨立源單獨作用,外部電流源不作用的情況,即有源二端網(wǎng)絡處于開路狀態(tài)。若令有源二端網(wǎng)絡開路電壓為Uoc,這時有

I'=0,U'=Uoc

圖2.30(d)是外部的電