2022屆高三文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之不等式

1、數(shù)學(xué)講義之不等式【主干內(nèi)容】 1不等式的基本性質(zhì)：對稱性：abbb，bc，則ac；可加性：aba+cb+c；可乘性：ab，當(dāng)c0 時，acbc；當(dāng)c0 時，acb，cd，則a+cb+d； 異向相減：， a c b d正數(shù)同向相乘：若 ab0，cd0，則 acbd；乘方法則：若 ab0，nN+，則a nbn ；n an b1 1開方法則：若 ab0，nN+，則；基本不等式（或均值不等式）：倒數(shù)法則：若 ab0，ab，則 ab利用完全平方式的性質(zhì)，可得a +b 2ab（a，bR），a 2 b 2該不等式可推廣為a +b 2|ab|；或變形為|ab|2； a b 2當(dāng) a，b0 時，a+b或ab 2

2、 .不等式的證明：不等式證明的常用方法：比較法，公式法，分析法，反證法，換元法，放縮法； 不等式的解法：解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過程中應(yīng)使每一步的變形都要恒等。一元二次不等式（組）是解不等式的基礎(chǔ)，一元二次不等式是解不等式的基本題型。一元二次不等式與相應(yīng)的函數(shù)，方程的聯(lián)系求一般的一元二次不等式 ax2 bx c 0 或 ax2 bx c 0 (a 0) 的解集， 要結(jié)合ax2 bx c 0 的根及二次函數(shù) y ax2 bx c 圖象確定解集。對于一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) ，設(shè) b2 4ac ，它的解按照 0， 0， 0 可分三種情況 .相應(yīng)二次函數(shù)

3、 y ax2 bx c(a 0) 的圖象與軸的位置關(guān)系也分為三種情況因此，我們分三種情況討論對應(yīng)的一元二次不等式ax2 bx c 0 (a 0) 的解集，列表如下:5線性規(guī)劃問題的解題方法和步驟:解決簡單線性規(guī)劃問題的方法是圖解法，即借助直線（線性目標(biāo)函數(shù)看作斜率確定的一族平行直線）與平面區(qū)域（可行域） 有交點時，直線在y 軸上的截距的最大值或最小值求解。它的步驟如下：設(shè)出未知數(shù)，確定目標(biāo)函數(shù)。確定線性約束條件，并在直角坐標(biāo)系中畫出對應(yīng)的平面區(qū)域，即可行域。az由目標(biāo)函數(shù) zaxby 變形為 y b x b ,所以求 z 的最值可看成是求直線azy b x b 在 y 軸上截距的最值（其中 a

4、、b 是常數(shù)，z 隨 x，y 的變化而變化）。作平行線：將直線 axby0 平移，使直線與可行域有交點，且觀察在可行域z中使 b 最大（或最?。r所經(jīng)過的點，求出該點的坐標(biāo)。求出最優(yōu)解：將中求出的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，從而求出z 的最值。6絕對值不等式xa（a0）的解集為：xaxa；xa（a0）的解集為：xxa 或 xa。| a|b|a b|a|b|【題型分類】題型一：不等關(guān)系與不等式例 1(2022 上海)已知為非零實數(shù)，且，則下列命題成立的是()11b aa2 b2a2b ab2ab2a2bD ab解：取a3，b，由（）（）（）都錯，故（C）。例 2若 13，42，則 |的取值范圍是.解： (

5、3，3)例 3已知abc，abc0，方程ax2bxc0 的兩個實數(shù)根為 x 、x (1)證明：1；(2)若 xx x x1，求 xx x x；(3)求| xx|解：121 21 2(1)abc，abc0，3aabc，abab，a0，1 bb 1 1 baa 1 (2)（方法 1）abc0 ax2bxc0 有一根為 1，不妨設(shè)2ax 1，則由 x 2 x x x 2 1可得 x (x1) 0,111 2222而 x x x c 0(3c a b c 0) ，x 1， x 2 x x x 2 3 (方法21 2a211 222) x x12bc a , x1 x 2 ab 2cb 2a bb 2b

