導數(shù)專題（三）-零點問題專題練習題

1、袆 導數(shù)專題（三）零點問題蚄（零點問題）羈已知函數(shù)莀（）若求在處的切線方程；芇（）求在區(qū)間上的最小值；莆（III）若在區(qū)間上恰有兩個零點，求的取值范圍.羄（18）（本小題滿分13分）蒀解：（I）蚈在處的切線方程為.3分螄（）由螃由及定義域為，令葿若在上，在上單調遞增，聿因此,在區(qū)間的最小值為.薆若在上，單調遞減；在上，單調遞增，因此在區(qū)間上的最小值為蒂若在上，在上單調遞減，蕿因此,在區(qū)間上的最小值為.蒀綜上，當時，；當時，；羄當時，. .9分薅(III) 由（II）可知當或時，在上是單調遞增或遞減函數(shù)，不可能存在兩個零點.蠆當時，要使在區(qū)間上恰有兩個零點，則蚇 即，此時，.蚆所以，的取值范圍為

2、.13分芄（2014西城期末理）18（本小題滿分13分）（零點問題）蝿已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.肈（）求函數(shù)的單調區(qū)間；螞（）當時，試確定函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由.莇18.（本小題滿分13分）膃（）解：因為，蚃所以 2分膀令，得 3分肆當變化時，和的變化情況如下：膃肄袁 5分腿故的單調減區(qū)間為；單調增區(qū)間為 6分芃（）解：結論：函數(shù)有且僅有一個零點. 7分芀理由如下：艿由，得方程， 袇顯然為此方程的一個實數(shù)解. 莃所以是函數(shù)的一個零點. 9分蟻當時，方程可化簡為. 肁設函數(shù)，則，蚆令，得螇當變化時，和的變化情況如下：肂葿蠆即的單調增區(qū)間為；單調減區(qū)間為螆所以的最小值. 11分蒃因為

3、， 膁所以，蒈所以對于任意，袆因此方程無實數(shù)解襖所以當時，函數(shù)不存在零點.蠆綜上，函數(shù)有且僅有一個零點. 13分芇（2015上學期期末豐臺理）18.（本小題共13分）（圖像交點、問題轉化）羆已知函數(shù)羈（）求函數(shù)的極小值；莁（）如果直線與函數(shù)的圖象無交點，求的取值范圍羆18. 解：（）函數(shù)的定義域為R 因為 ，肆所以 莂令，則袈0聿-膆0螃+薀螇極小值芆膃所以 當時函數(shù)有極小值 6分羈（）函數(shù)薆當時， 莆所以要使與無交點，等價于恒成立 芀令，即，蝕所以 蒞 = 1 * GB3 當時，滿足與無交點； 莆 = 2 * GB3 當時，蟻而，膈所以，此時不滿足與無交點 莈 = 3 * GB3 當時，令

4、， 則，蒅當時，在上單調遞減；肂當時，在上單調遞增；袀當時，膇由 得，薅即與無交點 蒃綜上所述 當時，與無交點 13分莈（2016東城上學期期末理）（19）（本小題共14分）（零點，問題轉化）羆已知函數(shù) 蚅（）當時，試求在處的切線方程；羄（）當時，試求的單調區(qū)間；肀（）若在內有極值，試求的取值范圍罿解：（）當時，螅方程為 4分肁（） ，螂 螈當時，對于，恒成立，裊所以 ； 0.蒂所以 單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為 8分艿（）若在內有極值，則在內有解袇令 .芅設 ,膃所以 ,當時，恒成立，節(jié)所以單調遞減.薆又因為，又當時，,蒞即在上的值域為,薄所以 當時， 有解.蝿設，則 ，蠆所以在單調遞減.蒅因

5、為，,螀所以在有唯一解.蒁所以有：莇0蒅0膁極小值衿所以 當時，在內有極值且唯一.膆當時，當時，恒成立，單調遞增，不成立薅綜上，的取值范圍為 14分薂（2015海淀一模理）（18）（本小題滿分13分）（問題轉化、零點）薁已知函數(shù). 腿（）求函數(shù)的單調區(qū)間；蚅（）若（其中），求的取值范圍，并說明.羃（18）（共13分）聿解：（）. 2分羈（）當時，則函數(shù)的單調遞減區(qū)間是.螄 3分莄（）當時，令，得.螁 當變化時，,的變化情況如下表螇襖極小值蒁艿所以 的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是. 5分蒆（）由（）知：羄當時，函數(shù)在區(qū)間內是減函數(shù)，所以，函數(shù)至多存在一個零點，不符合題意. 6分袂當時，因為 在

6、內是減函數(shù)，在內是增函數(shù)，所以 要使，必須，即.羈所以 . 7分蕿當時，.肄令，則.芃當時，所以，在上是增函數(shù).莈所以 當時，.羋所以 . 9分肄因為 ，蚄所以 在內存在一個零點，不妨記為，在內存在一個零點，不妨記為. 11分膀因為 在內是減函數(shù)，在內是增函數(shù)，肆所以 .膄綜上所述，的取值范圍是. 12分肄因為 ，袂所以 . 13分莃（2015海淀上學期期末）（19）（本小題滿分13分）（零點、三角函數(shù)）薈已知函數(shù)，. 蒅（）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結論；?。ǎ┣蠹现性氐膫€數(shù)；（）當時，問函數(shù)有多少個極值點？（只需寫出結論）（19）（共13分）解：（）函數(shù)是偶函數(shù)，證明如下： 1分 對于，則. 2分 因為 ， 所以 是偶函數(shù). 4分（）當時，因為 ，恒成立，所以 集合中元素的個數(shù)為0. 5分當時，令，由，得 .所以 集合中元素的個數(shù)為1. 6分當時，因為 ，所以 函數(shù)是上的增函數(shù). 8分因為