§7.3雙正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

1、7.3 雙正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)樣本取自正態(tài)總體，樣本取自總體，兩樣本相互獨(dú)立，它們的樣本均值分別為，樣本方差分別為，。關(guān)于兩個(gè)正態(tài)總體方差比的假設(shè)檢驗(yàn)以雙側(cè)檢驗(yàn)： 為例選用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，它在原假設(shè)成立的條件下服從F分布；記表示檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本觀測(cè)值，則檢驗(yàn)的P值為這種檢驗(yàn)方法通常稱為“F檢驗(yàn)”。甲乙兩臺(tái)車床分別加工某種軸，軸的直徑分別服從正態(tài)分布， ，從各自加工的軸中分別抽取若干根，測(cè)得其直徑如下表所示：總體樣本容量直徑（甲機(jī)床）820.519.819.720.420.120.019.919.9（乙機(jī)床）720.719.819.520.820.419.620.2試問(wèn)在顯著性水平下，兩臺(tái)車床加

2、工的精度是否有顯著差異？解：（1）依題意，考慮假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題（2）用檢驗(yàn)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為或；（3）由樣本觀測(cè)值可得，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值為。故檢驗(yàn)的P值為。（4） 因?yàn)?，所以不拒絕原假設(shè)，即沒(méi)有充分理由認(rèn)為兩種機(jī)床所加工軸的精度有顯著差異。關(guān)于兩個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)以雙側(cè)檢驗(yàn)： 為例1當(dāng)兩總體方差相等（即）時(shí)，我們使用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 （其中），它在原假設(shè)成立的條件下服從分布，因而檢驗(yàn)的P值為 ，這里表示檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本觀測(cè)值。2當(dāng)時(shí)，人們常使用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，它在原假設(shè)成立的條件下近似服從t分布，其中（四舍五入取整）。因而檢驗(yàn)的P值近似為，其中表示檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本觀測(cè)值。這種檢驗(yàn)方法通常稱為Welch近似檢

3、驗(yàn)。32009年，我們提出一種新的近似方法，即利用最常見(jiàn)的正態(tài)逼近進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為Score檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：，其中，為下面三元一次方程在區(qū)間中使條件對(duì)數(shù)似然函數(shù)達(dá)到最大的實(shí)數(shù)解：。在成立的條件下，當(dāng)較大時(shí)，近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因而檢驗(yàn)的P值為 ，這里表示檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本觀測(cè)值。具體細(xì)節(jié)請(qǐng)參見(jiàn)附錄二。某燈泡廠在采用一種新工藝的前后，分別抽取10個(gè)燈泡進(jìn)行壽命(單位：小時(shí))檢測(cè)，計(jì)算得到：采用新工藝前燈泡壽命的樣本均值為2460，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為56；采用新工藝后燈泡壽命的樣本均值為2550，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為48。設(shè)燈泡的壽命服從正態(tài)分布，是否可以認(rèn)為采用新工藝后燈泡的平均壽命有顯著提高(取顯著性

4、水平=0.01)?解：設(shè)采用新工藝前、后燈泡的壽命分別為、。法一：1.（1）因?yàn)槲粗埃瑸榇讼葯z驗(yàn)假設(shè)(2) 用檢驗(yàn)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為或；(3) 由于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值為。故檢驗(yàn)的P值為。(4) 因?yàn)?，所以不拒絕原假設(shè)，可認(rèn)為與無(wú)顯著差異。2.（1）下面在假定的條件下檢驗(yàn)假設(shè)(2) 選用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 ；(3) 由樣本觀測(cè)值計(jì)算得，從而檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的觀測(cè)值為，所以檢驗(yàn)的P值為。(4) 因?yàn)?，有充分理由拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即在顯著性水平=0.01下，可認(rèn)為采用新工藝后燈泡的平均壽命有顯著提高。法二：（1）直接利用Welch近似檢驗(yàn)檢驗(yàn)假設(shè)(2) 選用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 ，其中 ；(3) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的觀測(cè)