6、由 x 2 x x11 2 x 22 (x x12)2 x x1 2a 2aa 2a 1 1 ，a 2a xxb 2b1bb 0, 1, 0,2 x x 2 x 2 x xa 2a2aa2(a b)11 2211 2x 2 2x x21 2 1 2x x1 2 1 a 3 (3)由(2)知，(a b)2a 2bx 2 x 212 1 1 ( a 1)2 1c 2a 2b1b3b 1 1 2 ， ( 1)2 4 ( 1)2 1 3 x2 x2 0, 3 2a4a4a12題型二：一元二次不等式及其解法例 1（2022 福建） x 2 是 x2 x 6 0 的什么條件（ ） A充分而不必要 B必要而

7、不充分 C充要 D既不充分也不必要解：由|x2，得：2x2，由 x2 x 6 0 得：2x3，2x2 成立，則2x3 一定成立，反之則不一定成立，所以，選.例 2(2022 江西文)不等式2x22 x4 12 的解集為 解：原不等式變?yōu)?x22 x4 21 ，由指數(shù)函數(shù)的增減性，得：x2 2x 4 1 (x 3)(x 1) 0 x 3,1，所以填：3,1例 3已知集合 A x|x2 5x 4 0B x | x2 2ax a 20B A，若，求實數(shù)的取值范圍 解： A x | x2 5x 40 x |1x4 設(shè) f (x) x2 2ax a 2 ，它的圖象是一條開口向上的拋物線（1）若，滿足條件

8、，此時，即4a2 4(a 2) 0 ，解得1 a 2 ；（2）若，設(shè)拋物線與軸交點的橫坐標(biāo)為，x xB Ax| x x x x|1 x 4且 12 ，欲使，應(yīng)有12， f (1) 0， f (4) 0，2a124，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，得1 2a a 2 0，42 8a a 2 0， 0，即解得1a 4， 184a2 4(a 2) 0，2a7 1 18 綜上可知的取值范圍是題型三：簡單的線性規(guī)劃， 7 x y 3 0例 1（2022 屆新高考聯(lián)盟）設(shè)實數(shù) x, y 滿足不等式組x y 0，則2x y2 x 3的最小值為；解： 32x y 1 0,例 2（2022 杭二模）設(shè)實數(shù)x, y 滿足不等

9、式組 2x y 6 0,且 x2 y2 的x y k 2 0.17最小值為m ，當(dāng)9 m 25 時，實數(shù)k 的取值范圍是 .解： 2,5X+2y-50例 3（2022 浙江）若實數(shù)x，y 滿足不等式組2x +y -70,則 3x+4y 的最小值是x0,y0A13B15C20D28解：Ax1，例 4（2022 天津） 設(shè)變量 x，y 滿足約束條件xy40，x3y40，則目標(biāo)函數(shù) z3xy 的最大值為()A4B0D4xy40， 解：選 D. 作出可行域，如圖 11 所示聯(lián)立x3y40，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z3xy 移至(2,2)時，z3xy 有最大值 4.x2， 解得y2.x0，例 4（2022 湖北） 直線 2xy100 與不等式組y0，表示xy2，4x3y20的平面區(qū)域的公共點有()A0 個B1 個C2 個D無數(shù)個x0，解：畫出不等式組y0，xy2，4x3y20表示的可行域，如圖陰影部分所示(含邊界)因為直線 2xy100 過點 A(5，0)，且其斜率為2，小于直線 4x3y204(5，0).的斜率3，故只有一個公共點題型四：基本不等關(guān)系例 1（2022 浙江）已知a 0, b 0,且a b 2,則（）ab 1A2ab B12C a 2 b2 2D a 2 b2 3解：由a 0,b 0 ,