5、值為，所以Welch近似檢驗(yàn)的P值為。(4) 檢驗(yàn)的P值與法一相同，結(jié)論自然也與法一相同：有充分理由拒絕原假設(shè)。法三：（1）利用近似檢驗(yàn)檢驗(yàn)假設(shè)(2) 選用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 ；(3) 不難求出，為方程在區(qū)間中的唯一實(shí)根，所以，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值為，所以我們的近似檢驗(yàn)的P值為。(4) 因?yàn)?，有充分理由拒絕原假設(shè)，結(jié)論與法一、法二相同。對(duì)于原始數(shù)據(jù)，我們可以直接利用Excel中的統(tǒng)計(jì)函數(shù)進(jìn)行t檢驗(yàn)。某地某年高考后隨機(jī)抽得15名男生、12名女生的物理考試成績(jī)?nèi)缦?男生494847535143395756464244554440女生464047514336433848544834從這27名學(xué)生的成績(jī)能說(shuō)明這

6、個(gè)地區(qū)男女生的物理考試成績(jī)不相上下嗎? (). 解：經(jīng)過(guò)7.5介紹的分布的正態(tài)性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為該地區(qū)男女生的物理考試成績(jī)分別服從正態(tài)分布：，于是問(wèn)題歸結(jié)為雙側(cè)檢驗(yàn)：。法一：1.先檢驗(yàn)兩總體未知方差是否相等，即檢驗(yàn)假設(shè)。將數(shù)據(jù)導(dǎo)入Excel區(qū)域B2:P3，再在單元A4中輸入函數(shù)“=FTEST(B2:P2,B3:M3)”，回車即得檢驗(yàn)的P值為。故可認(rèn)為與無(wú)顯著差異。2.再在假定的條件下檢驗(yàn)假設(shè)。在單元B4中輸入函數(shù)“=TTEST(B2:P2,B3:M3,2,2)”，回車即得檢驗(yàn)的P值為。沒(méi)有充分理由認(rèn)為這個(gè)地區(qū)男女生的物理考試成績(jī)有差異。法二：直接利用Welch近似檢驗(yàn)檢驗(yàn)假設(shè)。在單元C4中輸入函

7、數(shù)“=TTEST(B2:P2,B3:M3,2,3)”，回車即得近似檢驗(yàn)的P值為。結(jié)論與法一相同：沒(méi)有充分理由認(rèn)為男女生的物理考試成績(jī)有差異。檢驗(yàn)中的匹配樣本在前面對(duì)兩個(gè)總體均值進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的討論中，我們都假定樣本是相互獨(dú)立的。然而在可能情況下，我們應(yīng)盡量采用存在相依關(guān)系的匹配樣本設(shè)計(jì)，然后進(jìn)行相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析，這樣就可以有效地提高檢驗(yàn)效率。下面舉例說(shuō)明：例7.3.4 一個(gè)以減肥為主要目的的健美俱樂(lè)部聲稱，參加它們的訓(xùn)練班至少可以使肥胖者平均體重減輕8.5千克以上。為了驗(yàn)證該宣稱是否可信，調(diào)查人員隨機(jī)抽取了10名參加者，得到他們的體重（單位：千克）記錄如下：訓(xùn)練前94.5101110103.59

8、788.596.5101104116.5訓(xùn)練后8589.5101.5968680.58793.593102試問(wèn)：調(diào)查結(jié)果是否支持該俱樂(lè)部的說(shuō)法？解：經(jīng)過(guò)7.5介紹的分布的正態(tài)性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為訓(xùn)練前后參加者的體重分別服從正態(tài)分布：，于是問(wèn)題歸結(jié)為單側(cè)檢驗(yàn)：。如果把這10名參加者訓(xùn)練前后的體重作為獨(dú)立樣本，則將得不到精確的推斷結(jié)果：將數(shù)據(jù)導(dǎo)入Excel區(qū)域B7:K8，在單元B9中輸入函數(shù)“=TTEST(B7:K7,B8:K8+8.5,1,2)”，回車即得兩總體未知方差相等條件下兩獨(dú)立樣本檢驗(yàn)的P值為。在單元C9中輸入函數(shù)“=TTEST(B7:K7,B8:K8+8.5,1,3)”，回車即得兩獨(dú)立樣本近似檢驗(yàn)的P值為。兩種方法都沒(méi)有充分理由支持該俱樂(lè)部的說(shuō)法。實(shí)際上，這10名參加者訓(xùn)練前后的體重是有關(guān)系而并非獨(dú)立，我們把這種樣本稱為匹配樣本。對(duì)匹配樣本，我們直接考慮它們的差值，將差值看做是來(lái)自某總體的一個(gè)樣本。經(jīng)過(guò)分布